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(一)数与代数(三)统计与概率
1.负数统计---信息的误导
2.比例(四)数学思想方法与应用
数学广角――抽屉原理
(二)空间与图形综合应用---自行车里的数学
圆柱与圆锥节约用水
整理与复习部分——系统的、全面的回顾与整理小学数学的全部内容。
下面我们按单元顺序对教材进行简要的分析,先看
第一单元负数
一、教学内容
1.负数地初步认识。
2.数的大小比较。
二、教学目标
1.在熟悉的生活情境中初步认识负数,能正确的读、写正数和负数,知道0既不是正数也不是负数。
2.初步学会用负数表示一些日常生活中的实际问题,体验数学与生活的密切联系。
3.能借助数轴初步学会比较正数、0和负数之间的大小。
三、教材分析及思考
本单元的内容具体编排如下。
例1引出负数的必要性
例2进一步体会负数的含义
例3认识数轴
例4借助数轴比较数的大小
本单元教材注意结合学生熟悉的生活情境,选取学生感兴趣的素材,帮助学生更好的理解负数的意义,体会正数和负数可以表示两种相反意义的量。
初步建立数轴的模型,渗透数形结合的思想。
在学生初步认识负数后,教材帮助学生进一步感受负数的意义,并初步建立数轴的模型,让学生体会数轴上数的顺序,完成对数的结构的初步构建。
这样安排利于中小有学数学的衔接,为学生进入初中后即将要学习的有理数的意义和运算奠定一定的基础,加强中小学数学教学内容的联系。
四、教学中要注意的问题
1.通过丰富多彩的生活情境,加深学生对负数的认识。
负数的出现,是生活中表示两种相反意义的量的需要。
教学时,应通过学生感兴趣的素材激发学生学习的兴趣,让学生在具体情境中感受出现负数的必要,并通过两种相反意义的量的对比,初步建立负数的概念。
在引入负数以后,教师要鼓励学生举出用正负数表示两种相反意义的量的例子,加深对负数的认识,让学生感受数学在实际生活中的广泛应用。
2.把握好教学要求。
对负数的教学要把握好要求。
小学阶段只要求学生初步认识负数,能在具体情境中理解负数的意义,初步建立负数的概念。
这里不出现正负数的数学定义,而是描述什么样的数是正数,什么样的数是负数就可以了。
数轴的认识也只是描述性的定义,让学生借助已有的经验,在直线上表示出正数、0和负数所对应的点。
关于数的大小比较,特别是两个负数的比较,这里还不是抽象的比较,只需要让学生能借助数轴比较就可以了。
第二单元圆柱与圆锥
1.圆柱
2.圆锥
1.认识圆柱和圆锥,掌握它们的基本特征。
认识圆柱的底面、侧面和高。
认识圆锥的底面和高。
2.探索并掌握圆柱的侧面积、表面积的计算方法,以及圆柱、圆锥体积的计算公式,会运用公式计算体积,解决有关的简单实际问题。
3.通过观察、设计和制作圆柱、圆锥体模型等活动,了解平面图形与立体图形之间的联系,发展学生的空间观念。
圆柱圆柱的认识例1圆柱的认识、组成及特征
例2圆柱侧面、底面及其之间关系
圆柱的表面积例3圆柱表面积的概念
探索表面积的计算方法
例4圆柱表面积计算的实际应用
圆柱的体积例5圆柱体积公式的推导
例6运用圆柱体积计算解决问题
圆锥圆锥的认识例1圆锥的认识、组成及特征
圆锥的体积例2圆锥体积公式的推导
例3运用圆锥体积计算解决问题
本单元教材加强了所学知识与现实生活的联系;
加强了学生对图形特征、计算方法的探索过程;
加强了学生在操作中对空间与图形问题的思考,使学生在经历观察、操作、推理、想像过程中认识掌握圆柱、圆锥的特征以及体积的计算方法,进一步发展空间观念。
1.加强数学知识与实际生活的联系,提高运用所学知识解决实际问题的意识与能力。
这部分内容加强了与生活的联系,也为教师组织教学提供了思路。
如,在教学认识圆柱体和圆椎之前,可以让学生收集、整理生活中应用圆柱、圆锥的实例和信息资料,以便在课堂中交流。
认识圆柱、圆锥后,还可以让学生根据需要创设和制作一个圆柱或圆锥形的物品,这样,既可激发学生的学习兴趣,又可提高学生运用数学的意识和能力。
2.让学生经历探索知识的过程,培养自主解决问题的能力。
本单元加强了对图形特征、计算方法的探索。
使学生在经历观察、操作、推理、想像过程中掌握知识、发展空间观念。
圆柱体积教学时可以先呈现“类比猜想”的过程,由于圆柱和长方体、正方体都是直柱体,而且长方体与正方体的体积都等于“底面积乘高”,由此可以产生猜想:
圆柱的体积计算方法也可能是“底面积乘高”。
在形成猜想后,再引导学生“验证说明”自己的猜想,“验证说明”的方法可以有如:
一是用硬币堆成一堆,用堆的过程来说明“底面积乘高”计算圆柱体积的道理,这实际上是“积分”思想的渗透;
另外一种方法是“转化”思想的渗透,即把圆柱通过“切、拼”转化为长方体,再根据长方体体积的计算方法推导出圆柱体积的计算方法。
再如圆椎体积的教学,教材创设“如何知道像铅锤这样的物体的体积?
