数学类保送生强化自学活动各门课程内容提要Word格式文档下载.docx

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11，用微分学研究自然科学的一些例子。

12，原函数与不定积分、原函数的计算方法、椭圆积分。

数学分析（A）-2

1，积分的物理与几何背景、Riemann积分的定义、Riemann可积函数、可积函数空间、Lebesgue定理、Riemann积分积分区间的可加性、积分的估计、积分中值定理、一些重要的积分不等式。

2，变上限的积分、Newton-Leibniz公式、定积分的分部积分与变量替换、积分余项的Talyor公式、面积原理、一元积分学的应用。

3，广义积分的定义、广义积分的基本性质、广义积分的变量替换与分部积分公式、广义积分收敛性的判别法、有多个奇异点的广义积分、广义积分的主值。

4，作为度量空间的R^n、R^n中的开集和闭集、R^n中的紧致集、R^n中的范数、作为Euclid空间的R^n。

5，Euler定理、拓扑等价、Euclid空间中映射的连续性、同胚、闭曲面的分类定理、拓扑不变量。

6，拓扑空间与度量空间的定义、开集、闭集、边界、拓扑基、Hausdorff空间、子拓扑、度量空间与拓扑空间的直积、第二可数空间。

7，连续映射、连续映射与同胚、Peano曲线、Tietze扩张定理、拓扑空间的紧致性、Heine-Borel定理、紧致空间的性质、Bolzano-Weierstrass性质、Lebesgue引理、局部紧空间、Lindelof定理。

8，乘积拓扑、乘积空间、Tychonoff乘积定理、连通的拓扑空间、商拓扑、Alexandroff定理、粘合拓扑、完备的度量空间、度量空间的完备化、闭球套引理、第一纲集与第二纲集、Baire纲定理、拓扑空间上的映射的极限、拓扑空间上的映射的连续与一致连续、二重极限与累次极限、压缩映像原理。

9，线性赋范空间、Banach空间、Euclid空间、Hilbert空间、线性算子、算子的范数、连续算子空间、赋范空间上的可微映射、映射的微分与导数、映射的微分的Jacobi矩阵、函数的连续性与可微性、微分的算术运算、复合映射的微分、逆映射的微分、映射的偏导数与微分、方向导数与梯度。

10，有限增量定理、连续可微映射、中值定理、映射的高阶微分与偏导数、高阶微分的运算、映射的Taylor公式、映射的局部极值、、切平面、法向量、切向量。

11，隐映射定理、微分同胚、逆映射定理、秩定理、函数相关性、Morse引理。

12，R^n中的k维子流形、切空间的定义、条件极值、Lagrange乘子法。

数学分析（A）-3

1，数项级数的收敛与发散、绝对收敛、非负数项级数收敛的充要条件、比较判别法、Weierstrass比较判别法、Cauchy判别法、D‘Alembert判别法、Gauss判别法、Rabbe判别法、Kummer判别法、Bertrand判别法、Cauchy-Maclaurin积分判别法。

2，Leibniz级数、Abel判别法、Dirichlet判别法、级数的重排、Riemann定理、Mertens定理、二重级数、二重级数与累次级数之间的关系、二重绝对收敛级数的重排、无穷乘积、无穷乘积收敛的必要条件、无穷乘积的绝对收敛、Euler公式。

3，函数列的收敛集、含参变量的函数族、收敛与一致收敛、Cauchy准则、复数域的收敛与复数项级数、幂级数、Cauchy-Hadamard公式、Abel定理、函数的幂级数表示、幂级数的解析性、Weierstrass优级数判别法、Abel-Dirichlet判别法。

4，二重极限可交换的条件、函数族的极限函数的连续性、幂级数的和函数的连续性、Dini定理、函数族极限函数的可积性、函数族的极限函数的可微性、幂级数的和函数的可微性、Cesaro和、Tauber定理。

5，完全有界与等度连续、Arzela-Ascoli定理、Weierstrass逼近定理、Stone-Weierstrass定理、幂级数在组合数学中的应用。

6，阶梯函数的积分、上函数的积分、一般区间上的Lebesgue可积函数类、Lebesgue积分的基本性质、Levi单调收敛定理、Lebesgue控制收敛定理、Lebesgue广义积分。

