二次函数的概念教学设计1Word格式.docx

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问题1.现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？

小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？

问题2.很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：

投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？

怎样计算篮球达到最高点时的高度？

师：

这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”

（板书课题）

（二）合作学习，探索新知

请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：

（1）面积y（cm2）与圆的半径x（cm）

（2）王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文x两年后王先生共得本息y元;

（3）拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为120cm,室内通道的尺寸如图,设一条边长为x（cm）,种植面积为y（m2）

（1）教师组织合作学习活动：

1求，尝试写出y与x之间的函数解析式。

2述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。

（1）

（2）y=2000（1+x）2=20000x2+40000x+20000

（3）y=（60-x-4）（x-2）=-x2+58x-112

（2）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？

让学生充分发表意见，提出各自看法。

上述三个函数解析式经化简后都具y=ax²

+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）的形式。

下面我们给出二次函数的定义：

我们把形如y=ax²

+bx+c（其中a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadraticfuncion）；

称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

（3）做一做

在学习完二次函数的定义之后，我们给出几道练习题，让同学们通过习题来巩固所学的知识点。

1列函数中，哪些是二次函数？

（2）

（3）

（2）（4）

（5）

2别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

（2）

（3）

（四）例题示范，了解规律

例一若函数

为二次函数，则m的值为。

分析：

要使函数为二次函数，则二次项系数不为零，且最高项次数为2.

解：

且

解得

或

所以

例二：

如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。

设AE=BF=CG=DH=x（cm）,四边形EFGH的面积为y（cm2）,求：

y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围。

（1）学生独立分析思考，尝试写出y关于x的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨；

（2）对于这问题可以用多种方法解答，比如：

求差法：

四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形AEH的面积的4倍。

直接法：

先证明四边形EFGH是正方形，再由勾股定理求出EH2

（3）对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。

解：

=

随堂练习：

1．下列函数中，哪些是二次函数？

若是,分别指出二次项系数，一次项系数，常数项；

（1）y=3（x-1）²

+1

（2）y=x+

（3）s=3-2t²

（4）y=（x+3）²

-x²

2．已知函数

是二次函数，求m的值；

3．已知二次函数

，当x=3时，y=-5，当x=-5时，求y的值；

4．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y；

5．用20米的篱笆围一个矩形的花圃，设连墙的一边为x，矩形的面积为y，求：

（1）写出y关于x的函数关系式.

（2）当x=3时,矩形的面积为多少?

（五）作业布置

必做题：

123

选做题：

24

（六）板书设计

二次函数的概念

一、二次函数的定义

例题讲解与习题练习

（七）教学反思

重点总结二次函数概念的形成过程、本质特征和初步的应用，以及本节课所应用到的思想与方法。

使学生对本节课的整体有所把握，了解新旧知识的区别与联系，及新知的形成过程，提炼出思想方法，使学生的思维得以升华。

探索问题1、

用周长为20m的篱笆围成矩形场地，场地面积y（m²

）与矩形一边长x（m）之间的关系是什么？

由学生认真思考并与同桌交流，然后回答下面的问题

1设矩形靠墙的一边AB的长ｘｍ，矩形的面积yｍ2．

能用含x的代数式来表示y吗？

2 

试填表（见课本）

3 

x的值可以任意取？

有限定范围吗？

4 

我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式

探究问题2

某商店将每件商品进价为8元的商品按每10元出售，一天可售出约100件。

该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。

经市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。

将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

1 

设每件商品降低x元，该商品每天的利润为y，y是x的函数吗？

x的值有限定吗？

怎样写出该关系式？

教师提问：

以上两个例子所列出的函数有声么特点，学生观察并讨论。

【设计意图】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，对比一次函数归纳出二次函数的定义

三、讲解新课

引入二次函数的定义：

形如y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c为常数）的函数叫做二次函数。

巩固对二次函数概念的理解：

提问：

1．上述概念中的a为什么不能是0？

2.对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？

若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？

你认为它们还是不是二次函数？

思考：

1. 

由问题1和2你认为判断二次函数的关键是什么？

判断一个函数是否是二次函数的关键是：

看二次项的系数是否为0．

2. 

二次函数的一般式y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有什么联系和区别？

联系

（1）等式一边都是ax2+bx+c且 

a≠0 

（2）方程ax2+bx+c可以看成是函数y=ax2+bx+c中y=0时得到的.

区别:

前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0

【设计意图】这里强调对二次函数概念的理解，有助于学生更好地理解，掌握其特征，为接下来的判断二次函数做好铺垫。

例1:

下列函数中，哪些是二次函数？

（1）y=3x-1 

（ 

） 

（2）y=3x2 

（ 

）

（3）y=3x3+2x-2（ 

（4）y=2x2-2x+1（ 

）

（5）y=x-2+x 

（6）y=x2-x（1+x）（ 

例2:

m取何值时，函数y=（m+1）x 

m2—2m-1+（m-3）x+m 

是二次函数？

根据题意得

m2—2m-1=2 

且 

m+1≠0

∴m=3

【设计意图】理论学习完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中。

跟进练习：

四、巩固练习

1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10cm。

（1）当它的一条直角边的长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积；

（2）设这个直角三角形的面积为Scm2,其中一条直角边为xcm，求S关于x的函数关系式。

【设计意图】此题由具体数据逐步过渡到用字母表示关系式，让学生经历由具体到抽象的过程，从而降低学生学习的难度。

2.已知正方体的棱长为xcm,它的表面积为Scm2,体积为Vcm3。

（1）分别写出S与x，V与x之间的函数关系式子；

（2）这两个函数中，那个是x的二次函数？

【设计意图】简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数。

通过简单题目的练习，让学生体验到成功的欢愉，激发他们学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。