”的情境,引导学生通过实验,探究圆锥和圆柱体积之间的关系。
教学时,注意提供给学生积极思考,充分参与探索活动的时间和空间。
其中圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的,应让学生在经历试验探究过程中获取,改变只通过演示得出结论的做法。
第三单元比例
1.比例的意义和基本性质
2.正比例和反比例的意义
3.比例的应用
1.理解比例的意义和基本性质,会解比例。
2.理解正比例和反比例的意义,能找出生活中成正比例和成反比例量的实例,能运用比例知识解决简单的实际问题。
3.认识正比例关系的图像,能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画出图像,会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值。
4.了解比例尺,会求平面图的比例尺以及根据比例尺求图上距离或实际距离。
5.认识放大与缩小现象,能利用方格纸等形式按一定的比例将简单图形放大或缩小,体会图形的相似。
6.渗透函数思想,使学生受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。
本单元教材注意体现:
1、比例在生产和生活中的广泛应用。
首先知识由实际问题引入,例如由大小不同的国旗引入比例的意义,从“世界公园”的埃菲尔铁塔模型引入解比例,从生活中的放大、缩小现象引入图形的放大和缩小。
其次练习中安排了较多的根据比例意义解比例的实际问题。
第三安排了“比例的应用”一节内容,其中既有正、反比例的实际问题,还有比例尺和图形的放大与缩小。
通过这些内容的学习,使学生体会比例在生产生活中的应用,提高学生应用所学知识解决实际问题的能力。
2.渗透函数思想。
函数是数学的重要概念之一。
在小学,主要是通过一些知识的学习,渗透函数思想。
本单元中正比例和反比例的意义是渗透函数思想的重要内容。
因为成正比例和反比例的量实际上反映的是两个变量之间的依存关系。
教材通过实例,用列表的形式,体会变量之间的关系,并用式子表示两个变量之间的关系。
在认识正比例关系时,教材通过图像表示两个变量的关系,加深学生对正比例关系的认识。
(一)比例的意义和基本性质
1.比例的意义。
例1教学比例的意义。
教材提供了含有国旗的四个情境图,由每面国旗长与宽的比值是相等的,引出比例意义的教学。
教学时,可先复习比的知识,然后出示国旗长与宽的具体数据,让学生写出它们的比。
选取其中两个比,让学生求出它们的比值,由比值相等,将它们写成一个等式,从而引出比例的意义。
教师要注意适时引导,鼓励学生从不同角度去找比组成比例。
2.比例的基本性质。
先介绍组成比例的各部分的名称:
项、内项、外项;
分别计算比例中两个内项之积与两个外项之积,发现两个乘积的关系;
再把比例改写为分数形式,把等号两边的分子与分母交叉相乘,发现积的关系。
在此基础上,总结出比例的基本性质。
教学时,可利用前面组成的比例,认识项、内项、外项。
然后结合一个或几个比例式,让学生通过讨论,逐步归纳出比例的基本性质。
3.解比例。
教材首先介绍什么叫解比例,解比例的依据是什么。
(1)例2。
例2教学解比例,让学生体会解比例在生活中的应用。
教学时,引导学生经历根据问题设、依据比例的意义列出比例式。
然后,着重引导学生根据比例的基本性质,把比例转化为方程,解方程可让学生自行解答。
(2)例3。
例3是解用分数形式表示的比例。
教材只根据比例的基本性质把比例转化为方程,解方程则由学生自己完成。
(二)正比例和反比例的意义
1.例1。
例1教学正比例的意义。
通过水的体积和高度的比值一定,引出正比例的意义,说明体积和高度成正比例关系,体积和高度叫做成正比例的量。
接着把正比例的关系进一步抽象概括成(一定)。
教学时,教材提供的6组数据不必通过实验得出。
让学生计算出每组数据相应的底面积后,教师可以出示几个问题:
(1)水的体积和高度有关系吗?