7，含参变量积分的定义、含参变量积分的连续性与可微性、含参变量积分的积分、含参变量广义积分的一致收敛性、含参变量广义积分的一致收敛的判别法、反常积分号下取极限、含参变量广义积分的连续性与可微性、含参变量广义积分的积分。

8，Lebesgue可测函数、可测性与可积性之间的关系、Lebesgue积分号下取极限、交换积分顺序、Lebesgue测度、Lebesgue可测集、平方可积函数集、Riesz-Fischer定理。

9，Beta函数与Gamma函数、Gauss-Euler公式、余元公式、Stirling公式与Wallis公式、卷积、卷积的微分、Delta函数族、用Delta函数族逼近函数、广义函数、广义函数空间、基本解。

10，正交函数系、Pythagoras定理、Fourier级数与Fourier系数、Fourier级数的极限性质、完备正交系、三角级数、三角级数的平均收敛性与逐点收敛、Riemann引理、推广的Fourier引理、局部化原理、Fejer定理、Weierstrass第二逼近定理、三角函数系的完备性、Parseval等式、等周不等式。

11，Fourier变换、Fourier积分、Fourier积分的点状收敛定理、速降函数空间、Fourier变换的运算性质、反演公式、Parseval等式、Fourier变换与卷积、Fourier变换在数学物理方程中的应用、Possion求和公式。

12，渐进展开、渐进幂级数、Laplace积分、Laplace积分的局部化原理、Watson引理、Laplace积分的渐进展开、稳定相位法。

数学分析（A）-4

1，R^n中的Jordan测度、多重Riemann积分、Riemann可积性、Lebesgue定理、上积分与下积分、Darboux可积性定理、容许集、集合上的Riemann积分、多重Riemann积分的可加性、多重Riemann积分的估计。

2，Fubini定理、重积分的变量替换、变量替换公式、Sard引理。

3，广义多重Riemann积分、广义重积分收敛性的控制判别法、广义重积分的变量替换公式。

4，流形的定义、带边与无边流形、光滑流形、光滑映射、可定向与不可定向流形、曲面边界定向的协调性、第二可数公理、单位分解。

5，切向量、切空间、余切空间、切丛与余切丛、子流形、浸入与嵌入、大范围的隐函数定理。

6，Rn中曲面的面积、向量场、李括号、Frobenius定理、张量场、流形上的微分形式与外微分形式、李导数。

7，微分形式的积分的物理起源、流形上的微分形式的积分、分布在曲面上的质量、体积形式。

8，第一型曲面与曲线积分、第二型曲面与曲线积分、Green公式、Gauss-Ostrogradsky公式、一般的Stokes公式、Riemann流形、Riemann流形上的Stokes公式、李群上的积分。

9，梯度、散度、旋度、Hamilton算子、Laplace算子、正交曲线坐标下的梯度和散度及旋度、向量分析的基本公式。

10，有势场、保守场、同伦、管量场、恰当形式、Poincare引理、无旋场、势函数。

11，Poincare定理、deRham上同调、deRham定理。

12，热传导方程的推导、连续性方程的推导、连续介质力学基本方程的推导、波动方程的推导。

代数学-1

1，代数学简史、线性方程组、auss消去法、低阶行列式、集合与映射、二元关系、等价关系、商映射、偏序集。

2，数学归纳法、置换、置换的循环结构、置换的符号、斜对称函数、数论的基本概念、算术基本定理。

3，向量与纯量、线性组合、线性相关与线性无关、基与维数、矩阵的秩、线性方程组的可解性准则、线性映射、线性变换、线性函数、矩阵的运算、逆矩阵、矩阵的等价类、线性方程组的解空间。

4，作为有向体积的行列式、行列式的基本性质、子式、余子式、行列式的展开。

5，非退化行列式的判定、伴随矩阵、Cramer法则、加边子式法、作为多重线性规范反对称函数的行列式。

6，二元运算、半群、幺半群、群、子群、循环群、群的同构、Cayley定理、群的同态与自同态、环、同余类、剩余类环、环的同态、整环、域、域的同构与自同构、域的特征、素域、复数域、本原根、复数的几何、交比。

7，一元多项式环、多元多项式环、唯一析因环、环中的最大公因与最小公倍、环中元素的互素、整除性的判定、Euclid环、既约多项式、本原多项式、Gauss引理、Eisentein判别法。

