实验四 MATLAB符号计算Word格式文档下载.docx

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y=sym（'

2*sin（x）*cos（x）'

）

y=simple（y）

y=

2*sin（x）*cos（x）

y=

sin（2*x）

【例5.1.1-4】用符号计算验证三角等式

。

symsfai1fai2;

y=simple（sin（fai1）*cos（fai2）-cos（fai1）*sin（fai2））

sin（fai1-fai2）

【例5.1.1-5】求矩阵

的行列式值、逆和特征根

symsa11a12a21a22;

A=[a11,a12;

a21,a22]

DA=det（A）,IA=inv（A）,EA=eig（A）

A=

[a11,a12]

[a21,a22]

DA=

a11*a22-a12*a21

IA=

[a22/（a11*a22-a12*a21）,-a12/（a11*a22-a12*a21）]

[-a21/（a11*a22-a12*a21）,a11/（a11*a22-a12*a21）]

EA=

1/2*a11+1/2*a22+1/2*（a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21）^（1/2）

1/2*a11+1/2*a22-1/2*（a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21）^（1/2）

【例5.1.1-6】验证积分

symsAttaow;

yf=int（A*exp（-i*w*t）,t,-tao/2,tao/2）;

Yf=simple（yf）

Yf=

2*A*sin（1/2*w*tao）/w

5.1.2符号计算中的算符和基本函数

5.1.3识别对象类别的指令

【例5.1.3-1】数据对象及其识别指令的使用。

（1）

clear,a=1;

b=2;

c=3;

d=4;

Mn=[a,b;

c,d]

Mc='

[a,b;

c,d]'

Ms=sym（Mc）

Mn=

12

34

Mc=

Ms=

[a,b]

[c,d]

（2）

SizeMn=size（Mn）,SizeMc=size（Mc）,SizeMs=size（Ms）

SizeMn=

22

SizeMc=

19

SizeMs=

（3）

CMn=class（Mn）,CMc=class（Mc）,CMs=class（Ms）

CMn=

double

CMc=

char

CMs=

sym

（4）

isa（Mn,'

double'

）,isa（Mc,'

char'

）,isa（Ms,'

sym'

）

ans=

1

ans=

（5）

whosMnMcMs

NameSizeBytesClass

Mc1x918chararray

Mn2x232doublearray

Ms2x2312symobject

Grandtotalis21elementsusing362bytes

5.1.4符号表达式中自由变量的确定

【例5.1.4-1】对独立自由符号变量的自动辨认。

symsabxXY;

k=sym（'

3'

）;

z=sym（'

c*sqrt（delta）+y*sin（theta）'

EXPR=a*z*X+（b*x^2+k）*Y;

findsym（EXPR）

X,Y,a,b,c,delta,theta,x,y

findsym（EXPR,1）

x

findsym（EXPR,2）,findsym（EXPR,3）

x,y

x,y,theta

【例5.1.4-2】findsym确定自由变量是对整个矩阵进行的。

symsabtuvxy;

A=[a+b*x,sin（t）+u;

x*exp（-t）,log（y）+v]

findsym（A,1）

[a+b*x,sin（t）+u]

[x*exp（-t）,log（y）+v]

5.2符号表达式和符号函数的操作

5.2.1符号表达式的操作

【例5.2.1-1】按不同的方式合并同幂项。

EXPR=sym（'

（x^2+x*exp（-t）+1）*（x+exp（-t））'

expr1=collect（EXPR）

expr2=collect（EXPR,'

exp（-t）'

）

expr1=

x^3+2*exp（-t）*x^2+（1+exp（-t）^2）*x+exp（-t）

expr2=

x*exp（-t）^2+（2*x^2+1）*exp（-t）+（x^2+1）*x

【例5.2.1-2】factor指令的使用

symsax;

f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;

factor（f1）

（x-1）*（x-2）*（x-3）*（x+1）

f2=x^2-a^2;

factor（f2）

-（a-x）*（a+x）

factor（1025）

5541

【例5.2.1-3】对多项式进行嵌套型分解

clear;

horner（f1）

-6+（5+（5+（-5+x）*x）*x）*x

【例5.2.1-4】写出矩阵

各元素的分子、分母多项式

symsx;

A=[3/2,（x^2+3）/（2*x-1）+3*x/（x-1）;

4/x^2,3*x+4];

[n,d]=numden（A）

pretty（simplify（A））%<

n=

[3,x^3+5*x^2-3]

[4,3*x+4]

d=

[2,（2*x-1）*（x-1）]

[x^2,1]

[32]

[x+5x-3]

[3/2-----------------]

[（2x-1）（x-1）]

[]

[4]

[----3x+4]

[2]

[x]

pretty（simplify（n./d））

[32]

[x]

