全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全Word格式.docx

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6.在直角坐标平面中，ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A（JO）,B（I,O）,平面内两点G，M同时满足下列条件：

IMA=MB=MCl

①GAGBGC=0:

②：

③GM//AB

（1）求ABC的顶点C的轨迹方程；

（2）过点P（3,0）的直线l与

（1）中轨迹交于E,F两点，求PEPF的取值范围

7.设x,rR,i,j为直角坐标平面内X轴.y轴正方向上的单位向量，若

a=xi+（y+2）j,b=xi+（y-2）j,且∣a∣+∣b|=8

（I）求动点M（x,y）的轨迹C的方程；

（∏）设曲线C上两点A.B,满足

（1）直线AB过点（0,3）,⑵若OP=OA9B,则OAPB为矩形，试求AB方程.

8.已知抛物线C:

y=m（Xn）,（^Z0,n■0）的焦点为原点，C的准线与直线

I：

kx-y2k=O（^-O）的交点M在X轴上，l与C交于不同的两点A、B,线段AB的垂直平分线交X轴于点N（P，0）.

（I）求抛物线C的方程；

（∏）求实数P的取值范围；

（川）若C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线，试求Q的短轴的端点的轨迹方

程.

X

9.如图，椭圆的中心在原点，长轴AAi在X轴上•以A、Ai为焦点的双曲线交椭圆于C、D、

1AE2....3

—=扎一二扎二一

D1、C1四点，且ICDI=2|AA1|椭圆的一条弦AC交双曲线于E,设EC,当34

时，求双曲线的离心率e的取值范围.

10.已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4^5^=80上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.

若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程；

若角A为900，AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.

11.如图，过抛物线X=4y的对称轴上任一点P（0,m）（m∙O）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.

TTTT

（1）设点P分有向线段AB所成的比为’，证明：

QP-（QA-■QB）；

（2）设直线AB的方程是x—2y1^0,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.

1•£

_卫

12.已知动点P（P，-1），Q（P，2）,过Q作斜率为2的直线I,PQ中点M的轨迹

为曲线C.

（1）证明：

I经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点；

（2）若

（1）中的其中一个公共点为A,证明：

AP是曲线C的切线；

（3）设直线AP的倾斜角为:

，AP与I的夹角为一，证明：

'

■一或：

一一是定值.

|PFi|.2

F2（I，O）,动点P满足pf21,动点P的轨迹为曲线C,曲线C关于直线y=χ的对

称曲线为曲线C'

直线y=x■m-3与曲线c'

交于A、B两点，O是坐标原点，△ABo

的面积为7，

（1）求曲线C的方程；

（2）求m的值。

x2y2

22"

（a0,b0）

14.已知双曲线ab的左右两个焦点分别为F1'

F2,点P在双曲线右支

上.

（3插,16）--

（I）若当点P的坐标为5'

5时,PF1—PF2,求双曲线的方程；

（∏）若IPFI^3∣PF21,求双曲线离心率啲最值，并写出此时双曲线的渐进线方程

2X

15.若F1、F2为双曲线a

占

八、、

b的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上,

M在右准线上，且满足;

FQ

OF1

=PM,OP刑—

OMXZ

）（」0）

OM1

（3）若过N（2,

3）的双曲线的虚轴端点分别为B1、B2（B1在y轴正半轴上），点A、

B在双曲线上，且

B2A='

B2B,求BjA-BIB时，直线AB的方程.

TTT

16•以O为原点,

OF所在直线为X轴，建立如所示的坐标系。

设OF∙FG=1,点F的

坐标为（t,°

）,t[3,：

：

）,点G的坐标为（x°

y°

）O

（1）求X0关于t的函数X0=f（t）的表达式，判断函数f（t）的单调性，并证明你的判断;

S=旦iogi

（2）设ΔOFG的面积6,若以0为中心，F为焦点的椭圆经过点G,求当IOGI取最小值时椭圆的方程;

（0,-）TL、

（3）在

（2）的条件下，若点P的坐标为'

2,C、D是椭圆上的两点，且PC='

PD（'

"

）,

求实数’的取值范围。

17.

已知点C为圆（x+）2*y2=8的圆心，点A（1,0）,P是圆上的动点，点Q在圆的

半径CP上，且MQ'

AP=0,AP=2AM.

