届江苏省南通市高三第二次调研测试数学含答案word版.docx
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届江苏省南通市高三第二次调研测试数学含答案word版
2018届江苏省南通市高三第二次调研测试
(数学)
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.曲线在点(1,-1)处的切线方程是▲.
2.若(R,i为虚数单位),则ab=▲.
3.命题“若实数a满足,则”的否命题是▲命题(填“真”、“假”之一).
4.把一个体积为27cm3的正方体木块表面涂上红漆,然后锯成体积为1cm3的27个小正方体,现
从中任取一块,则这一块至少有一面涂有红漆的概率为▲.
5.某教师出了一份三道题的测试卷,每道题1分,全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例
分别为30%、50%、10%和10%,则全班学生的平均分为▲分.
6.设和都是元素为向量的集
合,则M∩N=▲.
7.在如图所示的算法流程图中,若输入m=4,n=3,则输出的
a=▲.
8.设等差数列的公差为正数,若
则▲.
9.设是空间两个不同的平面,m,n是平面及外的两条不同直线.从“①m⊥n;②⊥;③n⊥;④m⊥”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:
▲(用代号表示).
10.定义在R上的函数满足:
,当时,.下列四个
不等关系:
;;;.
其中正确的个数是▲.
11.在平面直角坐标系xOy中,已知A、B分别是双曲线的左、右焦点,△ABC的顶点
C在双曲线的右支上,则的值是▲.
12.在平面直角坐标系xOy中,设点、,定义:
.已
知点,点M为直线上的动点,则使取最小值时点M的坐标是
▲.
13.若实数x,y,z,t满足,则的最小值为▲.
14.在平面直角坐标系xOy中,设A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点,若存在正实数,使得
=,则的取值范围是▲.
【填空题答案】
1.x-y-2=02.3.真4.
5.26.7.128.105
9.①③④②(或②③④①)10.111.
12. 13. 14.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图,平面平面,点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点,点G是线段CO
的中点,,.求证:
(1)平面;
(2)∥平面.
【证明】由题意可知,为等腰直角三角形,
为等边三角形.…………………2分
(1)因为为边的中点,所以,
因为平面平面,平面平面,
平面,所以面.…………………5分
因为平面,所以,
在等腰三角形内,,为所在边的中点,所以,
又,所以平面;…………………8分
(2)连AF交BE于Q,连QO.
因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点,
所以,且Q是△PAB的重心,…………………10分
于是,所以FG//QO.…………………12分
因为平面EBO,平面EBO,所以∥平面.…………………14分
【注】第
(2)小题亦可通过取PE中点H,利用平面FGH//平面EBO证得.
16.(本小题满分14分)
已知函数.
(1)设,且,求的值;
(2)在△ABC中,AB=1,,且△ABC的面积为,求sinA+sinB的值.
【解】
(1)==.……3分
由,得,………………5分
于是,因为,所以.………………7分
(2)因为,由
(1)知.………………9分
因为△ABC的面积为,所以,于是.①
在△ABC中,设内角A、B的对边分别是a,b.
由余弦定理得,所以. ②
由①②可得或于是.………………12分
由正弦定理得,
所以.………………14分
17.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆E:
的左、右顶点分别为、,
上、下顶点分别为、.设直线的倾斜角的正弦值为,圆与以线段为直径的圆
关于直线对称.
(1)求椭圆E的离心率;
(2)判断直线与圆的位置关系,并说明理由;
(3)若圆的面积为,求圆的方程.
【解】
(1)设椭圆E的焦距为2c(c>0),
因为直线的倾斜角的正弦值为,所以,
于是,即,所以椭圆E的离心率…………4分
(2)由可设,,则,
于是的方程为:
,
故的中点到的距离,…………………………6分
又以为直径的圆的半径,即有,
所以直线与圆相切.…………………………8分
(3)由圆的面积为知圆半径为1,从而,…………………………10分
设的中点关于直线:
的对称点为,
则…………………………12分
解得.所以,圆的方程为.…………………14分
18.(本小题满分16分)
如图,实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成,圆P和圆Q的
半径都是2km,点P在圆Q上,现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地.
(1)如图甲,要建的活动场地为△RST,求场地的最大面积;
(2)如图乙,要建的活动场地为等腰gkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstkgkstk梯形ABCD,求场地的最大面积.
【解】
(1)如右图,过S作SH⊥RT于H,
S△RST=.……………………2分
由题意,△RST在月牙形公园里,
RT与圆Q只能相切或相离;……………………4分
RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,
则有RT≤4,SH≤2,
当且仅当RT切圆Q于P时(如下左图),上面两个不等式中等号同时成立.
