第二章 统计 章末复习人教B版高中数学必修3学案Word格式文档下载.docx
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题型一 用样本的频率分布估计总体
例1 某制造商生产一批直径为40mm的乒乓球,现随机抽样检查20个,测得每个球的直径(单位:
mm,保留两位小数)如下:
40.03 40.00 39.98 40.00 39.99 40.00 39.98
40.01 39.98 39.99 40.00 39.99 39.95 40.01
40.02 39.98 40.00 39.99 40.00 39.96
(1)完成下面的频率分布表,并画出频率分布直方图;
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
[39.97,39.99)
[39.99,40.01)
[40.01,40.03]
合计
(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02mm为合格品.若这批乒乓球的总数为10000,试根据抽样检查结果估计这批产品的合格个数.
解
(1)频率分布表如下:
2
0.10
4
0.20
10
0.50
20
1.00
频率分布直方图如图:
(2)∵抽样的20个产品中在[39.98,40.02]范围内的有17个,∴合格品频率为
×
100%=85%.
∴10000×
85%=8500.故根据抽样检查结果,可以估计这批产品的合格个数为8500.
反思与感悟 总体分布中相应的统计图表主要包括:
频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图等.通过这些统计图表给出的相应统计信息可以估计总体.
跟踪训练1 为了了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图,由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组频数和为62,视力在4.6到4.8之间的学生数为a,最大频率为0.32,则a的值为( )
A.64B.54C.48D.27
答案 B
解析 [4.7,4.8)之间频率为0.32,[4.6,4.7)之间频率为1-0.62-0.05-0.11=1-0.78=0.22,
∴a=(0.22+0.32)×
100=54.
题型二 用样本的数字特征估计总体的数字特征
例2 某市共有50万户居民,城市调查队按千分之一的比例进行入户调查,抽样调查的结果如表:
家庭人均月收入/元
[200,500)
[500,800)
[800,
1100)
[1100,
1400)
[1400,1700]
工作人员数
60
200
80
40
400
管理人员数
5
50
15
100
求:
(1)工作人员家庭人均月收入的估计值
1及方差的估计值s
(2)管理人员家庭人均月收入的估计值
2及方差的估计值s
(3)总体人均月收入的估计值
及总体方差的估计值s2.
解
(1)
1=
(20×
350+60×
650+200×
950+80×
1250+40×
1550)=995,
s
[20×
(350-995)2+60×
(650-995)2+200×
(950-995)2+80×
(1250-995)2+40×
(1550-995)2]=83475.
(2)
2=
(5×
350+10×
650+50×
950+20×
1250+15×
1550)=1040,
[5×
(350-1040)2+10×
(650-1040)2+50×
(950-1040)2+20×
(1250-1040)2+15×
(1550-1040)2]=90900.
(3)
(25×
350+70×
650+250×
950+100×
1250+55×
1550)=1004,
s2=
[25×
(350-1004)2+70×
(650-1004)2+250×
(950-1004)2+100×
(1250-1004)2+55×
(1550-1004)2]=85284.
反思与感悟 样本的数字特征分为两大类:
一类是反映样本数据集中趋势的特征数,例如平均数;
另一类是反映样本数据波动大小的特征数,例如方差和标准差.通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差),从而实现对总体的估计.
跟踪训练2 对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测数据如下:
甲
70
90
乙
75
问:
甲、乙谁的平均成绩好?
谁的各门功课发展较平衡?
解 甲的平均成绩为
甲=74,乙的平均成绩为
乙=73.所以甲的平均成绩好.
甲的方差是s
[(-14)2+62+(-4)2+162+(-4)2]=104,乙的方差是s
[72+(-13)2+(-3)2+72+22]=56.
因为s
>
,所以乙的各门功课发展较平衡.
题型三 用回归直线方程对总体进行估计
例3 某车间为了制定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,得到的数据如下:
零件的个数x(个)
3
加工的时间y(小时)
2.5
4.5
(注:
-
)
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;
(2)求出y关于x的回归直线方程
,并在坐标系中画出回归直线;
(3)试预测加工10个零件需要多少小时?
解
(1)散点图如图.
(2)由表中数据得:
iyi=52.5,
=3.5,
=54,
∴
=0.7,∴
=1.05,
=0.7x+1.05,回归直线如图所示.
