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1.16,⑵=0.075,J+J(4)=ln(1+i⑵冷)2+4l-(l+/
(2)/2)-1/2=0.1466
_mJLm.
1.17exp((如d〃・exp(]kr/25dt^=2.7183=>
k=0.414
1.18o(7)=exp[£
中由]=(2+/)/2,8=a(n)-6/(0)=n/2=>
n=16
1.191000exp[fg=1068.94
1.20A=67.5,B=10(1.0915)1°
一〃+30(1.0915)'
°
一2〃,〃=2.3254
第2章等额年金
2.11363元
2.2279430元
2.326005
2.4基金在第30年初的现值为658773.91,如果限期领取20年,每次可以领取57435,如果无限期地领下去,每次可以领取39526
2.531941.68元,21738.97元,46319.35元
2.69年
2.729月末
2.80.1162
2.98729.23
2.1045281.05
2.110.2
2.12302
2.134.06%
2.14假设最后一次付款的时间为〃,则有:
100000=1OOOOq*(1+0°
5)Tn〃=23.18
假设在23年末的非正规付款额为X,则有
100000=10000^(1+0.05)T+X(1+0.05)-23=>
X=1762.3
2.15100%=4495.5038=6000俨=>
俨=0.7493=>
k=29
2.161538。
南=1072。
司n1072产-1538"
+466=0ni=0.08688
IOl20l
2.17设J为等价利率,则j=0.040604,累积值=1000(^+可)=32430
2.18以每半年为一个时期,每个时期的实际利率为〃2,两年为一个时期的实际利率为j=(1+//2)4-1,故5.89=1//=i=0.08
2.1912•$由+12•八%=64=>
(1+0.75z)10=2ni=0.09569
n
2.20
drdt=ln(l+/?
))l+,.
弓=Jexp
2.21a(t)=expl"
f6dr=(14-0.5r)2,5q=++=12.828
L*J圳o(l)o
(2)a(5)
2.22fqdl=:
f(1—=f(8—q)=「8—1;
=100v8=1-(8-100J).Sn/=[1-(8-100$)可®
_1—pll>
]-[1-(8-100$)句
Cl—I——
旧$8
2.231/30
2.241-[ln(〃5)]/5
nc>
_]
2.254e〃°
=12二>
e〃"
=3,胃=12=>
=12=>
$=1/6
刑5
第3章变额年金
*-29
3.172.88=/"
)初。
弋厂5•祁二65.44n/=0.1
3.2900。
词+100(也扁=1088.69
3.3u+2"
+3”+…++〃/】+小/+2+...=(0屿=但
id
03
3.4X=2”+4v5+6v7+8v9+...=—=49.89
(1-v2)2
3.5A的现值为:
X=55。
冠=55(%+"
%)
B的现值为:
X=30%+60u%词+90疽。
%
故55(1+V10)=30+60"
+9Ov20=>
i=0.07177=>
X=574.74
3.6(也)/俨(服扁=勺%
3.720(0。
)刃+160。
国=2146.20
3.811846.66
3.9每季度复利一次的利率为0.0194,所有存款在第八年末的终值为
i(%8KI,X/0.08=183.01nX=14.64
3.10343320
3.1116607
3.12现值为5197.50,累积值为9333.98.
3.13930结+70(H)问=9998.16,终值为23312.11.
3.14现值为20(。
。
加+280%=3246.03,在第20年末的终值为10410.46.
3.15212.34
3.16此项投资在第10年末的终值为:
80000=0-5000)端6%+500评扁6%
80000=(X-5000)(13.97164)+500(83.52247)=X=7736.88
3.17X=挪(100(应扁幼+2000知%)=15979.37.
3.18第20年末的终值为:
(l+i)”200(Az加5%=19997.38
3.19前5年的现值为77.79,从第6年开始,以后各年付款的现值为:
/110no>
20U(i+幻———,总现值为335,故&
=3.76%.
3.2090s词4%+1。
(%%=1735.96
3.21第8年的终值为:
60鬲%+5(£
>
歹扇%=894.48478
第10年末的终值为1024.10.
