15秋福师《实变函数》在线作业一满分答案.docx
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15秋福师《实变函数》在线作业一满分答案
15秋福师《实变函数》在线作业一满分答案
一、判断题(共37道试题,共74分。
)
1.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A.错误
B.正确
正确答案:
B
2.若f,g∈BV,则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
A.错误
B.正确
正确答案:
B
3.f∈BV,则f有“标准分解式”:
f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
A.错误
B.正确
正确答案:
B
4.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集,但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
A.错误
B.正确
正确答案:
B
5.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A.错误
B.正确
正确答案:
B
6.若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
A.错误
B.正确
正确答案:
B
7.若f,g∈BV,则f/g(g不为0)属于BV。
A.错误
B.正确
正确答案:
A
8.不存在这样的函数f:
在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx A.错误 B.正确 正确答案: A 9.存在[0,1]上的有界可测函数,使它不与任何连续函数几乎处处相等. A.错误 B.正确 正确答案: B 10.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并. A.错误 B.正确 正确答案: B 11.若f,g∈BV,|g|>c>0,则f/g属于BV。 A.错误 B.正确 正确答案: B 12.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g,且f_n<=g_n,a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e. A.错误 B.正确 正确答案: B 13.设f为[a,b]上增函数,则存在分解f=g+h,其中g是上一个连续增函数,h是f的跳跃函数. A.错误 B.正确 正确答案: B 14.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。 A.错误 B.正确 正确答案: B 15.f∈BV,则f至多有可数个间断点,而且只能有第一类间断点. A.错误 B.正确 正确答案: B 16.有限覆盖定理的内容是: 若U是R^n中紧集F的开覆盖,则可以从U中取出有限子覆盖. A.错误 B.正确 正确答案: B 17.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。 A.错误 B.正确 正确答案: B 18.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零. A.错误 B.正确 正确答案: B 19.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。 A.错误 B.正确 正确答案: B 20.若f,g∈AC,则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。 A.错误 B.正确 正确答案: B 21.f在[a,b]上为增函数,则f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a). A.错误 B.正确 正确答案: B 22.若f_n测度收敛于f,g连续,则g(f_n)也测度收敛于g(f). A.错误 B.正确 正确答案: A 23.有界可测集的测度为有限数,无界可测集的测度为+∞ A.错误 B.正确 正确答案: A 24.测度收敛的L可积函数列,其极限函数L可积. A.错误 B.正确 正确答案: A 25.三大积分收敛定理包括Levi定理,Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。 A.错误 B.正确 正确答案: B 26.测度为零的集称为零测集. A.错误 B.正确 正确答案: B 27.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数. A.错误 B.正确 正确答案: A 28.若f_n测度收敛于f,则1/f_n也测度收敛于1/f. A.错误 B.正确 正确答案: A 29.f可积的必要条件: f几乎处处有限,且集X(f≠0)有sigma-有限测度。 A.错误 B.正确 正确答案: B 30.f∈BV,则f几乎处处可微,且f'∈L1[a,b]. A.错误 B.正确 正确答案: B 31.对R^n中任意点集E,E\E'必为可测集. A.错误 B.正确 正确答案: B 32.f,g∈M(X),则fg∈M(X). A.错误 B.正确 正确答案: B 33.闭集套定理的内容是: {F_k}是R^n中非空有界闭集的降列,则F_k对所有k取交集非空. A.错误 B.正确 正确答案: B 34.可数集的测度必为零,反之也成立. A.错误 B.正确 正确答案: A 35.若A交B等于空集,则A可测时必B可测. A.错误 B.正确 正确答案: B 36.若f∈AC,则f是连续的有界变差函数,即f∈C∩BV. A.错误 B.正确 正确答案: B 37.g的连续点是L点,但L点未必是连续点. A.错误 B.正确 正确答案: B 福师《实变函数》在线作业一 二、单选题(共5道试题,共10分。 ) 1.下列关系式中不成立的是() A.f(∪Ai)=∪f(Ai) B.f∩(Ai)=f(∩Ai) C.(A∩B)0=A0∩B0 D.(∪Ai)c=∩(Aic) 正确答案: B 2.fn->f,a.e.,则 A.fn依测度收敛于f B.fn几乎一致收敛于f C.fn一致收敛于f D.|fn|->|f|,a.e. 正确答案: D 3.若A为R^n中一疏集,则() A.Ac为稠集 B.A为开集 C.A为孤立点集 D.A不完备 正确答案: A 4.开集减去闭集其差集是() A.闭集 B.开集 C.非开非闭集 D.既开既闭集 正确答案: B 5.有限个可数集的乘积集是() A.有限集 B.可数集 C.有连续统势的集 D.基数为2^c的集 正确答案: B 福师《实变函数》在线作业一 三、多选题(共8道试题,共16分。 ) 1.若A和B都是R中开集,且A是B的真子集,则() A.m(A) B.m(A)<=m(B) C.m(B\A)=m(A) D.m(B)=m(A)+m(B\A) 正确答案: BD 2.在R上定义f,当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,则() A.f在R上处处不连续 B.f在R上为可测函数 C.f几乎处处连续 D.f不是可测函数 正确答案: AB 3.若0<=g<=f且f可积,则() A.g可积 B.g可测 C.g<∞,a.e. D.当g可测时g必可积 正确答案: CD 4.若f∈AC[a,b],则() A.f∈C[a,b] B.f∈BV[a,b] C.f(x)=f(a)+∫axf'(t)dt D.f∈Lip[a,b] 正确答案: ABC 5.f(x)=1,x∈(-∞,+∞),则f(x)在(-∞,+∞)上 A.有L积分值 B.广义R可积 C.L可积 D.积分具有绝对连续性 正确答案: AD 6.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上 A.广义R可积 B.不是广义R可积 C.L可积 D.不是L可积 正确答案: AD 7.设E1,E2是R^n中测度有限的可测集,则 A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2 B.若E1包含于E2,mE1<=mE2 C.若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1 正确答案: ABC 8.设E为R^n中的一个不可测集,则其特征函数是 A.是L可测函数 B.不是L可测函数 C.有界函数 D.连续函数 正确答案: BC
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