数学云南师大附中届适应性月考卷4数学理试题 含答案.docx
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数学云南师大附中届适应性月考卷4数学理试题含答案
西南名校联盟(云南师大附中)2018届适应性月考卷(4)
理科数学
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则为()
A.B.C.D.
2.已知复数,则()
A.0B.1C.D.
3.在中,若原点到直线的距离为1,则此三角形为()
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定
4.已知点是所在平面内一点,为边的中点,且,则()
A.B.C.D.
5.已知是定义在上的奇函数,且满足,当时,,则等于()
A.B.C.-1D.1
6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:
松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的分别7,3,则输出的()
A.6B.5C.4D.3
7.已知是函数的零点,若,则的值满足()
A.B.C.D.的符号不确定
8.如图为一几何体的三视图,则该几何体的表面积为()
A.B.C.D.
9.若将函数的图象向左平移个单位,平移后所得图象的对称中心为点,则函数在上的最小值是()
A.B.C.D.
10.已知一个几何体下面是正三棱柱,其所有棱长都为;上面是正三棱锥,它的高为,若点都在一个体积为的球面上,则的值为()
A.B.1C.D.
11.已知数列满足是其前项和,若,(其中),则的最小值是()
A.B.5C.D.
12.设过曲线(为自然对数的底数)上任意一点处的切线为,总存在过曲线上一点处的切线,使得,则实数的取值范围为()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.圆关于直线对称的圆的标准方程为.
14.二项式的展开式中项的系数为,则.
15.已知实数满足约束条件,则的取值范围是.
16.空间点到平面的距离定义如下:
过空间一点作平面的垂线,这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.已知平面两两互相垂直,点,点到的距离都是2,点是上的动点,满足到的距离是到点距离的2倍,则点的轨迹上的点到的距离的最大值是.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在各项均为正数的等比数列中,是与的等差中项,若.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前项和.
18.如图,在平面四边形,和都是等腰直角三角形且,正方形的边.
(1)求证:
平面;
(2)求二面角的余弦值.
19.甲乙两人进行跳棋比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分.若其中的一方比对方多得2分或下满5局时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立.
(1)求没下满5局甲就获胜的概率;
(2)设比赛结束时已下局数为,求的分布列及数学期望.
20.已知函数.
(1)若,则当时,讨论的单调性;
(2)若,且当时,不等式在区间上有解,求实数的取值范围.
21.已知椭圆的左、右焦点分别是,其离心率,点为椭圆上的一个动点,面积的最大值为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点,过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于两点,直线,与轴分别相交于两点,试问是否为定值?
如果,求出这个定值;如果不是,请说明理由.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为:
(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)设曲线与直线交于两点,若点的坐标为,求.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知,若不等式的解集为.
(1)求实数的值;
(2)若对一切实数恒成立,求实数的取值范围.
云南师大附中2018届高考适应性月考卷(四)
理科数学参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
A
B
B
D
B
D
C
A
D
C
【解析】
1.,故,故选A.
2.因为,故选C.
3.由已知,故三角形为直角三角形,故选A.
因为为边的中点,,故选B.
5.由知的周期为4,又是定义在上的奇函数,故,故选B.
6.时,不满足;时,不满足;时,满足,输出,故选D.
7.函数在是增函数,故零点是唯一的,又,则,故选B.
8.由三视图知,该几何体下面是三棱柱,上面是三棱锥,故其表面积为:
,故选D.
9.,所以将的图象向左平移个单位后,得到的图象,其对称中心为点,,
的最小值是,故选C.
10.设外接球的半径为,下底面外接圆的半径为,则
,又,故选A.
11.由题意,,以上各式相加得:
,又,,当且仅当时等号成立,故选D.
12.设的切点为,的切点为,由题意,对任意存在使得对任意均有解,故对任意恒成立,则对任意恒成立.又,故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
题号
13
14
15
16
答案
【解析】
13.由题意所求圆的圆心坐标为,所以所求圆的标准方程为.
14.,令,得
.
15.由不等式组所表示的平面区域知:
点到点的距离最大,故;点到直线的距离最小,即,所以的取值范围是.
16.条件等价于在平面直角坐标系中有点,存在点到轴的距离为该点到点距离的2倍,求该点到轴的距离的最大值.设,由题意得:
,整理得:
,所以所求最大值为.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)设等比数列的公比为,且,
由得,
又是与的等差中项,
故或(舍).
所以,
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,
所以数列的前项和
18.(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明:
正方形中,
又且,所以
又
因为和都是等腰直角三角形,
所以,
即,且,
所以.
(Ⅱ)解:
因为△ABE是等腰直角三角形,所以,
又因为,所以,
即AD,AB,AE两两垂直.建立如图所示空间直角坐标系,
设AB=1,则AE=1,,
,
设平面BDF的一个法向量为,
可得,
取平面ABD的一个法向量为,
则,
故二面角的余弦值为.
19.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)没下满局甲就获胜有两种情况:
两局后甲获胜,此时,
四局后甲获胜,此时,
所以,没下满5局甲就获胜的概率
(Ⅱ)由题意知的所有取值为则
,
,
,
的分布列为
2
4
5
.
20.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)函数的定义域为,由得,
所以.
当时,,在内单调递减;
当时,或,
所以,在上单调递减,在上单调递增;
当时,或,
所以,在上单调递减,在上单调递增.
(Ⅱ)由题意,当时,在区间上的最大值.
当时,,
则.
当时,,
故在上单调递增,;
当时,设的两根分别为,
则,所以在上,
故在上单调递增,.
综上,当时,在区间上的最大值,
解得,所以实数的取值范围是.
21.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)由题意知,当点是椭圆的上、下顶点时,的面积最大,
此时的面积,
又椭圆的离心率,
由得:
,
所以,椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)设直线的方程为,则
直线的方程为,则,即,
同理可得.
由得,
由得且,
所以
,
故为定值.
22.(本小题满分10分)【选修4−4:
坐标系与参数方程】
解:
(Ⅰ)由直线的参数方程:
得直线的普通方程为,
由得,配方得,
即曲线的直角坐标方程为.
(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,得,
即,
因为,所以可设是点所对应的参数,则.
又直线过点,所以.
23.(本小题满分10分)【选修4−5:
不等式选讲】
解:
(Ⅰ)由得,解得或,
由题意
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
所以,
当且仅当时等号成立,所以,
故实数的取值范围为.
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