重庆市届高三上学期期末考试康德卷数学理试题Word版附详细解析.docx
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重庆市届高三上学期期末考试康德卷数学理试题Word版附详细解析
2017年秋高三(上)期末测试卷
理科数学
第I卷
一.选择题:
本大题共12小题每小题5分,共60分。
1.已知等差数列中,,则的公差为
A.B.2C.10D.13
【答案】B
【解析】由题意可得:
.
本题选择B选项.
2.已知集合,则
A.{1,2}B.{5,6}C.{1,2,5,6}D.{3,4,5,6}
【答案】C
【解析】由题意可得:
,
结合交集的定义有:
.
本题选择C选项.
3.命题“若,则”,则命题以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】命题“若,则”是真命题,则其逆否命题为真命题;
其逆命题:
“若,则”是假命题,则其否命题也是假命题;
综上可得:
四个命题中真命题的个数为2.
本题选择B选项.
4.已知两非零复数,若,则一定成立的是
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】利用排除法:
当时,,而,选项A错误,
,选项B错误,
当时,,而,选项C错误,
本题选择D选项.
5.根据如下样本数据:
3
5
7
9
6
3
2
得到回归方程,则
A.
B.变量与线性正相关
C.当=11时,可以确定=3
D.变量与之间是函数产关系
【答案】D
【解析】由题意可得:
,
回归方程过样本中心点,则:
,
求解关于实数的方程可得:
,
由可知变量与线性负相关;
当=11时,无法确定y的值;
变量与之间是相关关系,不是函数关系.
本题选择A选项.
点睛:
一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,只有在散点图大致呈线性时,求出的线性回归方程才有实际意义,否则,求出的线性回归方程毫无意义.二是根据回归方程进行预报,仅是一个预报值,而不是真实发生的值.
6.执行如下图所示的程序框图,若输入的值为9,则输出的结果是
A.B.0C.D.1
【答案】C
【解析】由题意可得,该流程图的功能计算的值为:
.
本题选择C选项.
7.函数的图象大致为
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得:
,
则函数图象关于坐标原点对称,选项C,D错误;
函数的定义域为,则,选项B错误;
本题选择A选项.
8.甲、乙、丙、丁五位同学相约去学校图书室借阅四大名著(每种名著均有若干本),已知每人均只借阅一本名著,每种名著均有人借阅,且甲只借阅《三国演义》,则不同的借阅方案种数为
A.72B.60C.54D.48
【答案】C
【解析】分类讨论:
若乙丙丁戊中有人借阅《三国演义》,则满足题意的不同借阅方案种数为种,
若乙丙丁戊中没有人借阅《三国演义》,原问题等价于4个球放入三个盒子,每个盒子均不空,放置的方法为:
2+1+1,结合排列组合的结论可得:
此时的不同借阅方案种数为种,
综上可得,不同的借阅方案种数为种.
本题选择B选项.
点睛:
(1)解排列组合问题要遵循两个原则:
一是按元素(或位置)的性质进行分类;二是按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).
(2)不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:
①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求法.
9.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:
“今有人持金出五关,前关二而税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一,并五关所税,适重一斤”。
其意思为“今有持金出五关,第1关收税金为持金的,第2关收税金为剩余金的,第3关收税金为剩余金的,第4关收税金为剩余金的,第5关收税金为剩余金的,5关所税金之和,恰好重1斤。
”则在此问题中,第5关收税金为
A.斤B.斤C.斤D.斤
【答案】B
【解析】设持有的金为金,由题意可得:
第一关的税金为,第二关的税金为,
第三关的税金为:
,
同理,第四关的税金为,第五关的税金为,
由题意可得:
,
据此可得:
,第五关的税金为:
斤.
本题选择C选项.
10.已知函数在区间[]内单调递减,则的最大值是
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】整理函数的解析式有:
,
函数在区间[]内单调递减,则:
,
求解关于的不等式可得:
,
即的最大值是.
本题选择C选项.
11.已知点,点的坐标满足,则的最小值为
A.B.0C.D.-8
【答案】B
【解析】由题意可得:
,
即为点与点的距离的平方,
结合图形知,最小值即为点到直线的距离的平方,
,
故最小值为.
本题选择C选项.
点睛:
(1)本题是线性规划的综合应用,考查的是非线性目标函数的最值的求法.
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法,给目标函数赋于一定的几何意义.
12.已知关于的不等式存在唯一的整数解,则实数的取值范围是
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】不等式即,设,
,故在上单减,
在上单增,,故的图象大致如图所示,
又直线恒过定点,
由图形知,且不等式的唯一整数解为,
故且,所以且,即.
本题选择B选项.