(3)将x=10代入回归直线方程,
得
=0.7×
10+1.05=8.05,
故预测加工10个零件约需要8.05小时.
反思与感悟 对两个变量进行研究,通常是先作出两个变量之间的散点图,根据散点图直观判断两个变量是否具有线性相关关系,如果具有,就可以应用最小二乘法求回归直线方程.由于样本可以反映总体,所以可以利用所求的回归直线方程,对这两个变量所确定的总体进行估计,即根据一个变量的取值,预测另一个变量的取值.
跟踪训练3 理论预测某城市2020到2024年人口总数与年份的关系如下表所示:
年份202x(年)
1
人口数y(十万)
7
8
11
19
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)指出x与y是否线性相关;
(3)若x与y线性相关,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程
(4)据此估计2025年该城市人口总数.
(参数数据:
0×
5+1×
7+2×
8+3×
11+4×
19=132,02+12+22+32+42=30)
解
(1)数据的散点图如图:
(2)由散点图可知,样本点基本上分布在一条直线附近,故x与y呈线性相关.
(3)由表知
(0+1+2+3+4)=2,
(5+7+8+11+19)=10.
=3.2,
=3.6,
∴回归直线方程为
=3.2x+3.6.
(4)当x=5时,
=19.6(十万)=196万.
故2025年该城市人口总数约为196万.
1.10个小球分别编有号码1,2,3,4,其中1号球4个,2号球2个,3号球3个,4号球1个,则数0.4是指1号球占总体分布的( )
A.频数B.频率
C.
D.以上都不对
2.现有10个数,其平均数是4,且这10个数的平方和是200,那么这组数的标准差是( )
A.1B.2
C.3D.4
解析 设这10个数为a1,a2,…,a10,
则有a
+a
+…+a
=200,
且a1+a2+…+a10=40,
所以
=4,∴标准差为
=2.
3.某班50名学生的一次数学质量测验成绩的频率分布直方图如图所示,则成绩不低于70分的学生人数是____________________________________________________.
答案 35
解析 低于70分的频率为(0.012+0.018)×
10=0.3,所以不低于70分的频率为0.7,故不低于70分的人数为
50×
0.7=35.
4.某农田施肥量x(单位:
kg)与小麦产量y(单位:
kg)之间的回归直线方程是
=4x+250,则当施肥量为50kg时,可以预测小麦的产量为________kg.
答案 450
解析 直接将x=50代入回归直线方程中,可得
=4×
50+250=450.
5.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组;
第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组的人数相同,第六组的人数为4.
(1)求第七组的频率;
(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上(含180cm)的人数.
解
(1)第六组的频率为
=0.08,所以第七组的频率为1-0.08-5×
(0.008×
2+0.016+0.04×
2+0.06)=0.06.
(2)身高在第一组[155,160)的频率为0.008×
5=0.04,
身高在第二组[160,165)的频率为0.016×
5=0.08,
身高在第三组[165,170)的频率为0.04×
5=0.2,
身高在第四组[170,175)的频率为0.04×
由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5,0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5,
估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m,
则170<m<175,
由0.04+0.08+0.2+(m-170)×
0.04=0.5,得m=174.5,
所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5,
由直方图得后三组频率之和为0.06+0.08+0.008×
5=0.18,
所以身高在180cm以上(含180cm)的人数为0.18×
800=144.
1.用频率分布直方图解决相关问题时,应正确理解图中各个量的意义,识图掌握信息是解决该类问题的关键.频率分布直方图有以下几个特点:
(1)纵轴表示频率/组距;
(2)频率分布直方图中各小长方形高的比就是相应各组的频率之比;
(3)直方图中各小长方形的面积是相应各组的频率,所有的小长方形的面积之和等于1,即频率之和为1.
2.平均数、中位数、众数与方差、标准差都是重要的数字特征,利用它们可对总体进行一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数可描述总体的集中趋势,方差和标准差可描述波动大小.
一、选择题
1.在某次商品促销活动中,某人可得到4件不同的奖品,这些奖品要从40件不同的奖品中随机抽取决定.用系统抽样的方法确定这个人所得到的4件奖品的编号,有可能的是( )
A.3,9,15,11B.3,12,21,40
C.8,20,32,40D.2,12,22,32
答案 D
解析 由系统抽样的方法可知,这个人所得到的4件奖品的编号的间隔相等,且平均分布在1~10,11~20,21~30,31~40中,故A,B,C均不正确,D正确.
