导数与函数的极值最值.docx
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导数与函数的极值最值
导数与函数的极值、最值
题型一 用导数求解函数极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
典例设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f
(2)和极小值f
(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f
(1)
C.函数f(x)有极大值f
(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f
(2)
答案 D
解析 由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;
当-2 当1 当x>2时,f′(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值, 在x=2处取得极小值. 命题点2 求函数的极值 典例(优质试题·泉州质检)已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数). (1)若曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线平行于x轴,求a的值; (2)求函数f(x)的极值. 解 (1)由f(x)=x-1+,得f′(x)=1-. 又曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线平行于x轴, 得f′ (1)=0,即1-=0,解得a=e. (2)f′(x)=1-, ①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的单调增函数,所以函数f(x)无极值. ②当a>0时,令f′(x)=0,得ex=a,即x=lna, 当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0; 当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0, 所以f(x)在(-∞,lna)上单调递减, 在(lna,+∞)上单调递增,故f(x)在x=lna处取得极小值且极小值为f(lna)=lna,无极大值. 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值; 当a>0时,f(x)在x=lna处取得极小值lna,无极大值. 命题点3 根据极值求参数 典例 (1)(优质试题·沧州模拟)若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则实数c的取值范围为_______. 答案 ∪ 解析 f′(x)=3x2-4cx+1, 由f′(x)=0有两个不同的根, 可得Δ=(-4c)2-12>0, ∴c>或c<-. (2)若函数f(x)=-x2+x+1在区间上有极值点,则实数a的取值范围是( ) A.B. C.D. 答案 C 解析 函数f(x)在区间上有极值点等价于f′(x)=0有2个不相等的实根且在内有根,由f′(x)=0有2个不相等的实根,得a<-2或a>2.由f′(x)=0在内有根,得a=x+在内有解,又x+∈,所以2≤a<, 综上,a的取值范围是. 思维升华函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值的一般解题步骤 ①确定函数的定义域;②求导数f′(x);③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;④列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号. (2)根据函数极值情况求参数的两个要领 ①列式: 根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解. ②验证: 求解后验证根的合理性. 跟踪训练 (1)函数f(x)=(x2-1)2+2的极值点是( ) A.x=1B.x=-1 C.x=1或-1或0D.x=0 答案 C 解析 ∵f(x)=x4-2x2+3, ∴由f′(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1)=0,得 x=0或x=1或x=-1. 又当x<-1时,f′(x)<0, 当-1 当0 当x>1时,f′(x)>0, ∴x=0,1,-1都是f(x)的极值点. (2)函数y=2x-的极大值是________. 答案 -3 解析 y′=2+,令y′=0,得x=-1. 当x<-1或x>0时,y′>0;当-1 ∴当x=-1时,y取极大值-3. 题型二 用导数求函数的最值 典例(优质试题·洛阳模拟)已知函数f(x)=+klnx,k<,求函数f(x)在上的最大值和最小值. 解 f′(x)=+=. ①若k=0,则f′(x)=-在上恒有f′(x)<0, 所以f(x)在上单调递减. ②若k≠0,则f′(x)==. (ⅰ)若k<0,则在上恒有<0. 所以f(x)在上单调递减, (ⅱ)若k>0,由k<, 得>e,则x-<0在上恒成立, 所以<0, 所以f(x)在上单调递减. 综上,当k<时,f(x)在上单调递减, 所以f(x)min=f(e)=+k-1, f(x)max=f=e-k-1. 引申探究 本例中若函数为“f(x)=lnx-x2”,则函数f(x)在上的最大值如何? 解 由f(x)=lnx-x2, 则f′(x)=-x=, 因为当≤x≤e时,令f′(x)>0,得≤x<1; 令f′(x)<0,得1 所以f(x)在上单调递增,在(1,e]上单调递减, 所以f(x)max=f (1)=-. 思维升华求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值. (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b). (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 跟踪训练设函数f(x)=x3--2x+5,若对任意的x∈[-1,2],都有f(x)>a,则实数a的取值范围是________________. 答案 解析 由题意知,f′(x)=3x2-x-2, 令f′(x)=0,得3x2-x-2=0, 解得x=1或x=-, 又f (1)=,f=, f(-1)=,f (2)=7, 故f(x)min=,∴a<. 题型三 函数极值和最值的综合问题 典例(优质试题·珠海调研)已知函数f(x)=(a>0)的导函数y=f′(x)的两个零点为-3和0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值. 解 (1)f′(x)==. 令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c, 因为ex>0,所以y=f′(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点且f′(x)与g(x)符号相同. 又因为a>0,所以当-3 当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f′(x)<0, 所以f(x)的单调递增区间是(-3,0), 单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞). (2)由 (1)知,x=-3是f(x)的极小值点, 所以有 解得a=1,b=5,c=5, 所以f(x)=. 因为f(x)的单调递增区间是(-3,0), 单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞), 所以f(0)=5为函数f(x)的极大值, 故f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者,而f(-5)==5e5>5=f(0), 所以函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5. 思维升华 (1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值. 跟踪训练若函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是( ) A.[-5,0)B.(-5,0) C.[-3,0)D.(-3,0) 答案 C 解析 由题意,得f′(x)=x2+2x=x(x+2), 故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数, 在(-2,0)上是减函数,作出其图象如图所示, 令x3+x2-=-,得 x=0或x=-3,则结合图象可知, 解得a∈[-3,0). 利用导数求函数的最值 典例(12分)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值. 思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f′(x)>0,f′(x)<0的解区间,并注意定义域. (2)先研究f(x)在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中,由于解析式中含有参数a,要对参数a进行分类讨论. 规范解答 解 (1)f′(x)=-a(x>0), ①当a≤0时,f′(x)=-a>0,即函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).[2分] ②当a>0时,令f′(x)=-a=0,可得x=, 当0 当x>时,f′(x)=<0, 故函数f(x)的单调递增区间为, 单调递减区间为.[4分] 综上可知,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.[5分] (2)①当≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f (2)=ln2-2a.[6分] ②当≥2,即0 (1)=-a .[7分] ③当1<<2,即 (2)-f (1)=ln2-a,
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- 导数 函数 极值
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