注册电气工程师执业资格考试专业基础复习课电路3.docx
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注册电气工程师执业资格考试专业基础复习课电路3
3、正弦交流电路
考试点一
1、掌握正弦量的三要素和有效值
2、掌握电感、电容元件电流电压关系的相量形式及基尔霍夫定律的相量形式
3、掌握阻抗、导纳、有功功率、无功功率、视在功率和功率因数的概念
4、熟练掌握正弦电路分析的相量方法
5、了解频率特性的概念
预备知识——复数
一、复数的形式
1、代数形式
F=a+jb
为虚单位
复数F的实部
Re[F]=a
复数F的虚部
Im[F]=b
复数F在复平面上可以用一条从原点O指向F对应坐标点的有向线段表示。
F
a
b
2、三角形式
模
辐角
5/-53.1°
3、指数形式
根据欧拉公式
4、极坐标形式
F=|F|/θ
3+j4=
5/53.1°
-3+j4=
×
=5/126.9°
10/30°
=10(cos30°+jsin30°)
=8.66+j5
二、复数的运算
1、加法
用代数形式进行,
设
几何意义
2、减法
用代数形式进行,
设
几何意义
3、乘法
用极坐标形式比较方便
设
4、除法
三、旋转因子
是一个模等于1,辐角为θ的复数。
等于把复数A逆时针旋转一个角度θ,
而A的模值不变。
j
-j
-1
因此,“±j”和“-1”都可以看成旋转因子。
任意复数A乘以ejθ
一个复数乘以j,
等于把该复数逆时针旋转π/2,
一个复数除以j,
等于把该复数乘以-j,
等于把它顺时针旋转π/2。
虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的。
例如
例:
设F1=3-j4,F2=10/135°
求:
F1+F2和F1/F2。
解:
求复数的代数和用代数形式:
F2=10/135°
=10(cos135°+jsin135°)
=-7.07+j7.07
F1+F2=(3-j4)+(-7.07+j7.07)
=-4.07+j3.07
=5.1/143°
3-j4
10/135°
=
5/-53.1°
10/135°
=
0.5/-188.1°
=
0.5/171.9°
辐角应在主值范围内
正弦量的概念
一、正弦量
电路中按正弦规律变化的电压或电流,统称为正弦量。
对正弦量的描述,可以用sine,也可以用cosine。
用相量法分析时,不要两者同时混用。
本讲采用cosine。
二、正弦量的三要素
i
+
-
u
瞬时值表达式:
1、振幅(最大值)Im
Im
2π
正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。
2、角频率ω
反映正弦量变化的快慢
单位rad/s
ωT=2π
ω=2πf
f=1/T
频率f的单位为赫兹(Hz)
周期T的单位为秒(s)
工频,即电力标准频率:
f=50Hz,
T=0.02s
ω=314rad/s
3、初相位(角)
主值范围内取值
称为正弦量的相位,或称相角。
三、正弦量的有效值
四、同频率正弦量相位的比较
相位差
相位差也是在主值范围内取值。
φ>0,称u超前i;
φ<0,称u落后i;
φ=0,称u,i同相;
φ=π/2,称u,i正交;
φ=π,称u,i反相。
例:
i=10sin(314t+30°)A
u=5cos(314t-150°)V
求电压和电流的相位差。
i=10sin(314t+30°)
=10cos(314t+30°-90°)
=10cos(314t-60°)
正弦量相应符号的正确表示
瞬时值表达式
i=10cos(314t+30°)A
变量,小写字母
有效值
I=
常数,大写字母加下标m
最大值
常数,大写字母
最大值相量
有效值相量
常数,大写字母加
下标m再加点
常数,大写字母加点
Im=
10A
电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律
正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都是同频正弦量,所以可以用相量法将KCL和KVL转换为相量形式。
1、基尔霍夫电流定律
对电路中任一点,根据KCL有
Σi=0
其相量形式为
2、基尔霍夫电压定律
对电路任一回路,根据KVL有
Σu=0
其相量形式为
1、电阻元件
瞬时值表达式
+
-
+
-
相量形式
相量图
二、电阻、电感和电容元件的VCR相量形式
2、电感元件
L
+
-
相量形式
L
+
-
相量图
瞬时值表达式
3、电容元件
瞬时值表达式
C
+
-
相量形式
C
+
-
相量图
如果受控源(线性)的控制电压或电流是正弦量,
则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。
4、受控源
例:
正弦电流源的电流,其有效值IS=5A,角频率ω=103rad/s,R=3Ω,L=1H,C=1μF。
求电压uad和ubd。
解:
画出所示电路相对应的相量形式表示的电路图
设电路的电流相量为参考相量
=15/0°
V
=5000/90°V
=5000/-90°V
=0
A
相量法的三个基本公式
以上公式是在电压、电流关联参考方向的条件下得到的;
如果为非关联参考方向,则以上各式要变号。