3.22f°
(中+3)exp[―.(0.03+0.04s)dsd/=89.97
3.23在时刻5的现值为:
+2r)exp^(0.0006?
+0.00h)dydr=382.88
时刻零的现值为:
382.88exp[—f(0.004z+0.01)dz=346.44
3.2425000=f°
(9k+泳)exp[「1/(s+9)ds]由=190Ank=131.58
第4章收益率
4.10.1483
4.21221.99
4.3时间加权收益率0.5426,币值加权收益率0.5226,两者之差0.0236.
4.493000
4.5-10%
120100-5065〔八冒・65—(100+0—50)n1O1/1
100120+。
100-50100+0x9/12-50x3/12
4.70.1327
4.87.5%
4.9236.25
4.100.0619
4.115年末投资者共得到56245.5元.设购买价格为P,要得到4%的收益率,有
P(1.04)5=56245.5=>
P=46229.7
4.125000^08=100000+(5000z)(A)^2n明旗=34.71G=0.1
4.13再投资利率为8.73%.投资者B的利息再投资后的积累值为6111.37.
41412•,・皓睥+12・ig=64n(1+0.75消=2G=0.09569
4.153项投资在2015年初的余额为320.46万元,在2015年末的余额为344.56万元,故2015年中所获利息为24.10万元.
第5章贷款偿还方法
5.1X=704.06
5.2设每年的等额分期付款金额为/?
由已知
/?
(1-V28)=135,R(l-V14)=108=>
R(1-"
)=72
5.3R(l-v3°
-,+l)=R/3n=2/3nf=22.69
故在第23年分期付款中利息金额最接近于付款金额的三分之一.
5.4290.35=/?
v10+Rv9+R”,408.55=N+Rv2+Rv
ni=0.05,R=150.03,£
=1158.4.支付的利息总金额为1OR—L=341.76
5.51510.6
5.6
(1)借款人第2年末向偿债基金的储蓄额应为4438.42
(2)第2年末的余额为9231.91
(3)第2年末的贷款净额为10768.09
5.7/;
=6104.56=£
0/a^.=20000/a-.1=8.4911%
5.8第5次偿还中的利息为66.89万元
5.9125,000=/?
^,[l+1.02v+(1.02v)2+••••+(!
.02v)29]nR=526
5.10各期还款的积累值为1000喝0。
5=10000(1+,)"
n1=0.0616[55000=500.38^.
5.11{10ni=12/=0.0917
3077.94=55000(1+/)12/,-500.385-^.
5.12第一笔贷款偿还的本金为490.34,第二笔贷款偿还的本金为243.93,两笔贷款的本金之和为734.27.
5.133278.
5.14第3次支付的本金金额为784.7,第5次支付的利息金额为51.4.
5.150.1196.
5.1664.74.
5.17调整后最后一次的偿还额为1239.1.
548第11年末.
5.19调整后借款人增加的付款为112.
5.2010000=跖+1900子%词+lOOvC/a)^=>
X=5504.7.
5.2111190.11.
证券定价
6.1价格为957.88元,账面值为973.27元.
6.2价格为974.82元,账面值为930.26元(理论方法),929.82(半理论方法),1015(实践方法.
6.37.227%.
6.46.986%.
6.5P=100x0.1%+100x0.09尸。
%+100x0.08广词=97.74元.
6.6债券每年末的息票收入为80元,故有
1082.27=*=V;
(1+i)-80=[(^)(1+z)-80](1+i)-80
=1099.84(1+i)2一80(1+0-80=>
i=6.5%
80•.+1000u(〃一3)=1099.84=>
n=12
P=80・。
由n+1000(1.065)-12=1122.38元.
6.7应用债券定价的溢价公式可以建立下述三个等式:
(40)
<
45)
⑵丫="
-归
(50)
(3)2X=C咆
\c/
由(3)/
(1)得:
-2=
50-Ci
40-Ci
Ci
130
v
由
(1)+(3)得:
X=(90-2G>
^=>
^=-——7V—ZCZ
所以有Y=(45-Ci)a^=X/2=5元.