（I）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；

（∏）若直线^k^kT与（I）中所求点Q

的轨迹交于不同两点F,H,O是坐标原点，

2、3

OFOH-

且34,求△FoH的面积的取值范围。

18.如图所示，0是线段AB的中点，∣AB∣=2c,以点A为圆心，2a为半径作一圆，其中a"

c。

22

19•设O为坐标原点，曲线Xy2x~6y^0上有两点P、Q满足关于直线

Xmy^0对称，又以PQ为直径的圆过

（1）求m的值；

（2）求直线PQ的方程.

20.在平面直角坐标系中，若a=（x-∖/3,y）,b=（x*√3,y）,且ab4，

（1）求动点Q（X，y）的轨迹C的方程；

（2）已知定点P（t,°

）（t∙O），若斜率为1的直线l过点P并与轨迹C交于不同的两点A，B，

-HTT

且对于轨迹C上任意一点M,都存在J[0,二],使得OM=COSdOASin八OB成立，试求出满足条件的实数t的值。

离心率e。

—^—y=l（b〉O）

22.已知又曲线，「在左右顶点分别是A,B,

点A关于点P的对称点是M,点P关于点B的对称点是N,

（I）求此双曲线的方程；

（II）求直线MN的倾斜角。

23.如图，在直角坐标系中，点A（-1,0）,B（1,0），P（X,y）与X轴正方向的夹角分别为αβY若肚+卩+；

=；

!

。

（I）求点P的轨迹G的方程；

（II）设过点C（0，-1）的直线I与轨迹G交于不同两点

点P是其右准线上的一点，若且M、N都在此双曲线上。

y=0）。

设AP、OP、BP

M、N。

问在X轴上是否存在

若不存在说明理由。

一点Eχo，0,使△MNE为正三角形。

若存在求出xo值;

y∣

P

/\

OBX

24.设椭圆Cpb2=1（2b>

0）过点M（Q,1），且焦点为FI（J,0）。

（1）求椭圆C的方程；

（2）当过点P4,1的动直线■与椭圆C相交与两不同点A、B时，在线段AB上取点Q,满足APLQBiIaqUpb,证明：

点Q总在某定直线上。

25.平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0,-2）,点C满足

OChOA：

OB,其中:

、

■-R,且：

-21：

=1

（1）求点C的轨迹方程；

x2-呂=1（a0,b0）

ab交于两点M、N,且以MN为直径

（2）设点C的轨迹与双曲线

11

•为定值

的圆过原点，求证：

ab

26.设F（I，O）,M、P分别为X轴、y轴上的点，且PMfF=O,动点N满足：

MN=-2NP.

（1）求动点N的轨迹E的方程；

（2）过定点C（—c,0）（CO）任意作一条直线l与曲线E交与不同的两点A、B,问在X轴

上是否存在一定点Q,使得直线AQ、BQ的倾斜角互补？

若存在，求出Q点的坐标；

若

不存在，请说明理由•

31

27.如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90,AD//BC,AB=2,AD=2,BC=2

椭圆F以A、B为焦点，且经过点D,

（I）建立适当的直角坐标系，求椭圆F的方程;

（∏）是否存在直线I与椭圆F交于M、N两点，且线段MN的中点为点C,若存在，求直

线l的方程；

若不存在，说明理由

（1）若ABAC=0,求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率;

（2）D分有向线段AB的比为■,A、D同在以B、C为焦点的椭圆上,

7

当一5≤∙≤2时，求椭圆的离心率e的取值范围.

29.在直角坐标平面中，LABC的两个顶点A,B的坐标分别为A（-1,°

）,B（1,°

）,平面内两点G，M同时满足下列条件：

£

+'

_'

MA=MB=MC■—r

①GA+GB十GC=O:

（1）求■ABC的顶点C的轨迹方程；

（2）过点P（3，°

）的直线I与

（1）中轨迹交于E,F两点，求PEPF的取值范围

答案：

1•解：

（I）以A点为坐标原点，11为X轴，建立如图所示的坐标系，则D（1,0）,B（4,0）,

设M（x，y）,

则N（X，0）.

τ∣BN∣=2∣DM∣,

x|=2（X-1）2+y2,

整理得3x2+4y2=12,

•动点M的轨迹

方程为x2+y32=i.

