热学李椿章立源钱尚武习题解答第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律doc文档格式.docx

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3-3

计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为

100K、1000K和10000K。

VP

代入数据则分别为：

T=100K时

2.28

102m/s

T=1000K时

7.21

T=10000K时

103m/s

3-4某种气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度

T2时的平均速率，求T2/T1。

因

8RT2

由题意得：

∴T2/T1=3

3-5求0℃时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可

将dv近似地取为△v=1m/s）

设1.0cm3氮气中分子数为N，速率在500~501m/s之间内的分子数为△N，

由麦氏速率分布律：

V2

△

N4（

）2

e2KT

N=

2KT

∵Vp2=m，代入上式

△N=4N

V1V

e

Vp

Vp2

因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率

V=500m/s，

273

402m/s

△V=1m/s

又VP

28

v

－3

（vp=1.24）代入计算得：

△N=1.86×

N个

3-6设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N1与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N2之比。

取分子速率为V1=3000m/s

V2=1500m/s,△V1=△V2=10m/s

由5题计算过程可得：

△V1=4N

1

1V2eVp2

△N2=4N

22

（V1

（V1）2

∴△N/△N2=

（V1

（

V1）2

）2e

其中VP=

8.31

573

2.18103m/s

v1

v2

vp=1.375

，vp

=0.687

∴

N1

1.375

N2

0.687

1.3752

0.6872

0.969

解法2：

若考虑△V1=△V2=10m/s比较大，可不用近似法，用积分法求△

N1，

△N2

V2dV

4N

dN=

3eVP

dN

V1

△N=

V1

V4

V3

△N2=

vi

i=1

、2、3、4利用16题结果:

令X=vp

N[erf（xi

）

xiexi

x22

x12

]

（1）

∴△N=N[erf（x2

xie

]N[erf（x1）

x1e

x42

x32

（２）

△N=N[erf（x4

x4e

]N[erf（x3）

x3e

其中VP=2RT

2.182103m/s

x1

x2

V2

1.379

x3

V3

0.687

x4

V4

0.6722

查误差函数表得：

erf（x

1）=0.9482

2）=0.9489

3）=0.6687

4）=0.6722

将数字代入（１）、（２）计算，再求得：

N1

0.703

3-7试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率：

（1）速率在区间vp～1.0vp1内

（2）速度分量vx在区间vp～1.0vp1内

（3）速度分量vp、vp、vp同时在区间vp～1.0vp1内

设气体分子总数为N，在三种情况下的分子数分别为△N1、△N2、△N3

（1）由麦氏速率分布律：

△N=dN

令v2=1.01vp，vi=vp，xi

，则x1

1，x2

1.01，利用16

vp

vp

题结果可得；

erf

（x2

x2e

x22

x1e

N

erf（x1）

查误差函数表：

erf（x1）=0.8427erf（x2）=0.8468

0.008

（2）由麦氏速率分布律：

vx2

dNx

vp1evp2dvx

v2

vx

∴N2

dvx

（vx

）2]d（vx）

vx

exp[

exp[（

令x

vx，x1

1.01

x2

dx

利用误差函数：

erf（x）

x

2）dx

exp（x

[erf

（x2）erf

（x

1）

1[0.8468

0.8427]

.21%

（3）令xvx，由麦氏速度分布律得：

dN3

v2y

vz2

vp3e

v2p

dvxdvydvz

N3

（1

）3[

dx]

N2）3

（0.002）3

0.8

3-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以

dN/dv为纵坐标，v为横

坐标，作1摩尔氧气在100K和400K时的分子速率分布曲线。

由麦氏速率分布律得：

4N（

3m

m）2e2KT

dv

KT

将π=3.14，N=NA=6.02×

1023T=100K

m=32×

10-3代入上式得到常数：

A=4NA

eB

2KT

∴dN

Ae

BV2

（1）

为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论：

由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必

然在最可几速率处取极大值，极大值为：

令y

AeBV2

V2则

dy

A[eBV2

2V

eBV2

（2BV）]0

得V

B

又在V=0时，y=0，V→∞时，y→0

又VP1

2KT1

VP2

2KT2

B1

B2

∵T1=100K＜T2=400K

∴VP1＜VP2由此作出草图

3-9

根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值

。

11f（V）dv

v0V

mv2

e2KTVdV

mV2）

4

）2（

KT）e2KTV2d（

mV2

m）2（

KT）e2KT

2m

3-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm的小圆孔，容器贮有100℃的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg。

（1）求容器内水银蒸汽分子的平均速率。

（2）每小时有多少克水银从小孔逸出？

（1）V

8.31

373

3.14

201

103

1.98

102（m/s）

（2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸

出的分子数为：

N

1nV

s

t

其中1nV

PV

是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，s

（d）2是小孔

面积，t=3600s，故N

P

st，代入数据得：

N=4.05

×

1019（个）

MmN

NA

6.02

1.35

102（g）

319

234.0510

3-11如图3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为p1、n1、p2、n2。

两部分气体的温度相同，都等于T。

摩尔质量也相同，均为μ。

试证明：

如隔板上有一面积为A的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为：

MA（P1P2）

证明：

设p1＞p2，通过小孔的分子数相当于和面积为

A的器壁碰撞的分子数。

从1跑到2的分子数：

N1

1n

1V1

A

从2跑到1的分子数：

N2

2V2

实际通过小孔的分子数：

（从1转移到2）

1At（n

1V1n2V2）

因t=1秒，n

，V

T1=T2=T

M

mn

1Am

8RT（P1

P2

KT）

1A

8RT（P1

P2）

RT

1P2）

若P2＞P1，则M＜0，表示分子实际是从2向1转移。

A（P

3-12有N个粒子，其速率分布函数为

f

（v）

C（v0

v0）

Ndv

（v）

0（v

0v）

（1）作速率分布曲线。

（2）由N和v0求常数C。

（3）求粒子的平均速率。

（1）f（v）C（v0v0）

f（v）0（v0v）

得速率分布曲线如图示

（2）∵

f（v）dv

f（v）dv

v0

0cdv

即cv0

1c

v0

（3）v

vf（v）dv

1cv02

1v0

3-13N个假想的气体分子，其速率分布如图

3-13所示（当v＞v0时，粒子数为

零）。

（1）由N和V0求a。

（2）求速率在1.5V

到2.0V0之间的分子数。

（3）求分子的平均速率。

由图得分子的速率分布函数：

Va

V0）

V0N

a

V0

2V0

f（v）=

2V0）

（1）∵dN

Nf

（V

）dv

（V）dV

V0Va

dV

2V

adv

1aV02

aV0

3V

0a

2N

3V0

（2）速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数

adV

1.5V0

Nf（V）dV

1.5V

a（2V01.5V0）

3-14证明：

麦克斯韦速率分布函数可以写作：

F（x2）

其中x

4Nx2

ex2

（v）dv

mv2

）2e2KTv2dv

vp2

4Nev2p

v）

vp2d（

x2dx

ex2

3-15设气体分子的总数为

N，试证明速度的x分量大于某一给定值

vx的分子数

为：

Nvx

[1

erf（x）]

（提示：

速度的x分量在0到之间的分子数为N）

由于速度的x分量在区间vx～vx+dvx内的分子数为：

v2x

dNvxNvp1ev2pdvx

故在vx～范围内的分子数为：

NVx

dNvx

dNvx

由题意：

vp1evp

利用误差函数得：

Nerf（x）

2erf（x）

N[1erf

（x）]

3-16

设气体分子的总数为

N，试证明速率在

0到任一给定值

v之间的分子数为：

N0

N[erf

（x）

，vp为最