8，整环的分式域、有理函数域、最简分式、Bezout定理、多项式函数环、Laglrange与Newton插值公式、多项式环的微分法、Vieta公式、对称与斜对称函数、Wilson定理。

9，对称多项式环、多称多项式的基本定理、待定系数法、等幂和、Newton公式、多项式的判别式、结式、复数域的代数封闭性、代数基本定理、Strum定理、多项式根的近似算法、整系数多项式的有理根。

10，一般域上的线性空间、子空间、线性相关、线性无关、向量组的秩、基与维数、不同基之间的过渡矩阵、线性空间的同构、子空间的交与和、维数定理、直和、补空间、商空间、线性函数、对偶空间、线性无关的判别法。

11，线性映射、线性映射的矩阵表示、像与核、线性算子、线性算子代数、极小多项式、矩阵的相似、线性算子的行列式与迹。

12，不变子空间、特征值与特征向量、特征多项式、特征子空间、几何重数与代数重数、可对角化算子的判别法、不变子空间的存在性、共轭线性算子、商算子。

代数学-2

1，范畴、函子、Hamilton-Cayley定理、Jordan标准型、根子空间、循环子空间、循环矩阵、矩阵的有理标准型。

2，多项式矩阵、多项式矩阵的初等变换、多项式矩阵的相抵、Smith标准型、行列式因子、不变因子、初等因子组、特征方阵与Jordan标准型的关系、实方阵的实相似。

3，多重线性映射、双线性型、矩阵的相合变换、双线性型的秩、左根基、对称双线性型与斜对称双线性型、二次型、二次型的规范型、化二次型为规范型的方法、实二次型、惯性定理、正定二次型与正定矩阵、Jacobi方法、Sylvester定理、斜对称二次型的规范型、Pfaff型。

4，Euclid空间、内积、标准正交基、Gram-Schmidt正交化过程、Euclid空间的同构、正交矩阵、正交群、辛空间、辛群、辛算子、酉空间、Hermite型、酉矩阵、酉群、赋范线性空间、按模收敛、绝对收敛。

5，内积空间上的线性算子、化二次型为主轴形式、把两个二次型同时化为规范型、保距算子的规范形式、极分解、奇异值分解、Schur定理、Witt扩张定理、复结构、复化线性空间、实化线性空间、实化线性算子、复化算子、最小二乘法、球面多项式、加权正交。

6，线性算子的范数、线性群的单参数子群、谱半径、仿射空间、仿射映射、仿射空间的同构、仿射子空间、仿射坐标系、仿射同构、Euclid度量、Gram行列式、有向体积。

7，仿射群、Euclid空间的运动群、保距变换群、凸集、Minkowski空间、伪欧氏空间、Lorenz群、仿射空间上的二次函数、化二次函数为规范型、Euclid空间上的二次函数。

8，二次曲面、二次曲面的中心、仿射空间中二次曲面的规范型、二次曲面的分类、Euclid空间中的二次曲面、射影平面、高维射影空间、齐次坐标、仿射几何与射影几何的关系、代数簇、射影群、交比与重比、射影空间中二次曲面的分类、直线与射影二次曲面的相交。

9，张量的概念、张量的坐标、张量积、张量的卷积、对称与斜对称张量、张量空间、外代数。

10，正规子群、左陪集与右陪集、代表元、Lagrange定理、循环群的结构、群作用、轨道、稳定子群、正规化子、可迁群、齐次空间。

11，典型群、满同态、四元数代数、置换群、对称。

12，商群、同态基本定理、群的同构定理、换位子群、群的直积与半直积、生成元、自由群、可解群、单群。

代数学-3

1，Zassenhaus引理、Jordan-Holder定理、带算子的群、自同态环、自同构类群、Sylow定理、特征子群、Abel群、有限生成的Abel群、Frobenius-Stickelberger定理、有限Abel群的基本定理。

2，良序集、Zorn引理、选择公理、态射、自然变换、环的理想、商环、同态基本定理、环的同构定理、理想的运算、局部化、素理想。

3，Gauss整数、主理想环、极大理想、唯一因子分解环的多项式扩张、环的直和、中国剩余定理、模、子模、模同态、商模、正合列、模的第一同构定理、循环模、直积与直和、自由模、环的整元素。