【例5.2.1-5】简化

f=（1/x^3+6/x^2+12/x+8）^（1/3）;

sfy1=simplify（f）,sfy2=simplify（sfy1）

sfy1=

（（2*x+1）^3/x^3）^（1/3）

sfy2=

g1=simple（f）,g2=simple（g1）

g1=

（2*x+1）/x

g2=

2+1/x

【例5.2.1-6】简化

ff=cos（x）+sqrt（-sin（x）^2）;

ssfy1=simplify（ff）,ssfy2=simplify（ssfy1）

ssfy1=

cos（x）+（-1+cos（x）^2）^（1/2）

ssfy2=

gg1=simple（ff）,gg2=simple（gg1）

gg1=

cos（x）+i*sin（x）

gg2=

exp（i*x）

5.2.2符号函数的求反和复合

【例5.2.2-1】求

的反函数

f=x^2;

g=finverse（f）

g=

x^（1/2）

fg=simple（compose（g,f））%验算g（f（x））是否等于x

fg=

【例5.2.2-2】求

的复合函数

symsxyufait;

f=x/（1+u^2）;

g=cos（y+fai）;

fg1=compose（f,g）

fg1=

cos（y+fai）/（1+u^2）

fg2=compose（f,g,u,fai,t）

fg2=

x/（1+cos（y+t）^2）

5.2.3置换及其应用

5.2.3.1自动执行的子表达式置换指令

【例5.2.3.1-1】演示子表达式的置换表示。

clearall,symsabcdW;

[V,D]=eig（[ab;

cd]）;

[RVD,W]=subexpr（[V;

D],W）%<

RVD=

[-（1/2*d-1/2*a-1/2*W）/c,-（1/2*d-1/2*a+1/2*W）/c]

[1,1]

[1/2*d+1/2*a+1/2*W,0]

[0,1/2*d+1/2*a-1/2*W]

W=

（d^2-2*a*d+a^2+4*b*c）^（1/2）

5.2.3.2通用置换指令

【例5.2.3.2-1】用简单算例演示subs的置换规则。

f=a*sin（x）+5;

f=

a*sin（x）+5

f1=subs（f,'

sin（x）'

sym（'

y'

））%<

f1=

a*y+5

f2=subs（f,{a,x},{2,sym（pi/3）}）%<

f2=

3^（1/2）+5

f3=subs（f,{a,x},{2,pi/3}）%<

f3=

6.7321

f4=subs（subs（f,a,2）,x,0:

pi/6:

pi）%<

5>

f4=

5.00006.00006.73217.00006.73216.00005.0000

（6）

f5=subs（f,{a,x},{0:

6,0:

pi}）%<

6>

f5=

5.00005.50006.73218.00008.46417.50005.0000

5.2.4符号数值精度控制和任意精度计算

5.2.4.1向双精度数值转换的doblue指令

5.2.4.2任意精度的符号数值

【例5.2.4.2-1】指令使用演示。

digits

Digits=32

p0=sym（'

（1+sqrt（5））/2'

p1=sym（（1+sqrt（5））/2）

e01=vpa（abs（p0-p1））

p1=

7286977268806824*2^（-52）

e01=

.543211520368251e-16

p2=vpa（p0）

e02=vpa（abs（p0-p2）,64）

p2=

1.6180339887498948482045868343656

e02=

.38117720309179805762862135448622e-31

5.2.5符号对象与其它数据对象间的转换

【例5.2.5-1】符号、数值间的转换。

phi=sym（（1+sqrt（5））/2）

double（phi）

phi=

7286977268806824*2^（-52）

1.6180

【例5.2.5-2】各种多项式表示形式之间的转换

f=x^3+2*x^2-3*x+5;

sy2p=sym2poly（f）

p2st=poly2str（sy2p,'

x'

p2sy=poly2sym（sy2p）

pretty（f,'

sy2p=

12-35

p2st=

x^3+2x^2-3x+5

p2sy=

x^3+2*x^2-3*x+5

5.3符号微积分

5.3.1符号序列的求和

【例5.3.1-1】求

，

symskt;

f1=[tk^3];

f2=[1/（2*k-1）^2,（-1）^k/k];

s1=simple（symsum（f1））

s2=simple（symsum（f2,1,inf））

s1=

[1/2*t*（t-1）,k^3*t]

s2=

[1/8*pi^2,-log

（2）]

5.3.2符号微分和

矩阵

【例5.3.2-1】求

、

和

symsatx;

f=[a,t^3;

t*cos（x）,log（x）];

df=diff（f）

dfdt2=diff（f,t,2）

dfdxdt=diff（diff（f,x）,t）

df=

[0,0]

[-t*sin（x）,1/x]

dfdt2=

[0,6*t]

[0,0]

dfdxdt=

[-sin（x）,0]

【例5.3.2-2】求

的

矩阵。

symsx1x2x3;

f=[x1*exp（x2）;

x2;

cos（x1）*sin（x2）];

v=[x1x2];

fjac=jacobian（f,v）

fjac=

[exp（x2）,x1*exp（x2）]

[0,1]

