全国百强校河北省学年高一下学期期末考试数学试题+答案.docx
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全国百强校河北省学年高一下学期期末考试数学试题+答案
2017—2018学年高一年级下学期期末考试
数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,集合,则()
A.B.C.D.
2.设等差数列的前项和为,已知,则的值为()
A.38B.C.D.19
3.下列函数中同时具有以下性质:
“①最小正周期为;②图象关于直线对称;③在上是增函数”的一个函数是()
A.B.C.D.
4.已知为空间中两条不同的直线,为空间中两个不同的平面,下列命题正确的是()
A.若,,,则
B.若,,则
C.若在平面内的射影互相平行,则
D.若,,则
5.已知直线与平行,则的值是()
A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2
6.直线绕着其上一点沿逆时针方向旋转,则旋转后得到的直线的方程为()
A.B.C.D.
7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.B.C.D.
8.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于,则半径的取值范围是()
A.B.C.D.
9.已知,则()
A.3B.C.D.
10.设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为()
A.1B.0C.D.
11.已知在三棱锥中,两两垂直,,是线段上一动点,若直线与平面所成角的正切的最大值是,则三棱锥的外接球表面积是()
A.B.C.D.
12.已知定义在上的函数满足,且当时,,其中,若方程恰有3个不同的实数根,则的取值范围是()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知圆的半径为2,圆心在轴的正半轴上,直线与圆相切,则圆的一般方程是__________.
14.如图,三棱锥中,,,点分别是的中点,则异面直线所成角的余弦值为__________.
15.在平面区域内取点,过点作曲线的两条切线,切点分别为,设,则当角最小时,的值为__________.
16.已知数列的首项为,且,若,则数列的前项和__________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在中,分别是角的对边,且.
(1)求的大小;
(2)若,,求的面积.
18.如图,在三棱柱中,底面是边长为2的等边三角形,为的中点.
(1)求证:
平面;
(2)若四边形是正方形,且,求直线与平面所成角的正弦值.
19.已知,点.
(1)求过点的圆的切线方程;
(2)若点是坐标原点,连接,求的面积.
20.已知等比数列的公比,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,是数列的前项和,若对任意正整数不等式恒成立,求实数的取值范围.
21.如图,在四棱锥中,底面,,,,,.
(1)求证:
平面平面;
(2)试在棱上确定一点,使截面把该几何体分成的两部分与的体积之比为;
(3)在
(2)的条件下,求二面角的余弦值.
22.已知函数在上有最大值1和最小值0,设.
(1)求的值;
(2)若不等式在上有解,求实数的取值范围;
(3)若方程(为自然对数的底数)有三个不同的实数解,求实数的取值范围.
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,集合,则()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
本题选择D选项.
2.设等差数列的前项和为,已知,则的值为()
A.38B.C.D.19
【答案】C
【解析】由等差数列的性质可知.即..故本题答案选.
3.下列函数中同时具有以下性质:
“①最小正周期为;②图象关于直线对称;③在上是增函数”的一个函数是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】对于,其周期,
为最大值,故其图象关于对称,
由得,,
∴在上是增函数,
即具有性质①②③,
本题选择A选项.
4.已知为空间中两条不同的直线,为空间中两个不同的平面,下列命题正确的是()
A.若,,,则
B.若,,则
C.若在平面内的射影互相平行,则
D.若,,则
【答案】A
【解析】由题知,则,又,则.正确;,可能会现,错误;若在内的射影互相平行,两直线异面也可以,错误;若,可能会出现,错误.故本题选.
5.已知直线与平行,则的值是()
A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2
【答案】C
【解析】由两直线平行得,当k−3=0时,两直线的方程分别为y=−1和,显然两直线平行。
当k−3≠0时,由,可得k=5.综上,k的值是3或5,
本题选择C选项.
点睛:
(1)当直线的方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
6.直线绕着其上一点沿逆时针方向旋转,则旋转后得到的直线的方程为()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由于直线的斜率为,故它的倾斜角为,故旋转后得到的直线的倾斜角为,故旋转后得到的直线的斜率为,故旋转后得到的直线的方程为,即,故选B.
7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由三视图可知:
该几何体由圆锥的与一个三棱柱组成的。
∴该几何体的体积.
本题选择D选项.
8.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于,则半径的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】因为圆心到直线的距离,所以当半径时,圆上有三个点到的距离等于;当半径时,圆上有一个点到的距离等于;所以当半径时,圆上恰有两个点到的距离等于,应选答案B。
9.已知,则()
A.3B.C.D.