4，主理想环上的有限生成模、Neother归纳原理、Artin模、Neother模、Krull定理、模的同构定理、投射模、内射模、模的张量积。

5，域的扩张、代数扩张、超越扩张、分裂域、Kronecker定理、可分多项式、有限域扩张、有限域的子域、有限域的自同构、Mobius反演公式、分圆多项式。

6，代数闭域、域扩张的自同构、Galois群、Artin引理、Galois扩张、Galois理论主定理、尺规做图问题、三等分角问题、倍立方问题、分圆扩张、不可约性判别法、Brauer定理、Dedekind定理、Artin定理、正规基。

7，循环扩张、交换扩张、可解扩张、范数和迹、Speiser定理、Artin-Speiser定理、方程可用根式解的判别法、表示、表示空间、表示模。

8，酉表示、Maschke定理、多面体群、Schur定理、特征标、对称群的表示、Young图、Young表、不可约表示、交换群的表示、特征标群、Frobenius互反定理。

9，SU

（2）群和SU（3）群的表示、表示的张量积、特征标环、有限群中的刚性与有理性、结合代数、商代数、中心单代数、Wedderburn-Artin定理、可除代数、Wedderburn定理、代数的线性表示、Burnside定理。

10，矩阵Lie群、矩阵紧Lie群、矩阵Lie群的同态与同构、特殊线性群的极分解、Lie群、Lie代数、Lie代数的表示。

几何学

1，点线面的相互关系、方向和角度与平行、恒等和叠合与对称、向量的加法和减法、向量与数量的乘法、内积、外积、混合积、向量对于给定基底的坐标。

2，一般笛卡尔坐标、空间曲面和空间曲线的方程、坐标变换、平面方程、平面对于坐标系的位置、平面的相互位置。

3，直线方程、直线和平面的相互位置、两条直线的相互位置、二次曲面分类、椭圆面、双曲面、抛物面、锥面和柱面。

4，二次曲面的直母线、二次曲面的直径和直径平面、二次型的变换、不变量。

5，曲线直径、曲面和曲线的中心、曲线的对称轴、曲面的对称平面、双曲线的渐近线、双曲面的渐近锥面、曲线的切线、曲面的切平面。

6，正交变换、仿射变换、仿射变换的基本不变量、仿射变换下的二次曲线和二次曲面、射影变换、齐次坐标、无穷远点、射影变换下的二次曲线和二次曲面、极点和配极。

7，Euclid几何中的平面与直线、Euclid平面与复数、Euclid空间与仿射空间、仿射簇。

8，仿射直线与仿射平面的公理化模型、平面上的线性方程、凸几何、仿射几何的基本定理、仿射空间、有限维凸几何、Caratheodory与Radon引理、Helly定理。

9，射影几何、射影直线与平面、Pappus与Desargues定理、n维射影空间简介、二次平面曲线的分类、四次方程、Pascal定理。

10，圆与球、球面几何、n维球的几何、Riemann椭圆几何、Lobachevsky几何的Klein模型、线性分式变换与球极投影、Lobachevsky几何的其它模型、初等双曲几何。

11，Euclid几何和Riemann椭圆几何及Lobachevsky几何的同构性、复射影空间、影变换的不动点、调和四重点与调和四重线。

古典微分几何

1，Descartes坐标系、坐标变换、Euclid空间中的曲线、梯度、余向量、Riemann度量、伪Riemann度量、Minkowski度量。

2，正则曲线与Frenet曲线、平面曲线、具有常曲率的平面曲线、空间曲线、曲率与挠率的关系。

3，Frenet方程、局部曲线论的基本定理、Minkowski空间、Minkowski空间上的Frenet方程、闭曲线、缠绕数、旋转度、凸曲线及其分类、四顶点定理。

4，狭义相对论的数学模型、Poincare群、Lorenz变换、曲面元、曲面的第一基本形式、曲面的定向、曲面上的诱导度量。

5，Gauss映射、Weingarten映射、曲面的第二与第三基本形式、主曲率、旋转面、Beltrami-Enneper定理、直纹面。

6，可展曲面、Weingarten曲面、极小曲面、共形参数化。

7，Weierstrass表示、Minkowski空间上的曲面、超曲面、球面上的度量。

8，Lobachevsky度量、Lobachevsky几何的Poincare度量模型与Klein度量模型、Minkowski空间中的类空曲面的曲率、复变换群、复解析函数、Riemann曲面、共形坐标。