2.某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n等于( )
A.100B.150C.200D.250
答案 A
解析 ∵
,∴n=100.
3.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为me,众数为mo,平均值为
,则( )
A.me=mo=
B.me=mo<
C.me<mo<
D.mo<me<
解析 30个数中第15个数是5,第16个数是6,所以中位数me=
=5.5,众数mo=5,
平均值
,∴mo<
me<
4.为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )
A.50B.40C.25D.20
答案 C
解析 间隔=
=25.
5.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为3∶5∶7,现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,其中甲种产品有18件,则样本容量n等于( )
A.54B.90C.45D.126
解析 分层抽样的核心是等比例抽取.所以
,解得n=90.
6.有一容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在区间[10,12]内的频数为( )
A.18B.36C.54D.72
解析 ∵样本数据落在[10,12]内的频率为
1-2×
(0.02+0.05+0.15+0.19)
=1-0.82
=0.18,
∴频数为200×
0.18=36.
7.一个样本的容量为72,分成5组,已知第一、五组的频数都为8,第二、四组的频率都为
,则第三组的频数为( )
A.16B.24C.32D.48
解析 因为频率=
,所以第二、四组的频数都为72×
=16.所以第三组的频数为72-2×
8-2×
16=24.
8.某公司10位员工的月工资(单位:
元)为x1,x2,…,x10,其平均数和方差分别为
和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )
A.
,s2+1002B.
+100,s2+1002
C.
,s2D.
+100,s2
解析 设工资增加后员工下月工资的平均数和方差分别为
,s
,据已知易得
+100,
又s
=s2,故选D.
二、填空题
9.甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,他们分别射击了5次,成绩如下表(单位:
环):
9
如果甲、乙两人中只有1人入选,那么入选的最佳人选应是________.
答案 甲
解析
甲=9,
乙=9,s
6=
,甲的方差较小,成绩较稳定.
10.某校高中年级开设了丰富多彩的课程,甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分,用茎叶图表示(如图).s1,s2分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差,则s1______s2.(填“>”“<”或“=”)
答案 <
解析 标准差反映了数据的离散程度.显然甲的学分更集中.也可用公式计算得出.
11.甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图,中间一列的数字表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________.
答案 24 23
甲=
(19+18+20×
2+21+22+23+31×
2+35)=24,
乙=
(19+17+11+21+22+24×
2+30×
2+32)=23.
12.某电子商务公司对10000名网络购物者在2016年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:
万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中的a=________;
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________.
答案
(1)3
(2)6000
解析 由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×
0.1+0.8×
0.1+1.5×
0.1+2×
0.1+2.5×
0.1+a×
0.1=1,解得a=3.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×
0.1+3×
0.1=0.6,所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×
10000=6000.
三、解答题
13.下面是60名男生每分钟脉搏跳动次数的频率分布表.
频率/组距
[51.5,57.5)
0.067
0.011
[57.5,63.5)
6
0.1
0.017
[63.5,69.5)
0.183
0.031
[69.5,75.5)
0.334
0.056
[75.5,81.5)
[81.5,87.5)
0.083
0.014
[87.5,93.5]
0.05
0.008
(1)作出频率分布直方图;
(2)根据直方图的各组中值估计总体平均数;
(3)已知标准差s≈8.784,估计每分钟脉搏跳动次数的范围.
解
(1)频率分布直方图如图.
(2)由各组中值估计总体平均数为(54.5×
4+60.5×
6+66.5×
11+72.5×
20+78.5×
11+84.5×
5+90.5×
3)÷
60=72.
(3)∵s≈8.784,
∴每分钟脉搏跳动次数的范围大致为[
-s,
+s],即[63.216,80.784],取整数为[63,81].
14.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画出如下频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
(1)估计这次考试的众数m与中位数n(结果保留一位小数);
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
解
(1)众数是最高小矩形底边中点的横坐标,
∴众数为m=75.
前三个小矩形面积为0.01×
10+0.015×
10=0.4.
∵中位数平分直方图的面积,
∴n=70+
10≈73.3.
(2)依题意60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×
10=0.75,
∴抽样学生成绩的合格率是75%.
利用组中值估算抽样学生的平均分为
45×
0.1+55×
0.15+65×
0.15+75×
0.3+85×
0.25+95×
0.05=71.
估计这次考试的平均分是71分.
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