3.设圆柱的高为h（cm）是常量，底面半径为rcm，底面周长为Ccm，圆柱的体积为Vcm3

（1）分别写出C关于r；

V关于r的函数关系式；

（2）两个函数中，都是二次函数吗？

【设计意图】此题要求学生熟记圆柱体积和底面周长公式，在这儿相当于做了一次复习，并与今天所学知识联系起来。

4.篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y（m2）与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

【设计意图】此题较前面几题稍微复杂些，旨在让学生能够开动脑筋，积极思考，让学生能够“跳一跳，够得到”。

五、小结思考：

本节课你有哪些收获？

还有什么不清楚的地方?

【设计意图】让学生来谈本节课的收获，培养学生自我检查、自我小结的良好习惯，将知识进行整理并系统化。

而且由此可了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的教学中补充。

六、作业布置：

1.正方形的边长为4，如果边长增加x，则面积增加y，求y关于x的函数关系式。

这个函数是二次函数吗？

2.在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y（cm2）与正方形边长x（cm）之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。

1.已知函数是二次函数，求m的值。

2.试在平面直角坐标系画出二次函数y=x2和y=-x2图象

【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，体现新课标人人学有价值的数学，不同的人得到不同的发展。

另外补充第4题，旨在激发学生继续学习二次函数图象的兴趣。

七、板书设计

二次函数

一、复习提问，情境导入

1、复习提问：

1、2、3、

2、情境引入：

探究1探究2

二、二次函数的定义：

三、例1例2

四、课堂练习：

1、2、3、4

五、小结：

（一）复习提问

1．什么叫函数？

我们之前学过了那些函数？

（一次函数，正比例函数，反比例函数）

2．它们的形式是怎样的?

（y=kx+b，k≠0；

y=kx,k≠0；

y=

k≠0）

3．一次函数（y=kx+b）的自变量是什么？

函数是什么？

常量是什么？

为什么要有k≠0的条件？

k值对函数性质有什么影响？

【设计意图】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．

（二）引入新课

函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。

看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系。

（电脑演示）

例1、

（1）圆的半径是r（cm）时，面积s（cm²

）与半径之间的关系是什么?

s=πr²

（r>

0）

例2、用周长为20m的篱笆围成矩形场地，场地面积y（m²

y=x（20/2-x）=x（10-x）=-x²

+10x（0<

x<

10）

例3、设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。

如果存款额是100元，那么请问两年后的本息和y（元）与x之间的关系是什么（不考虑利息税）?

y=100（1+x）²

=100（x²

＋2x+1）

=100x²

+200x+100（0<

1）

以上三个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点？

【设计意图】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数与一次函数的联系：

（1）函数解析式均为整式（这表明这种函数与一次函数有共同的特征）。

（2）自变量的最高次数是2（这与一次函数不同）。

（三）讲解新课

以上函数不同于我们所学过的一次函数，正比例函数，反比例函数，我们就把这种函数称为二次函数。

二次函数的定义：

1、强调“形如”，即由形来定义函数名称。

二次函数即y是关于x的二次多项式（关于的x代数式一定要是整式）。

2、在y=ax2+bx+c中自变量是x，它的取值范围是一切实数。

但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。

（如例1中要求r>

3、为什么二次函数定义中要求a≠0？

（若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了）

4、在例3中，二次函数y=100x2＋200x＋100中，a=100，b=200，c=100．

5、b和c是否可以为零？

由例1可知，b和c均可为零．

　　若b=0，则y=ax2＋c；

　　若c=0，则y=ax2＋bx；

　　若b=c=0，则y=ax2．

　　注明：

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式．

判断：

下列函数中哪些是二次函数？

哪些不是二次函数？

若是二次函数，指出a、b、c．

（1）y=3（x-1）²

+1

（2）

（3）s=3-2t²

（4）y=（x+3）²

-x²

（5）s=10πr²

（6）y=2²

+2x

（8）y=x4＋2x2＋1（可指出y是关于x2的二次函数）

（四）巩固练习

（2）设这个直角三角形的面积为Scm2,其中一条直角边为xcm，求S关

于x的函数关系式。

（1）分别写出S与x，V与x之间的函数关系式子；

（2）这两个函数中，那个是x的二次函数？

（1）分别写出C关于r；

（2）两个函数中，都是二次函数吗？

（五）拓展延伸

1.已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当x=0时，y=0；

x=1时，y=2；

x=-1时，y=1．求a、b、c，并写出函数解析式．

【设计意图】在此稍微渗透简单的用待定系数法求二次函数解析式的问题，为下节课的教学做个铺垫。

2.确定下列函数中k的值

（1）如果函数y=xk^2-3k+2+kx+1是二次函数,则k的值一定是______

（2）如果函数y=（k-3）xk^2-3k+2+kx+1是二次函数,则k的值一定是______

【设计意图】此题着重复习二次函数的特征：

自变量的最高次数为2次，且二次项系数不为0.

（六）小结思考：

（七）作业布置：

2.在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y（cm2）与正方形边长x（cm）之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。

1.已知函数

是二次函数，求m的值。

2.试在平面直角坐标系画出二次函数y=x2和y=-x2图象