第二章《轴对称图形》提高练习试题文档格式.docx
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(2)若CD=4,求AD的长.
7.如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP.
(1)如图②,若M为AD边的中点,
①△AEM的周长= cm;
EP=AE+DP;
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?
请说明理由.
8.如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
CE=CF;
(2)在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°
,则GE=BE+GD成立吗?
为什么?
(3)运用
(1)
(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°
,AB=BC=12,E是AB上一点,且∠DCE=45°
,BE=4,求DE的长.
9.如图,点O是等边△ABC内一点.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°
得△ADC,连接OD.已知∠AOB=110°
.
△COD是等边三角形;
(2)当α=150°
时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:
当α为多少度时,△AOD是等腰三角形.
10.如图:
在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
,O为BC的中点.
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系;
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论.
参考答案
1.考点:
等腰三角形的性质.专题:
压轴题;
开放型.解答:
当∠BAD=2∠CDE时,AD=AE。
证明:
若∠BAD=2∠CDE,设∠CDE=x,则∠BAD=2x,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠2=∠CDE+∠C,∠ADC=∠BAD+∠B,∴∠2=x+∠C,∠1+x=2x+∠B=2x+∠C,∴∠1=x+∠C=∠2,∴AD=AE.
题1题2题3
2.考点:
等边三角形的判定与性质;
全等三角形的判定与性质;
含30度角的直角三角形.专题:
压轴题.证明:
(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°
,∵DG⊥AC,∴∠AGD=90°
,∠ADG=30°
,∴AG=AD/2;
(2)过点D作DH∥BC交AC于点H,∴∠ADH=∠B,∠AHD=∠ACB,∠FDH=∠E,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB=∠A=60°
,∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°
,∴△ADH是等边三角形,∴DH=AD,∵AD=CE,∴DH=CE,在△DHF和△ECF中,△DHF≌△ECF(AAS),∴DF=EF;
(3)∵△ABC是等边三角形,DG⊥AC,∴AG=GH,∴S△ADG=S△HDG,∵△DHF≌△ECF,∴S△DHF=S△ECF,∴S△DGF=S△DGH+S△DHF=S△ADG+S△ECF.
3.考点:
等边三角形的判定;
菱形的性质.专题:
开放型.
(1)证明:
①∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∠ACB=∠ACF,又∵∠B=60°
,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠ACB=60°
,∴∠B=∠ACF,∵BE=CF,∴△ABE≌△ACF;
②由△ABE≌△ACF,∴AE=AF,∠BAE=∠CAF,∵∠BAE+∠CAE=60°
,∴∠CAF+∠CAE=60°
,即∠EAF=60°
,∴△AEF是等边三角形.
(2)答:
存在。
在CD延长线上取点F,使CF=BE,与
(1)①同理可证△ABE≌△ACF,∴AE=AF,∠BAE=∠CAF,∴∠CAF﹣∠CAE=∠BAE﹣∠CAE,∴∠EAF=∠BAC,∵∠BAC=60°
,∴∠EAF=60°
∴△AEF是等边三角形.注:
若在CD延长线上取点F,使CE=DF亦可.
4.考点:
全等三角形的判定与性质.专题:
证明题;
压轴题.
延长BD至F,使DF=BC,连接EF,∵AE=BD,△ABC为等边三角形,∴BE=BF,∠B=60°
,
∴△BEF为等边三角形,∴∠F=60°
,在△ECB和△EDF中,∴△ECB≌△EDF(SAS),∴EC=ED.
