期末复习 九年级数学上册 期末复习 圆 知识点+易错题精选含答案.docx
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期末复习九年级数学上册期末复习圆知识点+易错题精选含答案
2019年九年级数学上册期末复习圆
知识点+易错题精选
圆的概念
集合形式的概念:
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
2、圆的外部:
可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
3、圆的内部:
可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
1、圆:
到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
2、垂直平分线:
到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);
3、角的平分线:
到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:
平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:
平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
点与圆的位置关系
1、点在圆内点在圆内;
2、点在圆上点在圆上;
3、点在圆外点在圆外;
直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离无交点;
2、直线与圆相切有一个交点;
3、直线与圆相交有两个交点;
垂径定理
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
推论2:
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
圆心角定理
圆心角定理:
同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。
圆周角定理
1、圆周角定理:
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
2、圆周角定理的推论:
推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;
推论2:
半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。
推论3:
若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
注:
此推论实是初二年级几何中矩形的推论:
在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
圆内接四边形
圆的内接四边形定理:
圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
切线的性质与判定定理
(1)切线的判定定理:
过半径外端且垂直于半径的直线是切线;
(2)性质定理:
切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:
过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2:
过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:
①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
切线长定理
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
圆内正多边形的计算
(1)正三角形
在⊙中△是正三角形,有关计算在中进行:
;
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在中进行,:
(3)正六边形
同理,六边形的有关计算在中进行,.
扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
扇形:
(1)弧长公式:
;
(2)扇形面积公式:
:
圆心角:
扇形多对应的圆的半径:
扇形弧长:
扇形面积
圆锥侧面展开图
=
圆易错题精选
一、选择题
如图,AB是⊙O的直径,C,D为圆上两点,∠AOC=130°,则∠D等于( )
A.25° B.30° C.35° D.50°
如图,⊙O的半径OA,OB,且OA⊥OB,连结AB。
现在⊙O上找一点C,使OA2+AB2=BC2,则∠OAC的度数为( )
A.15°或75°B.20°或70° C.20°D.30°
如果两个圆心角相等,那么( )
A.这两个圆心角所对的弦相等;B.这两个圆心角所对的弧相等
C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D.以上说法都不对
如图,在⊙O中,若C是弧BD的中点,则图中与∠BAC相等的角有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
有四个命题,其中正确的命题是()
①经过三点一定可以作一个圆;
②任意一个三角形有且只有一外接圆;
③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等;
④在圆中,平分弦的直径一定垂直于这条弦
A.①②③④B.①②③C.②③④D.②③
如图,PA、PB、AB都与⊙O相切,∠P=60°,则∠AOB等于()
A.50°B.60°C.70°D.70°
一元钱硬币的直径约为24mm,则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过()
A.12mmB.12mmC.6mmD.6mm
如图,阴影部分是两个半径为1的扇形,若α=120°,β=60°,则大扇形与小扇形的面积之差为()
A.B.C.D.
如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为()
A.68°B.88°C.90°D.112°
如图,将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧AMB上一点,则∠APB的度数为()
A.45°B.30°C.75°D.60°
如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点,过点D作⊙O的切线BC于点M,切点为N,则DM的长为()
A.B.C.D.2
如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ的最小值()
A.5B.4C.4.75D.4.8
二、填空题
如图,点A、B、C在⊙O上,∠C=115°,则∠AOB= .
如图,一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,点D对应的刻度是58°,则∠ACD的度数为 .
如图,⊙O是△ABC的内切圆,⊙O切BC于点D,BD=3,CD=2,△ABC的周长为14,则AB= .
如图,八边形ABCDEFGH是⊙O的内接八边形,AB=CD=EF=GH=2,BC=DE=FG=HA=3,这个八边形的面积是________.
如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为 .
如图,从原点A开始,以AB=1为直径画半圆,记为第1个半圆;以BC=2为直径画半圆,记为第2个半圆;以CD=4为直径画半圆,记为第3个半圆;以DE=8为直径画半圆,记为第4个半圆;···,按此规律,继续画半圆,则第6个半圆的面积为______________.(结果保留π)
三、解答题
一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米,管内有少量的污水(如图),此时的水面宽AB为0.6米.
(1)求此时的水深(即阴影部分的弓形高);
(2)当水位上升到水面宽为0.8米时,求水面上升的高度.
如图,已知⊙O的直径AB=10,弦AC=6,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证:
DE是⊙O的切线.
(2)求DE的长.
如图,在△ABC中,AB=AC,O在AB上,以O为圆心,OB为半径的圆与AC相切于点F,交BC于点D,交AB于点G,过D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)DE与⊙O有什么位置关系,请写出你的结论并证明;
(2)若⊙O的半径长为3,AF=4,求CE的长.
如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E,F是AE与⊙O的交点,AC平分∠BAE.
(1)求证:
DE是⊙O的切线;
(2)若AE=6,∠D=30°,求图中阴影部分的面积.
如图,在⊙O中,AB为直径,AC为弦.过BC延长线上一点G,作GD⊥AO于点D,交AC于点E,交⊙O于点F,M是GE的中点,连接CF,CM.
(1)判断CM与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠ECF=2∠A,CM=6,CF=4,求MF的长.
如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,BC上两点,点A,C,E在⊙D上,点B,D在⊙E上.F为弧BD上一点,连接FE并延长交AC的延长线于点N,交AB于点M.
(1)若∠EBD为α,请将∠CAD用含α的代数式表示;
(2)若EM=MB,请说明当∠CAD为多少度时,直线EF为⊙D的切线;
(3)在
(2)的条件下,若AD=,求MN:
MF的值.
参考答案
A
A
D
C
D_____________________________________
A
D
D.
B.
A.
D.
D.
答案为:
130°.
答案为:
61°.
答案为;5.
答案为:
答案为:
2;
答案为:
128π
答案:
(1)0.1
(2)0.1或0.7.
证明:
(1)连接OD,∵AD平分∠BAC,∴∠DAE=∠DAB,
∵OA=OD,∴∠ODA=∠DAO,∴∠ODA=∠DAE,∴OD∥AE,
∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,∴DE是⊙O切线.
(2)过点O作OF⊥AC于点F,∴AF=CF=3,∴OF===4.
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°,∴四边形OFED是矩形,∴DE=OF=4.
解:
(1)DE与⊙O相切;理由如下:
连接OD,
∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB;∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC;
∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,∴DE与⊙O相切.
(2)连接OD,OF;∵DE,AF是⊙O的切线,∴OF⊥AC,OD⊥DE,
又∵DE⊥AC,∴四边形ODEF为矩形,∴EF=OD=3;
在Rt△OFA中,AO2=OF2+AF2,∴,
∴AC=AB=AO+BO=8,CE=AC﹣AF﹣EF=8﹣4﹣3=1,∴CE=1.答:
CE长度为1.
解:
(1)连接OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∵AC平分∠BAE,∴∠OAC=∠CAE,∴∠OCA=∠CAE,∴OC∥AE,∴∠OCD=∠E,
∵AE⊥DE,∴∠E=90°,∴∠OCD=90°,∴OC⊥CD,
∵点C在圆O上,OC为圆O的半径,∴CD是圆O的切线;
(2)在Rt△AED中,∵∠D=30°,AE=6,∴AD=2AE=12,
在Rt△OCD中,∵∠D=30°,∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC,∴DB=OB=OC=AD=4,DO=8,
∴CD===4,∴S△OCD===8,
∵∠D=30°,∠OCD=90°,∴∠DOC=60°,∴S扇形OBC=×π×OC2=,
∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC∴S阴影=8﹣,∴阴影部分的面积为8﹣.
解:
解:
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