43

（π）..AG二，AD（‘R）,

T丄T

•A、D、G三点共线，即点G在X轴上；

又∙GEGF=2GH，•H点为线段EF的中点;

又∙.∙GHEF=Olλ点G是线段EF的垂直平分线GH与X轴的交点。

设I:

y=k（x—1）（k≠Q）代入3x2+4y2=12得

（3+4k2）x2—8k2x+4k2—12=0,由于I过点D（1,0）是椭圆的焦点,•I与椭圆必有两个交点，

设E（x1,y1）,F（x2,y2）,EF的中点

H的坐标为

（x0,y0）,

•X1+X2=止x1x2=4k2二W

3+4k2,3+4k2

x1+x24k2

x0==3+4k2,y0=k（x0—1）=

•线段EF的垂直平分线为

—3k

3+4k2'

1人ZH

y—y0=—k（x—x0）,令y=0得,

一—3k2

点G的横坐标XG=ky0+x0=3+4^2+

4k2

3+4k2

k2

4（3+4k2）'

∙k≠0•k2>

0,•3+4k2>

3,0<

-—

（3+4k2）

<

3，

1<

—3<

0,

44（3+4k2）

…XG=4—4（3+4k2）（O,4）

•点G的横坐标的取值范围为（0,）.

33

e=—C=—a

2•解：

∙2,•2

222

由abG得a=2b

Xy’

•••设椭圆的方程为4^b（b0）

即X=4b一4y（—^^b）

设m（x,y）是椭圆上任意一点，则

22222

IPMl=X（y—3）=-3（y1）4b12（一b^y^b）

若b^1即-b兰-1兰b,则当y=-1时，lpmImaX=4b+〔2

由已知有4b12^16,得b=1;

若OVbeI即-1^-b,则当y=一b时，lPMImaX=b-6b+9

由已知有b-6b*9=16,得b=7（舍去）.

综上所述，b=1,a=2

X2.

y=1

所以，椭圆的方程为4

a225

a=5

解之得Tb=3

C4

b_3

a一5

22I2

Ca-b

3•解：

（I）由已知

•椭圆的方程为259

双曲线的方程

又2534

e2

•双曲线的离心率

（∏）由（I）A（—5,

0）,B（5,0）设

（X0,yO）则由AM=MP得M为AP的中点

•P点坐标为（2x°

5,2yO）将M、P坐标代入c1、c2方程得

X。

+y。

.

一+一=1

2592

（2xo5）yo1

-一-1

259

消去y0得2X05x0-25=0

解之得

由此可得P（10，33）

当P为（10，33）时

（x-5）

PB:

八10一5

V（X-5）

即5

=1得:

2X2

代入25

一15X25=O

X=-或5（舍）

XN

.,Xn=XM

MN丄X轴

即MNA^=0

C2,b2二a2_C2

4•解:

由题意可知C

C,所以椭圆方程为

—=14分

设A（X1,y1）,B（X2,y2）,将其代入椭圆方程相减，将

yι

kOM

tg=二|

CVC2

X1-X2

X1X2代入可化得

1」

（2）若2<

tan-<

3,则

5•解：

（1）直线

C+2r→t

2：

——：

3”1：

c：

2,则

C

c2C

二1（二

12

1C

AB方程为：

bx-ay-ab=0

ab

依题意∙a2b2

解得

b

■-

椭圆方程为3

—y2

（2）假若存在这样的k值，由

y=kX+2,

_222

X3y-3=0得（13k）X212kX9=0

A=（12k）2-36（13k2）0

设C（XI,y1）

D（X2

X1

y2）,则.

X1X2二

12k

9

13k2

而y1y2=（kX12）（kX22）=kX1X22k（x1x2）4

y1.y2

要使以CD为直径的圆过点E（-1,0）,当且仅当CE⊥DE时，贝UN*1X24即y1y2（X11）（X21）=0

（k21）x1x22（k1）（x1X2）5=0

k=-

将②式代入③整理解得6

k=

经验证，6,使①成立

综上可知，存在

k=一

6,使得以

CD为直径的圆过点E

6.解:

（1）设C（X,Y）

G（xo,yo）,

M（XM,yM）.

TIMA=MB

M点在线段AB的中垂线上

//AB,λyM=y0

-y。

二0,0

由已知A（—1,0）,B（I,O）,XM=0；

又GM

又GAGBGC=0

二（τ—x°

—y°

）+（1—x°

）+（χ—χ°

y

X03Y0

=I

3

YMp

MC

••J（0-12+1-0=

KXf+υ

y0,•顶点C的轨迹方程为

2yX

X2-1

（2）设直线l方程为:

y=k（x—3）Eg,%）F（X2,y2）

L=1

y=k（x_3）

消去y得：

k23X2_6k2x9k2_3=0①

6k2

XiX22

k23

9k2-3

XiX2=

而PEP^PE

PFCOSo=PE

PF

Xi

VVbk23-

X2XiX2

=（i+k2；

9k2+27—i8k2+9k2—3

24k2i

=24

48

-2

由方程①知

Δ=（6k22—4（k2+3）9k2

-3>

Ok2V8

32

23二k+3∈

Tk式O二OVkV8

碍〕

7•解：

解：

令M（X,y），Fi（O,^）,F2（0,2）

贝Ha=FiM,b二F?