(2)水的体积是怎样随着高度变化的?
(3)水的体积和高度的变化有什么规律?
引导学生明确体积和高度成正比例关系,并用字母表示出正比例关系:
(一定)。
2.例2。
例2教学正比例图像。
教材直接呈现例1中体积与高度的正比例关系图像,再让学生体会正比例图像的特点和作用。
教学时,可先出示例1的数据表和坐标系,结合数据表中的数据说明:
表中的每一组数据,都可以用一个点来表示。
师生共同描点,并把描好的点连成一条直线,形成体积和高度的正比例关系图像,引导学生认识该图像。
3.例3。
例3教学反比例的意义。
编排思路与例1类似。
教学时,引导学生发现成反比例的量之间的关系,并让学生仿照正比例意义,尝试归纳反比例的意义。
(三)比例的应用
1.比例尺。
(1)主题图。
教材通过主题图教学比例尺的认识。
首先给出比例尺的概念,再结合两幅地图介绍数值比例尺和线段比例尺。
然后,教材通过一张机器零件放大的图纸,让学生认识把实际距离放大的比例尺如何表示。
教学时,可由绘制地图需要把实际距离按一定的比例缩小,引出比例尺,并结合地图使学生认识数值比例尺和线段比例尺,理解比例尺的含义。
然后,进一步说明:
根据需要,有时要把实际距离按一定的比例扩大一定的倍数再画到图纸上。
让学生找出教材呈现的图纸的比例尺,说一说它表示的意义,体会比例尺前项比后项大时,表示放大。
(2)例1。
例1是把线段比例尺改写成数值比例尺。
教学时,引导学生学习把线段比例尺改写成数值比例尺的方法,使学生明确比例尺是一个比,不带单位名称。
(3)例2。
例2是根据比例尺和图上距离,应用方程求实际距离。
教学时,要引导学生明确:
设时应使用哪个长度单位;
比例尺可以看作是一个常数,即图上距离和实际距离成正比例关系,有关比例尺的问题可以用正比例来解。
(4)例3。
例3是综合运用比例尺的有关知识解决实际问题。
要求学生根据学校操场的实际长度,画出操场平面图。
教学时,小组讨论:
确定的比例尺是多少?
怎样求长、宽的图上距离?
结果是多少?
讨论求长和宽的图上距离的方法时,应让学生理解教材中呈现的两种算法以及它们不同的特点。
然后,引导学生调整比例尺,画出平面图。
2.图形的放大与缩小。
教材呈现了照像、用放大镜看书、投影仪放大图表、人和影子等情境,使学生初步认识生活中的放大与缩小现象。
(2)例4。
例4是教学图形放大与缩小的特点。
教学时,引导学生明确:
按2∶1放大图形也就是图形的各边放大到原来的2倍。
然后让学生对比原图形和放大后的图形,观察它们发生的变化。
之后,再要求学生将放大后的这组图形的各边再按1∶3缩小,并观察图形发生的变化。
逐步引导学生归纳出“图形按一定的比放大或缩小后,只是大小发生了变化,形状没变。
”
3.用比例解决问题。
(1)例5。
例5教学应用正比例的意义解决问题。
教学时,要突出运用比例知识解答的思路,引导学生判断:
因为水价一定,所以水费和用水的吨数成正比例。
然后根据正比例的意义列出方程,并求解。
学生解答后,教材进一步改变例5的条件和问题,让学生应用比例的知识解答。
(2)例6。
例6是用反比例的意义解决问题。
编排思路与例5相似。
教学时注意启发学生根据反比例的意义来列式,使学生进一步掌握两种量成反比例的特点和解决含反比例关系的问题的方法。
1.重视基本概念的教学。
比例、正比例、反比例是本单元学习的几个基本概念,十分重要。
学习比例的相关知识以及比例的应用都有赖于对这些概念的理解和掌握。
如解答含正反比例关系的实际问题,首先要对两个量成何比例做出判断,然后依据正比例或反比例数量关系的特点解答教学中要通过观察、比较、判断、归纳等方法帮助学生建立明晰的概念,把握概念的内涵。
同时通过应用,不断加深对这些概念的理解和掌握。
2.提高学生综合运用知识的能力。
本单元的知识综合性比较强。
所以学习中既要注意新旧知识的联系,又要注意发展学生综合运用知识的能力。
教材的编写也注意体现知识的综合应用,例如比例尺的一些练习,不仅限于计算图上距离和实际距离,而且涉及到测量、图形、方向与位置的知识以及根据实际设计比例尺。