6.81=7/12,理论方法的账面值为87.35元,实践方法的账面值为87.35元.
6.91100W'
=190=>
俨=19/110=>
不=910/33
P=1100u"
+40s、=1293.03.
n\0.03
6.10P=40明+Q=30q+M•…,令债券C的价格为X,则有
X=80^+M・u"
nX=5P—4Q.
6.11
P=(l°
0°
'
)%g+ll°
(L°
4广“0.035P—81.49=(1000r)%o°
「+1100(1.05)"
'
X=1000x0.035137%()0^H7+1100x(1.035137)-,°
=1070.80
6.12P=1050产+50p+(1.03)v2+(1.03),v3+••-+(1.03广v20=837.78.
6.13偿还值的现值为200皆吃=584.68(元),未来息票收入的现值为60%+12"
(Dq)3=355.99(元),故债券的价格为940.67元也可以应用Makeham公式计算,即P=0.06/0.07x(1000-584.68)+584.68=940.67元.
P=40qf+1000v2°
[P=1071.06
614)201-a,J
•]p=40。
词+X•/[X=1041.58
6.15债券每年末的息票收入为60元,修正息票率为60/1050=5.7143%,小于投资者所要求的收益率8%,所以赎回越晚(即到期时赎I可),债券的价格越低.由此可得该债券的价格为P=1050+1050x(5.7143%—8%)x。
词=888.94元.
6.16股票在第六年的红利为0.5x0.2x(1.10)6,以后每年增长10%.应用复递增永续年金
的公式,该股票的价格为P=0.5x0.2x(1.10)6x―'
——x1.11-5=10.51元.
0.11-0.1
6.17投资者每个季度的实际收益率为;
=2.47%,应用复逆增永续年金的公式,投资者购买该股票的价格为P=0.3/(2.47%-2%)=63.83元.
6.18/•=1.5/30+5%=10%.
6.1930元.
6.20每股利润为10-9.50=0.50元,保证金为10x0.50=5元,保证金所得利息为5x0.050=0.25元,每股红利为0.1元,卖空收益率为(0.5+0.25-0.1)/5=13%.
6.218.59%
第7章利率风险
7.1D马=15,基于名义收益率的修正久期为。
=15/(1+1%)=14.85.年实际收益率为i=12.68%,基于实际收益率的修正久期为D=15/(1+12.68%)=13.31.
1yi
7.2D=P'
0)/P(S)=w-f^
oe-1
7.3假设债券的面值为100,则P=92.64,。
为=8.02,0=7.57
A—I・
7.4债券的马考勒久期可以表示为。
马=己也,其中j=i(,n)/m.变形可得:
m
n1・\1—(l+l)n1一W..(”?
)
£
>马=(1+j)。
顽/.篇=(1+力一——=-—=a^•
7.5对年金的现值关于利率i求导,应用修正久期的定义公式可得D=--.
i1一u'
7.6对于期末付永续年金,现值为P(i)=l/i,P\i)=-\/i29所以修正久期为。
=1也,马考勒久期为D马=。
(1+/)=(1+/)/i.
7.7对于期初付永续年金,现值为地)=(1+,)也,P,(i)=-于i2,所以修正久期为
0=1/国1+/)],马考勒久期为D马=0(1+0=1/i.
pf(i\
7.8P=5。
刁〃+100v2=96.53=>
P'
(i)=-169.29nD=一一=1.75
MP(i)
7.9D效=7.49
7.10
7.H
7.12
7.13
DnAP
O=—=7.886,—=-(A/).D=1.18%
l+zP
n新的债券价格近似为:
75.98x1.018=76.88
D效=8.92,。
效=13.35.
AP
—=-(&
)•。
+0.5•(Az)2・C=-8.85%,债券的新价格近似为95.59元.
修正久期为8.12,凸度为101.24.
马考勒凸度为105.15.
