点的极坐标与直角坐标的互化 高中数学北师大版选修44同步配套教学案Word文件下载.docx
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②极轴与x轴的正半轴重合;
③两种坐标系取相同的长度单位.
(2)极坐标与直角坐标的互化:
①将点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式为.
②将点的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式为.
1.极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系?
提示:
区别:
平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景,而极坐标以角和距离为背景.
联系:
二者都是平面坐标系,用来研究平面内点与距离等有关问题.
2.点M(ρ,θ)关于极轴、极点以及过极点且垂直于极轴的直线的对称点的坐标各为什么?
(ρ,2π-θ),(ρ,π+θ),(ρ,π-θ).
3.把直角坐标转化为极坐标时,表示方法唯一吗?
通常有不同的表示法.(极角相差2π的整数倍)
[对应学生用书P6]
由极坐标确定点的位置
[例1] 在极坐标系中,画出点A,B,C,D.
[思路点拨] 本题考查极坐标系以及极坐标的概念,同时考查数形结合思想,解答此题需要先建立极坐标系,再作出极角的终边,然后以极点O为圆心,极径为半径分别画弧,从而得到点的位置.
[精解详析] 在极坐标系中先作出线,再在线上截取|OA|=1,这样可得到点A.同样可作出点B,C,D,如图所示.
由极坐标确定点的位置的步骤
(1)取定极点O;
(2)作方向为水平向右的射线Ox为极轴;
(3)以极点O为顶点,以极轴Ox为始边,通常按逆时针方向旋转极轴Ox确定出极角的终边;
(4)以极点O为圆心,以极径为半径画弧,弧与极角终边的交点即是所求点的位置.
1.在极坐标系中,作出以下各点:
A(4,0),B,C,D;
结合图形判断点B,D的位置是否具有对称性;
并求出B,D关于极点的对称点的极坐标.(限定ρ≥0,θ∈[0,2π))
解:
如图,A,B,C,D四个点分别是唯一确定的.
由图形知B,D两点关于极轴对称,且B,D关于极点的对称点的极坐标分别为,.
化极坐标为直角坐标
[例2] 已知A,B,将A,B坐标化为直角坐标,并求A,B两点间的距离.
[思路点拨] 本题考查如何将极坐标化为直角坐标,解答此题需要利用互化公式先将极坐标化为直角坐标,再由两点间的距离公式得结果.
[精解详析] 将A,B由极坐标化为直角坐标,
对于点A,有x=3cos=,
y=3sin=-,∴A.
对于点B,有x=1×
cos=-,y=1×
sin=,
∴B(-,).
∴|AB|=
==4.
1.将极坐标M(ρ,θ)化为直角坐标(x,y),只需根据公式:
即可得到;
2.利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的极坐标问题转化为熟悉的直角坐标问题求解.
本例中如何由极坐标直接求A,B两点间的距离?
根据M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2),则由余弦定理得:
|MN|=,
所以|AB|==4.
化直角坐标为极坐标
[例3] 分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>
0,0≤θ<
2π).
(1)(-1,1),
(2)(-,-1).
[思路点拨] 本题考查如何将直角坐标化为极坐标,同时考查三角函数中由值求角问题,解答此题利用互化公式即可,但要注意点所在象限.
[精解详析]
(1)∵ρ==,
tanθ=-1,θ∈[0,2π),
又点(-1,1)在第二象限,
∴θ=.
∴直角坐标(-1,1)化为极坐标为.
(2)ρ==2,
tanθ==,θ∈[0,2π),
∵点(-,-1)在第三象限,
∴θ=π.
∴直角坐标(-,-1)化为极坐标为.
将点的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)时,运用公式即可,在[0,2π)范围内,由tanθ=(x≠0)求θ时,要根据直角坐标的符号特征,判断出点所在象限,如果允许θ∈R,再根据终边相同的角的意义,表示为θ+2kπ,k∈Z即可.
2.将下列各点由直角坐标化为极径ρ是正值,极角在0到2π之间的极坐标.
(1)(3,);
(2)(-2,-2).
(1)ρ==2,tanθ==,
又点(3,)在第一象限,所以θ=.
所以点(3,)的极坐标为2,.
(2)ρ==4,
tanθ===,
又点(-2,-2)在第三象限,所以θ=.
所以点(-2,-2)的极坐标为.
本课时常考查极坐标的确定及点的直角坐标与极坐标的互化,特别是直角坐标化为极坐标常与三角知识交汇命题,更成为命题专家的新宠.
[考题印证]
点P的直角坐标为(1,-),则点P的极坐标为( )
A. B.
C.D.
[命题立意] 本题主要考查点的极坐标与直角坐标 的互化,同时还考查了三角知识及运算解题能力.