综合应用:
自行车里的数学
一、设计目的
“自行车里的数学”旨在让学生运用所学的圆、排列组合、比例等知识解决实际问题。
经历“提出问题—分析问题—建立数学模型—求解—解释与应用”的基本过程。
二、具体编排
(一)研究普通自行车的速度与内在结构的关系
1.提出问题。
教材呈现两种不同型号的自行车,直接提问“蹬一圈,能走多远”,引出学生对自行车里的数学问题的研究。
2.分析问题。
教材主要呈现了两种方案:
(1)直接测量,但该方法误差较大。
(2)通过车轮的周长乘上后齿轮转的圈数来计算蹬一圈车子走的距离。
教学时重点引导学生明确:
后齿轮转的圈数×
后齿轮的齿数=前齿轮转的圈数×
前齿轮的齿数。
3.建立数学模型、收集数据并求解。
引导学生根据分析问题得到解题思路:
蹬一圈自行车走的距离=车轮的周长×
(前齿轮的齿数∶后齿轮的齿数)。
4.汇报交流。
各小组展示并解释各自的研究过程和结果。
(二)研究变速自行车的能变化出多少种速度
教材先介绍了一种变速自行车的主要结构:
有2个前齿轮,6个后齿轮。
接着提出问题“能变化出多少种速度”,再呈现学生“收集数据—建立数学模型—代入数据、求解—解决问题”的过程。
最后通过“蹬同样的圈数,哪种组合使自行车走的最远”,引导学生对各种速度的产生进行深入地解释。
三、教学建议
1.正式活动前,教师应充分准备课上需要用到的数据和图片,也可以要求学生对自行车的结构和行进的基本道理进行了解。
2.正式教学时,应让学生经历“分析问题—建立数学模型—求解”的基本过程,如果学生课前没有收集到所需要的数据,教师应及时为学生提供。
此外,应引导学生对各组的研究方法和结果进行比较,以获得运用数学解决实际问题的思考方法。
第四单元统计
信息的误导
1.会综合应用学过的统计知识,能从统计图中准确提取统计信息,能正确解释统计结果。
2.能根据统计图提供的信息,做出正确的判断或简单预测。
具体编排
例1说明从信息表达比较模糊的统计图中无法得到准确客观的结论。
教学时,引导学生分析图中“其他”部分的具体含义,使学生明确:
“其他”占彩电市场份额的47%,其中可能包含有比a牌更畅销的彩电。
从而使学生认识到:
制作统计图时,一定要客观准确地反映信息;
在分析统计图时,不要被数据模糊的统计图误导。
例2说明利用统计图进行统计分析时,不能仅仅关注统计图的外在表象,还应了解统计图所包含的具体的统计信息,才能避免做出错误的判断。
教学时,可先呈现这两幅统计图,让学生说说:
“a、b两人绘制的是同一个公司员工的月薪统计图,为什么看起来不一样呢?
”引导学生分析原因并认识到:
在运用统计图进行比较和判断时,一定要注意统一标准,才不致发生误判。
1.注重知识的前后联系,培养学生综合分析能力。
应引导学生在复习旧知的基础上重点进行综合分析,从而使学生学会从统计图中准确提取统计信息,能对统计结果做出正确解释,并能根据统计结果作出准确的判断、预测。
2.把握好教学要求。
本单元教学时应注意向学生阐明以下两点:
(1)统计图在表述统计结果时具有直观、形象的特点,故统计活动中常用统计图来描述统计信息,展示统计结果。
(2)不要被统计图表面的信息迷惑、误导,要保证所得结论的真实性和客观性。
实际教学时可先让学生观察统计图,谈谈直观感受和看法,再引导学生分析统计图表达和包含的数据信息,得出正确结论。
第五单元数学广角
抽屉原理。
1.经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”,会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
2.通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。
1.例1教学中适当渗透“平均分”的思想
例1介绍了一类较简单的抽屉原理。
教材编排了两种解释方法,即枚举法和假设法。
在引导学生理解假设法时,教师应帮助学生明确“将4枝铅笔放在3个文具盒中,为什么可以先考虑每个文具盒放1枝铅笔的情况?