7.14
d2P
cl—dP1d2P2
P=-=16.67=>
—=—r-=-
idii2di2i3
=>
=-丝^=1=16.67
•2
P(i)i
41=^=555.55
7J5
7.16
7.17
7.18
=>C
P(i)/
—=—(&
+0.5•(Az)2・C=-4.28%
负债的现值为外=12418.43,负债的马考勒久期为以=5,负债的马考勒凸度为C:
=25.不妨假设两种零息债券的面值均为1000元,则
4年期零息债券的价格为乙=1000/(1+1)4=683.01元,10年期零息债券的价格为=1000/(1+泸=385.54元.
假设有X%的债券投资4年期的零息债券,(1-X%)的债券投资10年期的零息债券,由£
>壹=£
>卷,有:
(七%)(4)+(1%)(10)=55%=83.33%
投资4年期零息债券的金额为10348.28元,投资10年期零息债券的金额2070.15元.债券A的价格为982.17元,马考勒久期为1.934,马考勒凸度为3.8.债券B的价格为1039.93元,马考勒久期为4.256,马考勒凸度为19.85.在债券A上投资11.02%,在债券B上投资88.98%,则债券组合的马考勒久期等于负债的马考勒久期,均为4年,债券组合的马考勒凸度为18.08,大于负债的马考勒凸度16,满足免疫的条件.
各种债券的购买数量分别如下:
购买5年期债券的数量
购买4年期债券的数量
购买2年期债券的数量
购买1年期零息债券
80000
300000
600000
100000
8.1
8.2
年度
1
2
3
4
5
负债的现金流
1794
6744
144
3144
824
5年期债券的现金流
24
净负债的现金流
1770
6720
120
3120
4年期债券的现金流
1650
6600
2年期债券的现金流
600
1050
1年期债券的现金流
购买各种债券以后净负债的现金流如下(单位:
万元):
第8章利率的期限结构
一•年期债券的价格为P=102.78;
两年期债券的价格为户=92.96;
三年期债券的价格为P=112.43.
102.78=^^=>
5,=8%
1+&
92.96=+105-=>
&
=9.03%
5(1+/
112.43=上-+—+-115;
-=>
s?
=10.20%
1+5(1+巳)(1+林)
现金流分别按对应的即期利率折现得债券的价格为:
1010110
1.051.0621.08°
105.75
8.3各年远期利率分别为8%、10.1%和12.6%.
8.4假设债券的面值为100元,计算5年期债券的价格:
B+二+二+工工+_12_+业
17777=1T+"
T+*rH71.071.0721.0731.0741.07,1+»
(1+巳)(1+^3)(1+&
)(1+&
1111
n+
rHrH—3.74
1+E(l+s)(1+电)3(1+sJ
每年支付40元的5年期期初付年金按对应的即期利率折现即得其现值为:
401+——+++=189.75
1+S](1+叫)(1+$3)°
(1+$4)_
8.5由远期利率计算的债券价格为:
11
1.07(1.07)(1.05)(1.07)(1.05)(1.1)
=107.25(元)
8.6
假设债券的面值为100元,则W:
100=
104
(1+.舟)
*=4%
nlOO=—-—+=>
/.=8.16%
S)++
88
108
=100=—-—++=£
=12.69%
(1+4)(Sd+Q(SO+QS)
8.7应用即期利率和远期利率的关系,有
1+S]=1+/°
ns】=4=6%
(1+S2)2=(1+么)(l+f)ns2=5.50%
(1+a),=(1+To)。
+/.)(1+£
)=>
%=6.98%
8.8
8.9
用G表示债券在,年末的现金流入,则有:
J==20%
1.21+5,
勺+乌=勺+G>
2=20%
1.21.221.2(1+sj
,+乌=£
+g+—^n&
=20%
1.21.221.231.21.22(1+、)
1+勺=1+/()=>
/0=20%
1.23
1.22=(1.2)(1+/)=>
/;
=20%,£
=片-1=20%JL•匕
8.10
106=M~n人=3.77%l+./o
95=-^-+=>
/=12.20%
1
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