[自主尝试]
ρ==2,tanθ==-,
又点(1,-)在第四象限,所以OP与x轴所成的角为,故点P的一个极坐标为,排除A,B选项.又-π+2π=π,所以极坐标所表示的点在第二象限,故D不正确,而-+2π=π.
[答案] C
[对应学生用书P8]
一、选择题
1.点P的直角坐标为(-,),那么它的极坐标可表示为( )
A. B.
解析:
选B ρ==2,
tanθ==-1,
∵点P在第二象限,
∴最小正角θ=.
2.在极坐标系中与点A关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )
A.B.
选B 与点A关于极轴所在直线的对称的点的极坐标可以表示为(k∈Z),这时只有选项B满足条件.
3.在极坐标系中,若等边△ABC的两个顶点是A,B,那么可能是顶点C的坐标的是( )
选B 如图,由题设,可知A,B两点关于极点O对称,即O是AB的中点.
又|AB|=4,△ABC为正三角形,
∴|OC|=2,∠AOC=,点C的极角θ=+=或+=,
即点C的极坐标为或.
4.若ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)的位置关系是( )
A.关于极轴所在直线对称
B.关于极点对称
C.关于过极点垂直于极轴的直线对称
D.两点重合
选A 因为点(ρ,θ)关于极轴所在直线对称的点为(-ρ,π-θ).由此可知点(ρ1,θ1)和(ρ2,θ2)满足ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,是关于极轴所在直线对称.
二、填空题
5.将极轴Ox绕极点顺时针方向旋转得到射线OP,在OP上取点M,使|OM|=2,则ρ>
0,θ∈[0,2π)时点M的极坐标为________,它关于极轴的对称点的极坐标为________(ρ>
0,θ∈[0,2π)).
ρ=|OM|=2,
与OP终边相同的角为-+2kπ(k∈Z).
∵θ∈[0,2π),∴k=1,θ=.∴M.
∴M关于极轴的对称点为(2,).
答案:
6.点A在条件:
(1)ρ>
0,θ∈(-2π,0)下的极坐标是________;
(2)ρ<
0,θ∈(2π,4π)下的极坐标是________.
(1)当ρ>
0时,点A的极坐标形式为(k∈Z),
∵θ∈(-2π,0).令k=-1,点A的极坐标为,符合题意.
(2)当ρ<
0时,的极坐标的一般形式是(k∈Z).
∵θ∈(2π,4π),当k=1时,点A的极坐标为,符合题意.
(2)
7.直线l过点A,B,则直线l与极轴所在直线的夹角等于________.
如图所示,先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角),然后根据点A,B的位置分析夹角大小.
因为|AO|=|BO|=7,∠AOB=-=,
所以∠OAB==.
所以∠ACO=π--=.
8.已知两点的极坐标是A,B,则AB中点的一个极坐标是________.
画出示意图,A,B与极点O共线,
∴ρ=(3-8)=-,
θ=.
故AB中点的一个极坐标为.
三、解答题
9.设有一颗彗星,围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于该抛物线的焦点处,当此彗星离地球30万千米时,经过地球和彗星的直线与抛物线对称轴的夹角为30°
,试建立适当的极坐标系,写出彗星此时的极坐标.
如图所示,建立极坐标系,使极点O位于抛物线的焦点处,极轴Ox过抛物线的对称轴,由题设可得下列4种情形:
①当θ=30°
时,ρ=30(万千米);
②当θ=150°
③当θ=210°
④当θ=330°
时,ρ=30(万千米).
∴彗星此时的极坐标有4种情形:
(30,30°
),(30,150°
),(30,210°
),(30,330°
).
10.在极坐标系中,点A和点B的极坐标分别为和(3,0),O为极点.
(1)求|AB|;
(2)求S△AOB.
|AB|=
=
==.
S△AOB=|OA|·
|OB|·
sin∠AOB
=×
2×
3×
sin
=.
11.在极坐标系中,如果A,B为等边三角形ABC的两个顶点,求顶点C的极坐标.
法一:
对于A有ρ=2,θ=,
∴x=ρcosθ=2cos=,
y=ρsinθ=2sin=.
∴A(,).
对于B有ρ=2,θ=π.
∴x=2cos=-,
y=2sin=-.
∴B(-,-).
设C点的坐标为(x,y),由于△ABC为等边三角形,故有|AB|=|BC|=|AC|.
∴有(x+)2+(y+)2=(x-)2+(y-)2
=(+)2+(+)2.
∴有
解之得或
∴C点的坐标为(,-)或(-,).
∴ρ==2,tanθ==-1.
∴θ=或θ=.
∴点C的极坐标为或.
法二:
设C点的极坐标为(ρ,θ)(0≤θ<
2π,ρ>
0).
则有|AB|=|BC|=|AC|.
∴
∴点C的极坐标为,.
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