题4题5题6
5.考点:
等边三角形的性质;
动点型.解:
(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形,∴∠ACB=60°
,∵∠BQD=30°
,∴∠QPC=90°
,设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x,∴QC=QB+BC=6+x,∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°
,∴PC=QC/2,即6﹣x=(6+x)/2,解得x=2,∴AP=2;
(2)当点P、Q同时运动且速度相同时,线段DE的长度不会改变.理由如下:
作QF⊥AB,交直线AB于点F,连接QE,PF,又∵PE⊥AB于E,∴∠DFQ=∠AEP=90°
,∵点P、Q速度相同,∴AP=BQ,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°
,在△APE和△BQF中,∵∠AEP=∠BFQ=90°
,∴∠APE=∠BQF,△APE≌△BQF(AAS),∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF,
∴四边形PEQF是平行四边形,∴DE=EF/2,∵EB+AE=BE+BF=AB,∴DE=AB/2,又∵等边△ABC的边长为6,∴DE=3,∴点P、Q同时运动且速度相同时,线段DE的长度不会改变.
6.考点:
勾股定理.专题:
计算题;
(1)∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC,∴∠5=60°
.又∵∠5+∠CBE=180°
,∴∠CBE=120°
.又∵BD平分∠CBE,∴
.∴∠5+∠3=∠4+∠3=120°
∴∠ABD=∠CBE.∵在△ABD和△CBE中,△ABD≌△CBE(ASA).∴BD=BE.
(2)过D作DF⊥AE于F,∴∠DFB=∠DCB=90°
,又∵∠CBD=∠FBD,BD=BD,∴△CBD≌△FBD(AAS).∴CB=BF,DF=CD=4.∵∠3=60°
,∠BCD=90°
,∴∠CDB=30°
,∴设BC=x,则BD=2x,
则42+x2=(2x)2,解得:
x=
,∵BD=BE,∴BD=
,在直角三角形BCD中,∵∠BCD=90°
∴BC=
,∴BF=BC=
.∵AB=BC,∴AF=AB+BF=
+
=
.直角三角形ADF中,AF=
,DF=4.∴根据勾股定理可得出AD=
7.考点:
翻折变换(折叠问题);
全等三角形的判定;
矩形的性质;
相似三角形的判定.专题:
几何综合题;
压轴题.解:
(1)由折叠知BE=EM,∠B=∠EMP=90°
.①△AEM的周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM.∵AB=4,M是AD中点,∴△AEM的周长=4+2=6(cm);
②现证明EP=AE+PD。
方法一:
取EP的中点G,则在梯形AEPD中,MG为中位线,∴MG=
(AE+PD),
在Rt△EMP中,MG为斜边EP的中线,∴MG=
EP,∴EP=AE+PD.
方法二:
延长EM交CD延长线于Q点.∵∠A=∠MDQ=90°
,AM=DM,∠AME=∠DMQ,∴△AME≌△DMQ.∴AE=DQ,EM=MQ.又∵∠EMP=∠B=90°
,∴PM垂直平分EQ,有EP=PQ.∵PQ=PD+DQ,∴EP=AE+PD.
(2)△PDM的周长保持不变.设AM=x,则MD=4﹣x.由折叠性质可知,EM=4﹣AE,
在Rt△AEM中,AE2+AM2=EM2,即AE2+x2=(4﹣AE)2,整理得:
AE2+x2=16﹣8AE+AE2,
∴AE=
(16﹣x2),又∵∠EMP=90°
,∴∠AME+∠DMP=90°
.∵∠AME+∠AEM=90°
,∴∠AEM=∠DMP.又∵∠A=∠D,∴△PDM∽△MAE.∴
∴C△PDM=C△MAE•
=(4+x)•
=8.∴△PDM的周长保持不变.
题7
,BE=4,求DE的长.
考点:
等腰三角形的判定;
勾股定理;
正方形的判定.菁优网版权所有
专题:
探究型.
分析:
(1)利用已知条件,可证出△BCE≌△DCF(SAS),即CE=CF.
(2)借助
(1)的全等得出∠BCE=∠DCF,∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°
﹣∠GCE=45°
,即∠GCF=∠GCE,又因为CE=CF,CG=CG,∴△ECG≌△FCG,∴EG=GF,∴GE=DF+GD=BE+GD.
(3)过C作CG⊥AD,交AD延长线于G,先证四边形ABCG是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
再设DE=x,利用
(1)、
(2)的结论,在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE.