[-sin（x1）*sin（x2）,cos（x1）*cos（x2）]

5.3.3符号积分

5.3.3.1通用积分指令

5.3.3.2交互式近似积分指令

5.3.3.3符号积分示例

【例5.3.3.3-1】求

演示：

积分指令对符号函数矩阵的作用。

symsabx;

f=[a*x,b*x^2;

1/x,sin（x）];

disp（'

Theintegraloffis'

pretty（int（f））

Theintegraloffis

[23]

[1/2ax1/3bx]

[log（x）-cos（x）]

【例5.3.3.3-2】求

演示如何使用mfun指令获取一组积分值。

F1=int（'

1/log（t）'

'

t'

0,'

F1=

-Ei（1,-log（x））

x=0.5:

0.1:

0.9

F115=-mfun（'

Ei'

1,-log（x））

x=

0.50000.60000.70000.80000.9000

F115=

-0.3787-0.5469-0.7809-1.1340-1.7758

【例5.3.3.3-3】求积分

注意：

内积分上下限都是函数。

symsxyz

F2=int（int（int（x^2+y^2+z^2,z,sqrt（x*y）,x^2*y）,y,sqrt（x）,x^2）,x,1,2）

VF2=vpa（F2）

F2=

64/225*2^（3/4）-6072064/348075*2^（1/2）+14912/4641*2^（1/4）+1610027357/6563700

VF2=

224.92153573331143159790710032805

【例5.3.3.3-4】利用rsums求

积分。

（与例5.3.3.3-2结果比较）

symsxpositive;

px=0.5/log（0.5*x）;

rsums（px）

图5.3-1

5.3.4符号卷积

【例5.3.4-1】本例演示卷积的时域积分法：

已知系统冲激响应

，求

输入下的输出响应。

symsTttao;

ut=exp（-t）;

ht=exp（-t/T）/T;

uh_tao=subs（ut,t,tao）*subs（ht,t,t-tao）;

yt=int（uh_tao,tao,0,t）;

yt=simple（yt）

yt=

-1/（T-1）/exp（t）+1/（T-1）/exp（t/T）

【例5.3.4-2】本例演示通过变换和反变换求取卷积。

系统冲激响应、输入同上例，求输出。

对式（5.3.4-1）两边进行Laplace变换得

，因此有

symss;

yt=ilaplace（laplace（ut,t,s）*laplace（ht,t,s）,s,t）;

yt=

（exp（-t/T）-exp（-t））/（T-1）

【例5.3.4-3】求函数

的卷积。

symstao;

t=sym（'

positive'

ut=sym（'

Heaviside（t）-Heaviside（t-1）'

ht=t*exp（-t）;

yt=int（subs（ut,t,tao）*subs（ht,t,t-tao）,tao,0,t）;

yt=collect（yt,'

Heaviside（t-1）'

（exp（1-t）*t-1）*heaviside（t-1）+1+（-t-1）/exp（t）

5.4符号积分变换

5.4.1Fourier变换及其反变换

【例5.4.1-1】求

的Fourier变换。

本例演示三个重要内容：

单位阶跃函数和单位脉冲函数的符号表示；

fourier指令的使用；

simple指令的表现。

（1）求Fourier变换

symstw;

Heaviside（t）'

%<

UT=fourier（ut）

UTC=maple（'

convert'

UT,'

piecewise'

w'

UTS=simple（UT）

UT=

2*pi*dirac（w）

UTC=

PIECEWISE（[pi*NaN,w=0],[0,otherwise]）

UTS=

（2）求Fourier反变换进行验算

Ut=ifourier（UT,w,t）

Uts=ifourier（UTS,w,t）

Ut=

Uts=

1

【例5.4.1-2】用fourier指令求例5.1.1-6中方波脉冲的Fourier变换。

本例演示：

fourier,simple指令的配合使用。

symsAtw

symstaopositive%<

yt=sym（'

Heaviside（t+tao/2）-Heaviside（t-tao/2）'

Yw=fourier（A*yt,t,w）

Ywc=maple（'

Yw,'

）%计算结果起指示作用<

Yws=simple（Yw）

Yw=

A*（i*exp（-1/2*i*tao*w）/w+pi*dirac（w））

Ywc=

PIECEWISE（[A*（i*exp（-1/2*i*tao*w）/w+pi*NaN）,w=0],[i*A*exp（-1/2*i*tao*w）/w,otherwise]）

Yws=

Yt=ifourier（Yw,w,t）

Yst=ifourier（Yws,w,t）

Yt=

A*heaviside（-t+1/2*tao）

Yst=

【例5.4.1-3】求

的Fourier变换，在此

是参数，

是时间变量。

fourier的缺省调用格式的使用要十分谨慎；

在被变换函数中包含多个符号变量的情况下，对被变换的自变量给予指明，可保证计算结果的正确。

symstxw;

ft=exp（-（t-x））*sym（'

Heaviside（t-x）'

F1=simple（fo