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须做。
第22题-第23题为选考题,考生根据要求做答。
二.填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.二项式的展开式中常数项为___________。
【答案】15
【解析】由二项式展开式的通项公式有:
,
令可得:
,则展开式中的常数项为:
.
14.已知向量的夹角为,若,则___________。
【答案】3
【解析】由题意可得:
,
整理可得:
,
据此可得:
.
15.当正实数变化时,斜率不为0的定直线始终与圆相切,则直线的方程为____________。
【答案】
【解析】设,则,即,
因为该等式对任意成立,故,
即,则直线的方程为.
16.已知为双曲线与圆的一个公共点,分别为双曲线的左右焦点,设,若,则双曲线的离心率的取值范围是___________。
【答案】
【解析】由题知,又,
所以,
两式做比值可得:
,
而,
又,,
故,.
点睛:
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
①求出a,c,代入公式;
②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
三.解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.已知数列满足:
。
(I)求证:
为等差数列;
(II)设,求数列的前项和。
【答案】(I)详见解析;(II).
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由递推关系可得:
,则数列为等差数列;
(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可得:
,,裂项求和可得数列的前项和为.
试题解析:
(I)由递推关系可得:
,故为等差数列;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,故,,
点睛:
使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.
18.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为,且
(I)求A;
(II)若,△ABC的面积为,求的值。
【答案】(I);(II).
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意结合辅助角公式可得:
,则;
(Ⅱ)由题意结合三角形面积公式可得,结合余弦定理可得,则,有正弦定理边角互化可得............................
试题解析:
(Ⅰ),即,
由知,故,即
(Ⅱ)由得,从而,即,
.
19.某百货商场举行年终庆典,推出以下两种优惠方案:
方案一:
单笔消费每满200元立减50元,可累计;
方案二:
单笔消费满200元可参与一次抽奖活动,抽奖规则如下:
从装有4个小球(其中2个红球2个白球,它们除颜色外完全相同)的盒子中随机摸出2个小球,若摸到2个红球则按原价的5折付款,若摸到1个红球则按原价的7折付款,若未摸到红球按原价的9折付款。
单笔消费不低于200元的顾客可从中任选一种优惠方案。
(I)某顾客购买一件300元的商品,若他选择优惠方案二,求该顾客最好终支付金额不超过250元的概率。
(II)若某顾客的购物金额为210元,请用所学概率知识分析他选择哪一种优惠方案更划算?
【答案】(I);(II)方案二.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)原问题即顾客最终至少摸到一个红球,由题意结合对立事件公式可得所求概率为;
(Ⅱ)若选择方案一,则需付金额元;若选择方案二,设需付金额元,求得其分布列,计算方差可得,故选方案二更划算.
试题解析:
(Ⅰ)顾客最终支付金额不超过250元,即至少摸到一个红球,故所求概率为;
(Ⅱ)若选择方案一,则需付金额元;
若选择方案二,设需付金额元,则随机变量的分布列为:
,故选方案二更划算.
20.已知椭圆的左右焦点分别是,椭圆C的上顶点到直线的距离为,过且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于M,N两点,
且|MN|=1。
(I)求椭圆的方程;
(II)过点的直线与椭圆C相交于P,Q两点,点),且,求直线的方程。
【答案】(I);(II).
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由得,由得,故,求解方程组有,,则椭圆的方程为;
(Ⅱ)设直线方程为,与椭圆的方程联立可得,则,利用平面向量垂直的充要条件有,据此可得关于实数k的方程,解得或,经检验当不合题意,则直线的方程为.
试题解析:
(Ⅰ)由点到直线距离公式有,整理可得,
由通径公式有,整理可得,
故,,
,椭圆的方程为;
(Ⅱ)设直线方程为,与椭圆的方程联立消去得
,设,则,
由得,即
,即,
,即,解得或
当时,直线经过点,不满足题意,舍去,故,
所以直线的方程为.
点睛:
(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
21.已知函数存在唯一极值点。
(I)求的取值范围;
(II)证明:
函数与的值域相同。
【答案】(I);(II)详见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意可得:
,,
分类讨论:
当时,在内有唯一极值点;
当时,若,无极值点,若,有两个极值点,不合题意;则;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,设,则在上单减,在上单增,的值域为,则原问题等价于,即,整理变形为,导函数单增,则原问题等价于,据此命题得证.
试题解析:
(Ⅰ),,当时,,
故在上单调递增,又时,,,
故在内有唯一实根,即在内有唯一极值点;
当时,由得,故在上单增,在上单减,
若则恒成立,此时无极值点,若,
又时,时,此时有两个极值点;
综上,;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,设即,
则在上单减,在上单增,的值域为,
要使与的值域相同,只需,即,
即,又,故即,
故只需证,又单增,所以要证即证,
而,故得证.
请从下面所给22.23两题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂.多涂均
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