9，Beltrami方程、球面度量与Lobachevsky度量、常曲率空间、矩阵空间中的曲面、矩阵的指数映射。

10，四元数、共形度量、共形变换、Liouville定理、方向导数、共变导数、联络、Christoffel符号、Gauss公式、Weingarten方程。

11，平行向量场、测地线、平行移动、最短路径定理、Gauss绝妙定理、Gauss方程、Codazzi-Mainardi方程、曲率张量、局部曲面论的基本定理、Gauss曲率、测地平行坐标。

12，曲面的同构、Maurer-Cartan方程、测地曲率、Gauss-Bonnet定理。

13，曲面的大范围性质、Riemann与伪Riemann空间中的张量、伪微分同胚的单参数群、向量场的指数映射。

数理逻辑引论

1，字母表、一阶逻辑语言的项与形式、项与形式的归纳、自由变量与语句。

2，结构与解释、联结词的标准化、满足关系、推论关系、叠合引理与同构引理。

3，形式化与可形式化。

4，代换、矢列式法则、结构法则与联结词法则、可推导联结词法则。

5，量词与相等法则、相容性、Henkin定理。

6，可数情形的公式的无矛盾集的可满足性、完备性定理、Lowenheim-Skolem定理、紧性定理。

7，初等类、初等等价结构、二阶逻辑。

8，L_ω1_ω系统、L_Ω系统、谓词与映射。

9，偏序集、Boolean代数、滤子、集合的势。

10，选择公理与ZFC公理系统、可判定性与可枚举性。

11，正规算法、Turing机。

12，寄存器机、寄存器机的停机问题、一阶逻辑的不可判定性、二阶逻辑的不完备性。

13，可判定性、Godel不完备性定理。

复分析-1

1，复数域、复平面、复平面上的直线与半平面、扩充平面及其球面表示、幂级数。

2，幂级数、解析函数、Cauchy-Riemann方程、解析函数、共形映射、分式线性变换、Mobius变换、共形映射、对称原理。

3，有界变差函数、Riemann-Stieltjes积分。

4，Cauchy估计公式、解析函数的幂级数表示、整函数、解析函数的零点、Liouville定理、代数基本定理、最大模定理、闭曲线的指标。

5，Cauchy定理、Cauchy积分公式、Morera定理、零点的计算、开映射定理。

6，Goursat定理、奇点的分类、Laurent级数展开、Casorati-Weierstrass定理。

7，留数定理、辐角原理、Rouche定理、最大模原理。

8，Schwarz引理、Hadamard三圆定理、Phragmen-Lindeloff定理、Arzela-Ascoli定理。

9，解析函数空间、Hurwitz定理、Montel定理、亚纯函数空间、Riemann映射定理。

9，Weierstrass因式分解定理、正弦函数的因式分解、Runge定理。

10，单连通性、Mittag-Leffler定理、Schwarz反演原理。

11，函数芽、沿道路的解析开拓、完全解析函数、单值性定理、调和函数、最大值原理、最小值原理、Poisson核、Harnark不等式、Harnark定理。

12，次调和函数与上调和函数、Dirichlet问题、Green函数。

13，Jensen公式、Poisson-Jensen公式、Hadamard因式分解定理。

复分析-2

1，Bloch定理、Picard小定理、Schottky定理、Montel-Caratheodory定理、Picard大定理、共形映射在流体力学上的应用。

2，Pompeiu公式、Schwarz-Christoffel公式。

3，Gamma函数、Laplace变换、渐进级数、渐进展开、Riemann-Zeta函数。

4，Green公式、椭圆函数与双周期性、Liouville定理、因子群、Weierstrass椭圆函数。

5，椭圆函数域、椭圆积分。

6，加性定理、椭圆函数论在椭圆积分上的应用。

7，Abel定理、椭圆模群。

8，模函数、Eisentein级数。

9，模群及其基本域。

10，模形式的代数、Theta函数的Jacobi变换公式。

11，同余群、同余群的模形式、单连通流形上的函数的整体连续。

12，曲面的定义、Riemann曲面、Riemann曲面上的Rieman度量、Laplace-Beltrami算子、Schwarz