解答:
(1)证明:
在正方形ABCD中,
∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,
∴△CBE≌△CDF.
∴CE=CF.
(2)解:
GE=BE+GD成立.
∵△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF.
∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD.
即∠ECF=∠BCD=90°
又∠GCE=45°
∴∠GCF=∠GCE=45°
∵CE=CF,∠GCF=∠GCE,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG.
∴EG=GF.
∴GE=DF+GD=BE+GD.
(3)解:
过C作CG⊥AD,交AD延长线于G,
在直角梯形ABCD中,
∵AD∥BC,∠A=∠B=90°
又∠CGA=90°
,AB=BC,
∴四边形ABCG为正方形.
∴AG=BC=12.
已知∠DCE=45°
,根据
(1)
(2)可知,ED=BE+DG,
设DE=x,则DG=x﹣4,
∴AD=AG﹣DG=16﹣x,AE=AB﹣BE=12﹣4=8.
在Rt△AED中
∵DE2=AD2+AE2,即x2=(16﹣x)2+82
解得:
x=10.
∴DE=10.
点评:
本题是一道几何综合题,内容涉及三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用,重点考查学生的数学学习能力,是一道好题.本题的设计由浅入深,循序渐进,考虑到学生的个体差异.从阅卷的情况看,本题的得分在4﹣8分的学生居多.前两个小题学生做得较好,第三小题,因为学生不懂得用前面积累的知识经验答题,数学学习能力不强,造成本小题得分率较低.
勾股定理的逆定理.菁优网版权所有
此题有一定的开放性,要找到变化中的不变量才能有效解决问题.
∵CO=CD,∠OCD=60°
∴△COD是等边三角形;
(3分)
当α=150°
,即∠BOC=150°
时,△AOD是直角三角形.(5分)
∵△BOC≌△ADC,
∴∠ADC=∠BOC=150°
又∵△COD是等边三角形,
∴∠ODC=60°
∴∠ADO=90°
即△AOD是直角三角形;
(7分)
①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO.
∵∠AOD=360°
﹣∠AOB﹣∠COD﹣α=360°
﹣110°
﹣60°
﹣α=190°
﹣α,∠ADO=α﹣60°
∴190°
﹣α=α﹣60°
∴α=125°
;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO.
∵∠AOD=190°
∴∠OAD=180°
﹣(∠AOD+∠ADO)=50°
∴α﹣60°
=50°
∴α=110°
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD.
∵190°
﹣α=50°
∴α=140°
综上所述:
当α的度数为125°
,或110°
,或140°
时,△AOD是等腰三角形.(12分)
说明:
第(3)小题考生答对1种得(2分),答对2种得(4分).
本题以“空间与图形”中的核心知识(如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等)为载体,内容由浅入深,层层递进.试题中几何演绎推理的难度适宜,蕴含着丰富的思想方法(如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等),能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力.
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论.
等腰三角形的判定与性质;
直角三角形斜边上的中线.菁优网版权所有
(1)由于△ABC是直角三角形,点O是BC的中点,根据直角三角形的性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,故有OA=OB=OC=
BC;
(2)由于OA是等腰直角三角形的斜边上的中线,根据等腰直角三角形的性质知,∠CAO=∠B=45°
,OA=OB,又有AN=MB,所以由SAS证得△AON≌△BOM可得:
ON=OM①∠NOA=∠MOB,于是有,∠NOM=∠AOB=90°
,所以△OMN是等腰直角三角形.
解:
(1)∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,O为BC的中点,
∴OA=
BC=OB=OC,
即OA=OB=OC;
(2)△OMN是等腰直角三角形.理由如下:
连接AO
∵AC=AB,OC=OB
∴OA=OB,∠NAO=∠B=45°
在△AON与△BOM中
∴△AON≌△BOM(SAS)
∴ON=OM,∠NOA=∠MOB
∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM
∴∠NOM=∠AOB=90°
∴△OMN是等腰直角三角形.
本题利用了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质求解.
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