此时,场地面积的最大值为S△RST==4(km2).……………………6分
(2)同
(1)的分析,要使得场地面积最大,AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,
AD必须切圆Q于P,再设∠BPA=,则有
.
……………………8分
令,则
.…………………11分
若,,
又时,,时,,…………………14分
函数在处取到极大值也是最大值,
故时,场地面积取得最大值为(km2).…………………16分
19.(本小题满分16分)
设定义在区间[x1,x2]上的函数y=f(x)的图象为C,M是C上的任意一点,O为坐标原点,设向
量=,,=(x,y),当实数λ满足x=λx1+(1-λ)x2时,记向
量=λ+(1-λ).定义“函数y=f(x)在区间[x1,x2]上可在标准k下线性近似”是指
“k恒成立”,其中k是一个确定的正数.
(1)设函数f(x)=x2在区间[0,1]上可在标准k下线性近似,求k的取值范围;
(2)求证:
函数在区间上可在标准k=下线性近似.
(参考数据:
e=2.718,ln(e-1)=0.541)
【解】
(1)由=λ+(1-λ)得到=λ,
所以B,N,A三点共线,……………………2分
又由x=λx1+(1-λ)x2与向量=λ+(1-λ),得N与M的横坐标相同.……………4分
对于[0,1]上的函数y=x2,A(0,0),B(1,1),
则有,故;
所以k的取值范围是.……………………6分
(2)对于上的函数,
A(),B(),……………………8分
则直线AB的方程,……………………10分
令,其中,
于是,……………………13分
列表如下:
x
em
(em,em+1-em)
em+1-em
(em+1-em,em+1)
em+1
+
0
-
0
增
减
0
则,且在处取得最大值,
又0.123,从而命题成立.……………………16分
20.(本小题满分16分)
已知数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)对任意给定的,是否存在()使成等差数列?
若存
在,用分别表示和(只要写出一组);若不存在,请说明理由;
(3)证明:
存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形,其边长为.
【解】
(1)当时,;
当时,,
所以;
综上所述,.……………………3分
(2)当时,若存在p,r使成等差数列,则,
因为,所以,与数列为正数相矛盾,因此,当时不存在;…………5分
当时,设,则,所以,……………………7分
令,得,此时,,
所以,,
所以;
综上所述,当时,不存在p,r;当时,存在满足题设.
……………………10分
(3)作如下构造:
,其中,
它们依次为数列中的第项,第项,第项,……12分
显然它们成等比数列,且,,所以它们能组成三角形.
由的任意性,这样的三角形有无穷多个.……………………14分
下面用反证法证明其中任意两个三角形和不相似:
若三角形和相似,且,则,
整理得,所以,这与条件相矛盾,
因此,任意两个三角形不相似.
故命题成立.……………………16分
【注】1.第
(2)小题当ak不是质数时,p,r的解不唯一;
2.第(3)小题构造的依据如下:
不妨设,且符合题意,则公比>1,因,又,则,所以,因为三项均为整数,所以为内的既约分数且含平方数因子,经验证,仅含或时不合,所以;
3.第(3)小题的构造形式不唯一.
数学II(附加题)
21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题,请选定其中两题作答,每小题10分,共计20分,
(第21—A题)
解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
A.选修4—1:
几何证明选讲
自圆O外一点P引圆的一条切线PA,切点为A,M为PA的中点,
过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点,且∠BMP=100°,
∠BPC=40°,求∠MPB的大小.
【解】因为MA为圆O的切线,所以.
又M为PA的中点,所以.
因为,所以.………………5分
于是.
在△MCP中,由,得∠MPB=20°.………………10分
B.选修4—2:
矩阵与变换
已知二阶矩阵A,矩阵A属于特征值的一个特征向量为,属于特征值
的一个特征向量为.求矩阵A.
【解】由特征值、特征向量定义可知,A,
即,得……………………5分
同理可得解得.因此矩阵A.…………10分
C.选修4—4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为.以直角坐标系原
点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.点
P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.
【解】化简为,
则直线l的直角坐标方程为.…………………4分
设点P的坐标为,得P到直线l的距离,
即,其中.…………………8分
当时,.………………10分
D.选修4—5:
不等式选讲
若正数a,b,c满足a+b+c=1,求的最小值.
【解】因为正数a,b,c满足a+b+c=1,
所以,,………………5分
即,
当且仅当,即时,原式取最小值1.………………10分
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
22.在正方体中,O是AC的中点,E是线段D1O上一点,且D1E=λEO.
(1)若λ=1,求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;
(2
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