AB.C.D.
第Ⅱ卷(共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9.若双曲线的离心率为2,两焦点分别为,则此双曲线的方程为___________.
10.已知实数x,y满足则的最大值为___________.
11.在展开式中,常数项为___________.
12.若A,B两点在半径为2的球面上,且以线段AB为直径的小圆周长为2,则此球的表面积为___________,A,B两点间的球面距离为__________.
13.对于函数,有如下三个命题:
的最大值为;
在区间上是增函数;
将的图象向右平移个单位可得的图象.
其中真命题的序号是___________.
14.已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数,如果存在实数m、n使得
h(x)=mf(x)+ng(x),
那么称h(x)为f(x)、g(x)在R上生成的函数.
设f(x)=x2+x、g(x)=x+2,若h(x)为f(x)、g(x)在R上生成的一个偶函数,且,则函数
h(x)=__________.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分12分)
在中,a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边,设a=4,c=3,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的面积.
16.(本小题满分12分)
在甲、乙两个批次的某产品中,分别抽出3件进行质量检验.已知甲、乙批次每件产品检验不合格的概率分别为,假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响.
(Ⅰ)求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率;
(Ⅱ)求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多2件的概率.
17.(本小题满分14分)
如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,平面平面ABCD,PC=PD=CD=2.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点D到平面PBC的距离.
18.(本小题满分14分)
设函数R)在其图象上一点A处切线的斜率为-1.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间(b-1,b)内的极值.
19.(本小题满分14分)
给定抛物线,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点,O为坐标原点.
(Ⅰ)设l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;
(Ⅱ)设,求直线l的方程.
20.(本小题满分14分)
已知数列的前n项和为Sn,a1=1,数列是公差为2的等差数列.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)证明数列为等比数列;
(Ⅲ)判断是否存在Z),使不等式对任意的N*成立,若存在,求出
的最大值;若不存在,请说明理由.
北京市西城区抽样测试参考答案
高三数学试卷(文科)2009.1
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
B
C
C
B
C
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.10.1411.160
12.13.14.-3x2+6
注:
两空的题目,第一个空2分,第二个空3分.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.
15.(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:
因为,--------------------------3分
在中,由余弦定理,
得,
所以b=;-------------------------6分
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)知,,
所以,--------------------------9分
由三角形的面积公式,
得.
所以的面积为.--------------------------12分
16.(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:
记“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A.------------------------1分
由题意,事件A包括以下两个互斥事件:
事件B:
有2件甲批次产品检验不合格.由n次独立重复试验中某事件发生k次的概率
公式,得;--------------------------3分
事件C:
3件甲批次产品检验都不合格.由相互独立事件概率乘法公式,得;
所以,“至少有2件甲批次产品检验不合格”的概率为------------------------6分
(Ⅱ)解:
记“甲批次产品检验不合格件数比乙批次产品检验不合格件数多2件”为事件D.
由题意,事件D包括以下两个互斥事件:
事件E:
3件甲批次产品检验都不合格,且有1件乙批次产品检验不合格.其概率;--------------------------9分
事件F:
有2件甲批次产品检验不合格,且有0件乙批次产品检验不合格.其概率;
所以,事件D的概率为.--------------------------12分
17.(本小题满分14分)
方法一:
(Ⅰ)证明:
平面平面ABCD,
又平面平面ABCD=CD,,
平面PCD,--------------------------3分
平面PCD,
;--------------------------4分
(Ⅱ)解:
取PD的中点E,连接CE、BE,
为正三角形,
,
由(Ⅰ)知平面PCD,
是BE在平面PCD内的射影,
为二面角B-PD-C的平面角,--------------------------7分
在中,,BC=2,,
二面角B-PD-C的大小为;--------------------------10分
(Ⅲ)解:
过D作于F,
平面PCD,,
平面PBC,且平面PBC=F,
为点D到平面PBC的距离,--------------------------13分
在等边中,,
点A到平面PBC的距离等于.--------------------------14分
方法二:
(Ⅰ)证明:
取CD的中点为O,连接PO,
PD=PC,,
平面平面ABCD,平面平面ABCD=CD,
平面ABCD,---------------------------2分
如图,在平面ABCD内,过O作OMCD交AB于M,
以O为原点,OM、OC、OP分别为x、y、z轴,建立空间直角
坐标系O-xyz,
则,
;---------------------------4分
(Ⅱ)解:
取PD的中点E,连接CE、BE,如(Ⅰ)建立空间坐标系,则,
为正三角形,
,
,
,,
为二面角B-PD-C的平面角,--------------------------7分
,
,
二面角B-PD-C的大小为;---------------------------10分
(Ⅲ)解:
过点D作平面PBC于F,
为点D到平面PBC的距离,设|DF|=h,
,
,即,
的面积,
三棱锥D-PBC的体积,
,即,解得,
点D到平面PBC的距离为.---------------------------14分
18.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:
函数的导数,------------------------2分
由题意,得,
所以,
故;--------------------------5分
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)知,
由,得x=1,或x=3.
x变化时,的变化如情况下表:
1
3
0
-
0
+
极大值
极小值0
--------------------------8分
所以,当b1或时,函数无极值;-------------------------10分
当b-1<1,且b>1时,函数在x=1时,有极大值,此时函数无极小值;
当b-1<3,且b>3时,函数在x=3时,有极小值0,此时函数无极大值;
当b1,且时,函数无极值.--------------------------13分
故当时,函数无极值;
当时,函数在x=1时,有极大值,此时函数无极小值;
当时,函数在x=3时,有极小值0,此时函数无极大值.-------14分
19.(本小题满分14分)
方法一:
(Ⅰ)解:
由题意,得,直线l的方程为.
由,得,
设A,B两点坐标为,AB中点M的坐标为,
则,
故点--------------------------3分
所以,
故圆心为,直径,
所以以AB为直径的圆的方程为;----------------------6分
(Ⅱ)解:
因为,三点A,F,B共线且点A,B在点F两侧,
所以,
设A,B两点坐标为,则,
所以
因为点A,B在抛物线C上,
所以,-------------------------10分
由,解得
所以,------------------------13分
故直线l的方程为或.-------------------------14分
方法二:
(Ⅰ)解:
由题意,得,直线l的方程为.
由,得,
设A,B两点坐标为,AB中点M的坐标为,
因为所以,
所以,故圆心为,------------------------3分
由抛物线定义,得,
所以(其中p=2).
所以以AB为直径的圆的方程为;-------------------6分
(Ⅱ)解:
因为,三点A,F,B共线且点A,B在点F两侧,
所以,
设A,B两点坐标为,则,
所以----------------------