【答案】C
【解析】因为,所以,可得,故选C.
10.设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为()
A.1B.0C.D.
【答案】A
【解析】x,y,z为正实数,且,根据基本不等式得,当且仅当x=2y取等号,所以x=2y时,取得最大值1。
此时,,当时取最大值1,的最大值为1。
本题选择A选项.
11.已知在三棱锥中,两两垂直,,是线段上一动点,若直线与平面所成角的正切的最大值是,则三棱锥的外接球表面积是()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】M是线段BC上一动点,连接PM,∵PA、PB、PC互相垂直,∴∠AMP就是直线AM与平面PBC所成角,当PM最短时,即PM⊥BC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大。
此时,
在Rt△PBC中,.
三棱锥P−ABC扩充为长方体,则长方体的对角线长为,
∴三棱锥P−ABC的外接球的半径为R=1,
∴三棱锥P−ABC的外接球的表面积为.
本题选择D选项.
点睛:
与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.
12.已知定义在上的函数满足,且当时,,其中,若方程恰有3个不同的实数根,则的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
由,所以,故的周期为,时,,时,,时,,时,,恰有个不同的实数根,,故选B.
【方法点睛】判断方程根的个数的常用方法:
①直接法:
可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数;②数形结合法:
一是转化为两个函数的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是方程根的个数,二是转化为的图象的交点个数交点个数问题.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知圆的半径为2,圆心在轴的正半轴上,直线与圆相切,则圆的一般方程是__________.
【答案】
【解析】解:
直线与圆相切,设圆心坐标为(a,0),
则圆方程为:
(x−a)2+y2=4,
∵圆心与切点连线必垂直于切线,
根据点与直线距离公式,得,
解得a=2或,(因圆心在正半轴,不符合舍去),∴a=2,
∴圆C的方程为:
(x−2)2+y2=4.
整理为一般方程为:
.
点睛:
求圆的方程,主要有两种方法:
(1)几何法:
具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如:
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任意弦的中垂线上;③两圆相切时,切点与两圆心三点共线.
(2)待定系数法:
根据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式,求出相关量.一般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都要确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式.
14.如图,三棱锥中,,,点分别是的中点,则异面直线所成角的余弦值为__________.
【答案】
【解析】试题分析:
连结ND,取ND的中点为:
E,连结ME,则ME∥AN,异面直线AN,CM所成的角就是∠EMC,
∵AN=,∴ME==EN,MC=,又∵EN⊥NC,,
考点:
异面直线所成角
15.在平面区域内取点,过点作曲线的两条切线,切点分别为,设,则当角最小时,的值为__________.
【答案】
【解析】作出可行域(如图所示),连接,若角越小,则越长,则角最小时,最长,由图象,得当点与重合时,最长,即,此时,,则
.
16.已知数列的首项为,且,若,则数列的前项和__________.
【答案】
【解析】因为,故,取对数可得,故,故是以1为首项,2为公比的等比数列,故,故,则,因为,故两边取倒数可得,故数列的前项和
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在中,分别是角的对边,且.
(1)求的大小;
(2)若,,求的面积.
【答案】
(1);
(2).
试题解析:
(Ⅰ)由,
得.
∴.
∴.
∴.
又,
∴.
(Ⅱ)由,得,
又,
∴.
∴.
18.如图,在三棱柱中,底面是边长为2的等边三角形,为的中点.
(1)求证:
平面;
(2)若四边形是正方形,且,求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)
试题解析:
(1)证明:
连结,设与相交于点,连接,则为中点,
为的中点,……2
∴平面.……4
(2)取的中点,连结,则
,故,∴
平面……8
取中点,连结,过点作,则
连结,,
为直线与平面所成的角,……10
即直线与平面所成的角的正弦值为.……12
考点:
直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定
19.已知,点.
(1)求过点的圆的切线方程;
(2)若点是坐标原点,连接,求的面积.
【答案】
(1)或.
(2)。
【解析】试题分析:
(1)圆配方得,圆心为,半径为,所以直线是圆的切线.当切线斜率存在时,设斜率为,方程为,利用圆心到直线的距离公式,求得,直线方程为或;
(2),圆心到直线的距离为,由此求得面积为.
试题解析:
(1).
当切线的斜率不存在时,有直线到直线的距离为1,满足
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