M

即Ianb^|FiM∣∣F2M|

即|FIM|IF2M丨=8

又..FiF2=4=2C

c二2,a二4,b二i2

+—

所求轨迹方程为i6i2

（∏）解：

由条件

（2）可知

OAB不共线，故直线AB的斜率存在

设AB方呈为^kXKSyJBgy2）

y=kx3

y2x2=（3k4）xi8kX-2i=0

i

i6i2

i8k

X2八厂

-2i

XiX2_3k24

yi

y2=（kXi3）（kX23）=k2xiX23k（xiX2）9=3b248k

3k24

.OAPB为矩形，∙∙∙OA丄OBOAOB=O

*k仝

.XiX2yiy2-0得^4

所求直线方程为

8•解：

（I）由题意，抛物线顶点为（一n,0）,又T焦点为原点∙∙∙m>

0m

准线方程4且有m=4n.

•••准线与直线I交点在X轴上，交点为又l与X轴交于（—2,0）,∙m=4,n=1

∙抛物线方程为y2=4（x+1）

kx-y+2k=02222

J得k2χ2+4（k2_1）x+4（k2—1）=0（k≠0）

（II）由Ly2=4（xW）

T6（1-k）∙0...—1Vk<

1且k≠0

X1亠X2_2（1「k）~2~_~k1

%y22

2^k

.∙.AB的中垂线方程为

2（^k）],令y

=0

p=22（1一&

.∙.P∈（2,+∞）

（III）•••抛物线焦点F（0,0）,准线X=—2

∙X=—2是Q的左准线

设Q的中心为O'

（X,0）,则短轴端点为（±

x,y）若F为左焦点，贝UC=X>

0,b=∣y∣

∙a2=b2+c2=x2+y2

X2y2C

X=-2

依左准线方程有

即y2=2x

（X>

0）

若F为右焦点，贝UXV0,故C=—X,b=∣y∣

-C=-2

∙a2=b2+c2=x2+y2依左准线方程有C

X2y2

——--（-X）=-2

化简得2x2+2x+y2=0

122

4（X）22y2二1即2（XV0,y≠0

9•解：

建立如原题图所示的坐标系，则

上+丄=1,

AB的方程为3020由于点P在AB上，可设P

2x

一（x,20_—）.

点的坐标为3

则长方形面积

S=~2X2+20x+6000（0<

x<

30）.

化简得33易知，当

S=（Ioo-X）∙[80-（20）]（0乞X乞30）.

C∩

X=5,Y时，Smax-6017（m2）.

（21）解：

设A

CC

MrD（_-,h）,C（-,h）,

（—c,0）,A1（c,0）,则'

2丿'

2丿

（其中C为双曲线的半焦距，h为C、

D到X轴的距离）

..AE

WxE

二Ce一2）

=2（，1）

-Ye

壮（c（k「），叽）

1'

即E点坐标为2「'

1^1

设双曲线的方程为

夕一b2τ,将

eXyIIe代入方程，得c2b2①

C（2，h）,E（C（'

2）h'

将2

2（∙7）'

「I）代入①式,

2222

整理得

消去

h2,得e⅛-e2-1,所以罠=

e2-1I3e22=^e22

由于

故7空e2空10=7乞e空10.

24

10•解:

设B（X1,yι）

C（x2,y2）,BC中点为（X°

y°

）,F（2,0）

+~YL=1

则有2016

两式作差有

（jX2）（X17）（Y^y2）（y1y2^0

20

16

X业=0

54

（1）

F（2,0）为三角形重心，所以由

&

X2=2

3「，得x0=3

Y1Y240

由3得yO=

代入

（1）得5

直线BC的方程为6x-5y-28=°

2）由AB丄AC得X1X2y』2-14（%y2）16=0

（2）

设直线BC方程为y=kxP代入4x∙5y

5b-80

（45k）x10bkx5b-80=0

-10kb

45k，

X1X2一2x”2一45k2

y1y2亠

4+5k

4b2-80k2

4'