以上公式既包含电压和电流的大小关系,
又包含电压和电流的相位关系。
阻抗和导纳
一、阻抗
1、定义
+
-
阻抗模
|Z|=U/I
阻抗角
阻抗Z的代数形式可写为
Z=R+jX
其实部为电阻,虚部为电抗。
2、R、L、C对应的阻抗分别为:
3、感抗和容抗
感抗
容抗
反映电感对电流的阻碍作用
反映电容对电流的阻碍作用
4、RLC串联电路
如果No内部为RLC串联电路,则阻抗Z为
R
X
|Z|
阻抗三角形
当X>0,称Z呈感性;
当X<0,称Z呈容性;
当X=0,称Z呈电阻性
电路的性质
Z=R+jX
二、导纳
1、定义
导纳模
|Y|=I/U
导纳角
导纳Y的代数形式可写为
Y=G+jB
其实部为电导,虚部为电纳。
2、单个元件R、L、C的导纳
3、感纳和容纳
感纳
容纳
阻抗(导纳)的串联和并联
一、阻抗的串联
对于n个阻抗串联而成的电路,其等效阻抗
各个阻抗的电压分配为
k=1,2,…,n
二、阻抗的并联
对n个导纳并联而成的电路,其等效导纳
各个导纳的电流分配为
k=1,2,…,n
例:
如图RLC串联电路。
R=15,L=12mH,C=5F,
端电压u=141.4cos(5000t)V。
求:
i,各元件的电压相量。
解:
用相量法。
电路的相量图
一、相量图
相关的电压和电流相量在复平面上组成。
在相量图上,除了按比例反映各相量的模外,
最重要的是确定各相量的相位关系。
二、相量图的画法
选择某一相量作为参考相量,
而其他有关相量就根据它来加以确定。
参考相量的初相可取为零,
也可取其他值,视不同情况而定。
1、串联电路
取电流为参考相量,从而确定各元件的电压相量;
表达KVL的各电压相量可按向量求和的方法作出。
2、并联电路
取电压为参考相量,从而确定各元件的电流相量;
表达KCL的各电流相量可按向量求和的方法作出。
3、串并联电路
从局部开始
53.1°
以上一节中例题为例
V1读数为10V,V2读数为10V,
V0的读数为?
V0的读数为14.14V
正弦稳态电路的分析
在用相量法分析计算时,引入正弦量的相量、阻抗、导纳和KCL、KVL的相量形式,它们在形式上与线性电阻电路相似。
对于电阻电路有:
对于正弦电流电路有:
用相量法分析时,线性电阻电路的各种分析方法和电路定理可推广用于线性电路的正弦稳态分析
差别仅在于所得电路方程为以相量形式表示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理,而计算则为复数运算。
例:
电路中的独立电源全都是同频正弦量。
试列出该电路的结点电压方程。
1
2
解:
电路的结点电压方程为
-
+
+
-
+
-
+
正弦稳态电路的功率
一、瞬时功率
+
u
-
i
一端口内部不含独立电源,仅含电阻、电感和电容等无源元件。
它吸收的瞬时功率p等于电压u和电流i的乘积
p=ui
二、平均功率
又称有功功率,是指瞬时功率在一个周期内的平均值。
功率因数
单位:
瓦(W)
电阻R
λ=1
电感L
λ=0
电容C
λ=0
定义:
三、无功功率
反映了内部与外部往返交换能量的情况。
单位:
乏(Var)
电阻R
电感L
电容C
四、视在功率
电机和变压器的容量是由视在功率来表示的。
单位:
伏安(VA)
有功功率P、无功功率Q和视在功率S存在下列关系:
例:
测量电感线圈R、L的实验电路,已知电压表的读数为50V,电流表的读数为1A,功率表读数为30W,电源的频率f=50Hz。
试求R、L之值。
解:
可先求得线圈的阻抗
=50Ω
解得:
=30+j40Ω
R=30Ω
=127mH
另一种解法
R=30Ω
而
故可求得:
=40Ω
ω=2πf=314rad/s
可以证明
正弦电流电路中总的有功功率
是电路各部分有功功率之和,
总的无功功率是电路各部分无功功率之和,
即有功功率和无功功率分别守恒。
但视在功率不守恒。
三、功率因数的提高
电压与电流间的相位差或电路的功率因数决定于电路(负载)的参数。
只有在电阻负载的情况下,电压和电流才同相,其功率因数为1。
对于其他负载来说,其功率因数均介于0与1之间。
功率因数不等于1时,电路中发生能量互换,出现无功功率。
这样引起下面两个问题:
1、发电设备的容量不能充分利用
2、增加线路和发电机绕组的功率损耗
提高功率因数的意义
与电感性负载并联静电电容器。
O
提高功率因数的常用方法:
并联电容C的计算
提高功率因数,是指提高电源或电网的功率因数,
而不是指提高某个电感性负载的功率因数。
并联电容后并不改变原负载的工作状况,
所以电路的有功功率并没有改变,
只是改变了电路的无功功率,从而使功率因数得到提高。
提高功率因数的含义
例:
正弦电压为50Hz,380V,感性负载吸收的功率为20kW,功率因数0.6。
若使电路的功率因数提高到0.9,求在负载的两端并接的电容值。
I=58.48A
=44.69A
=375μF
解:
串联电路的谐振
一、RLC串联电路
二、串联谐振的定义
由于串联电路中的感抗和容抗有相互抵消作用,
所以,当ω=ω0时,出现X(ω0)=0,
这时端口上的电压与电流同相,
工程上将电路的这种工作状况称为谐振,
由于是在RLC串联电路中发生的,故称为串联谐振。
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