”弄清楚该问题,也就帮助学生体会到假设法的基本思想——尽可能地平均分。
这样,不仅可以帮助学生体会两种方法中假设法是更为一般、更为快捷的方法,而且也为学生运用假设法“证明”更复杂的抽屉问题奠定了基础。
2.例2教学中要让学生正确理解“余数”的问题,让学生初步经历“数学证明”的过程。
教材在例2的编排中是运用有余数除法的形式表达出假设法的核心思路,即5÷
2=2……1。
学生借助算式能够很快理解该“证明”过程:
5本书放进2个抽屉,每个抽屉放进2本,还剩1本。
把剩下的这1本放进任何一个抽屉,该抽屉里就有3本书了。
但由于该除法算式的余数正好是1,很容易让学生将“某个抽屉至少有书的本数”是商加1错误地等同于商加余数。
教学中,教师可结合余数不是1的情况,如例2后面的“做一做”,在对比、辨析中帮助学生更好地理解“抽屉原理”的实质。
3.例3教学中引导学生尽可能地理解一般性的方法,有意识地培养学生的“模型”思想。
在解决实际问题时,将“具体问题”和“抽屉问题”建立起联系对小学生而言具有一定的难度。
学生在思考这些问题的时候,一开始可能很难找到切入点。
因此,例3的编排中通过学生的对话,提示我们在教学中可以通过先猜测再验证的方法来解决问题。
但这样编排的主要目的是让学生在猜测、验证的过程中逐步让学生认识到该问题属于“抽屉原理”可以解决的范畴,并在“摸球问题”与“抽屉问题”之间建立联系。
教学中随着对该问题认识地逐步深入,应引导学生理解猜测、验证并不具有普适性,解决相关问题时应当尽可能地运用更为一般的方法,找出问题中什么是“待分的东西”,什么是“抽屉”,“抽屉”有几个,再应用“抽屉原理”的一般化模型推理解决。
教学中要适当把握教学要求。
节约用水
一、设计说明
“节约用水”旨在通过测量等活动,让学生经历收集、整理、分析数据的过程,促使学生综合运用所学的数学知识科学地认识日常生活中水资源浪费的问题,加强学生的环保意识。
1.课前让学生收集相关的信息:
学校或家里漏水水龙头的数量、一个漏水的水龙头一定时间漏水的量以及节约用水的资料。
2.分析数据。
小组合作对一定时间水龙头漏水的量进行测量分析,计算出水龙头每分钟漏水的速度。
安排学生讨论,“怎样表示全班同学调查到的水龙头漏水的一般水平比较恰当”。
3.解决问题。
解决教材75页中提出的问题,帮助学生对生活中浪费水的现象有一个客观而量化地认识。
4.提出方案。
老师可在课前让学生对我国水资源的情况进行了解,并收集一个漏水水龙头在一定时间内漏水的数量。
课堂上,小组合作测量并计算出漏水水龙头每分钟的漏水量,引导学生运用所学的统计学知识选择恰当的统计量表示全班的调查结果。
解决了75页的问题之后,可让大家充分讨论有效的节水方案,对学生进行环保教育。
第六单元整理和复习
系统的、全面的回顾与整理小学数学的全部内容。
1.比较系统地掌握有关整数、小数、分数和百分数、负数、比和比例、方程的基础知识;
能比较熟练地进行整数、小数、分数的四则运算,能进行整数、小数加、减、乘、除的估算,会使用学过的简便算法,合理、灵活地进行计算;
会解学过的方程;
养成检查和验算的习惯。
2.巩固常用计量单位的表象,掌握所学单位间的进率,能够进行简单的改写。
3.掌握所学几何形体的特征;
能够比较熟练地计算一些几何形体的周长、面积和体积,并能应用;
巩固所学的简单的画图、测量等技能;
巩固轴对称图形的认识,会画一个图形的对称轴,巩固图形的平移、旋转的认识;
能用数对或根据方向和距离确定物体的位置,掌握有关比例尺的知识,并能应用。
4.掌握所学的统计初步知识,能够看和绘制简单的统计图
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