七年级数学上册一元一次方程应用题专题讲解超全超详细.docx
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七年级数学上册一元一次方程应用题专题讲解超全超详细
七年级上册应用题专题讲解
列方程解应用题,是初中数学的重要内容之一。
许多实际问题都归结为解一种方程或方程组,所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际,解决实际问题的一个重要方面;同时通过列方程解应用题,可以培养我们分析问题,解决问题的能力。
因此我们要努力学好这部分知识。
一、列方程解应用题的一般步骤(解题思路)
(1)审—审题:
认真审题,弄清题意,找出能够表示本题含义的相等关系(找出等量关系).
(2)设—设出未知数:
根据提问,巧设未知数.
(3)列—列出方程:
设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系列出方程.
(4)解—解方程:
解所列的方程,求出未知数的值.
(5)答—检验,写答案:
检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际,检验后写出答案.(注意带上单位)
二、各类题型解法分析
一元一次方程应用题归类汇集:
行程问题,工程问题,和差倍分问题(生产、做工等各类问题),等积变形问题,调配问题,分配问题,配套问题,增长率问题,数字问题,方案设计与成本分析,古典数学,浓度问题等。
(一)和、差、倍、分问题——读题分析法
这类问题主要应搞清各量之间的关系,注意关键词语。
仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:
“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套,,”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程.
1.倍数关系:
通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率,,”来体现。
2.多少关系:
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余,,”来体现。
增长量=原有量×增长率现在量=原有量+增长量
例1.某单位今年为灾区捐款2万5千元,比去年的2倍还多1000元,去年该单位为灾区捐款多少元?
解:
设去年该单位为灾区捐款x元,则
2x+1000=25000
2x=24000x=12000
答:
去年该单位为灾区捐款12000元.
例2.旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%,第二次旅程中用去剩余汽油的40%,这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤,求油箱里原有汽油多少公斤?
解:
设油箱里原有汽油x公斤,则
x-[25%x+40%×(1-25%)x]+1=25%x+40%×(1-25%)x
即10%x=1x=10
答:
油箱里原有汽油10公斤.
(二)等积变形问题
等积变形是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为:
原料体积=成品体积。
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变.
2
①圆柱体的体积公式V=底面积×高=S·h=rh
②长方体的体积V=长×宽×高=abc
例3.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米,可足够锻造直径为0.4米,长为3米的圆柱形
机轴多少根?
解:
设可足够锻造直径为0.4米,长为3米的圆柱形机轴x根,则
3.14×(0.4
2
2)×3x=3.14×(0.8
2
2)×30
0.12x=4.8x=40
答:
可足够锻造直径为0.4米,长为3米的圆柱形机轴40根。
(三)数字问题
1.要搞清楚数的表示方法:
一个三位数,一般可设百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9),则这个三位数表示为:
100a+10b+c.
2.数字问题中一些表示:
两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n
表示,连续的偶数用2n+2或2n-2表示;奇数用2n+1或2n—1表示。
例4.有一个三位数,个位数字为百位数字的2倍,十位数字比百位数字大1,若将此数个位与百位顺序对调(个位变百位)所得的新数比原数的2倍少49,求原数。
解:
设原数百位数为x,则十位数为10(x+1),个位数为2x,于是
100×2x+10×(x+1)+x+49=2×[100x+10(x+1)+2x]
即211x+59=224x+20
13x=39x=3
故原数为:
100×2+10×4+2×3=246
答:
原数为246.
例5.一个三位数,三个数位上的数字之和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上的数的3倍,求这个三位数.
[分析]由已知条件给出了百位和个位上的数的关系,若设十位上的数为x,则百位上的数为x+7,个
位上的数是3x,等量关系为三个数位上的数字和为17。
解:
设这个三位数十位上的数为x,则百位上的数为x+7,个位上的数是3x,则
x+x+7+3x=17
解得x=2x+7=9,3x=6
答:
这个三位数是926。
(四)商品利润问题(市场经济问题或利润赢亏问题)
(1)销售问题中常出现的量有:
进价(或成本)、售价、标价(或定价)、利润等。
(2)利润问题常用等量关系:
商品利润=商品售价-商品进价=商品标价×折扣率-商品进价
商品利润率
商品利润
100%
商品售价
-商品进价
100%
商品进价
商品进价
(3)商品销售额=商品销售价×商品销售量
商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量
(4)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售.即商品售价=商品标价×折扣率.
例
6:
一家商店将某种服装按进价提高
40%后标价,又以
8折优惠卖出,结果每件仍获
利
15
元,这种服装每件的进价是多少?
[分析]探究题目中隐含的条件是关键,可直接设出成本为x元,
进价折扣率标价优惠价利润
x元8折(1+40%)X元80%(1+40%)X15元等量关系:
(利润=折扣后价格—进价)折扣后价格-进价=15
解:
设这种服装每件的进价为x元,则
80%x(1+40%)—x=15,解得x=125
答:
这种服装每件的进价是125元。
例6*:
某商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于该商品积压,商店准备打折出售,但要保持利润率不低于5%,则至多打几折?
解:
设至多打x折,则根据题意有
1200x
800
800
×100%=5%
解得x=0.7=70%
答:
至多打7折出售.
(五)行程问题——画图分析法
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取
得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代
数式是获得方程的基础.
1.行程问题中的三个基本量及其关系:
路程=速度×时间时间=路程÷速度速度=路程÷时间
2.行程问题基本类型
(1)相遇问题:
快行距+慢行距=原距
(2)追及问题:
快行距-慢行距=原距
(3)航行问题:
顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2
(4)环路问题甲乙同时同地背向而行:
甲路程—乙路程=环路一周的距离甲乙同时同地同向而行:
快者的路程—慢者的路程=环路一周的距离
抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.即顺水逆水问题常用等量关系:
顺水路程=逆水路程.
常见的还有:
相背而行;行船问题;环形跑道问题。
例7:
甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。
(1)慢车先开出1小时,快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇?
(2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?
(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?
(4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?
(5)慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车?
(此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。
)
解析:
(1)分析:
相遇问题,画图表示为:
等量关系是:
慢车走的路程+快车走的路程=480公里。
甲乙
解:
设快车开出x小时后两车相遇,由题意得,140x+90(x+1)=480解这个方程,230x=390
16
x1,
23
答:
快车开出
16
1小时两车相遇
23
600
(2)分析:
相背而行,画图表示为:
等量关系是:
两车所走的路程和+480公里=600公里。
甲乙
解:
设x小时后两车相距600公里,
由题意得,(140+90)x+480=600解这个方程,230x=120∴x=12
23
答:
12小时后两车相距600公里。
23
(3)分析:
等量关系为:
快车所走路程-慢车所走路程+480公里=600公里。
解:
设x小时后两车相距600公里,由题意得,(140-90)x+480=60050x=120∴x=2.4
答:
2.4小时后两车相距600公里。
(4)分析:
追及问题,画图表示为:
等量关系为:
快车的路程=慢车走的路程+480公里。
甲乙
解:
设x小时后快车追上慢车。
由题意得,140x=90x+480解这个方程,50x=480∴x=9.6
答:
9.6小时后快车追上慢车。
(5)分析:
追及问题,等量关系为:
快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解:
设快车开出x小时后追上慢车。
由题意得,140x=90(x+1)+48050x=570∴x=11.4
答:
快车开出11.4小时后追上慢车。
例8:
一轮船在甲、乙两码头之间航行,顺水航行需要4小时,逆水航行需要5小时,水流的速度为2千米/时,求甲、乙两码头之间的距离。
解:
设甲、乙两码头之间的距离为x千米,则
xx
4
45
x=80
答:
甲、乙两码头之间的距离为80千米.
(六)工程问题
1.工程问题中的三个量及其关系为:
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率
工作总量
工作时间
工作时间
工作总量
工作效率
2.经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位1。
即完成某项任务的各工作
量的和=总工作量=1.
工程问题常用等量关系:
先做的+后做的=完成量.
例9:
将一批工业最新动态信息输入管理储存网络,甲独做需6小时,乙独做需4小时,甲先做30分钟,然后甲、乙一起做,则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作?
解:
设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作.
根据题意,得1×1
+(1+1
)x=1
6264
解这个方程,得x=11
5
11=2小时12分
5
答
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