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线性代数各章知识点概述
线性代数辅导
东南大学数学系
20XX年11月
第一部分行列式
第二部分矩阵的运算
第三部分矩阵的初等变换和矩阵的秩
第四部分向量组的线性相关性和向量组的秩
第五部分线性方程组
第六部分相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量
第七部分实对称矩阵和二次型
第八部分空间解析几何
第一部分行列式
一.定义
1.定义设,则
是项代数和;不同行,不同列;正、负号。
【例1】是不是4阶行列式中展开式中的项,正、负号是什么?
不是
【例2】中的系数。
2.注:
(1).对角线法则一般地不再成立。
举例。
(2).记住上、下三角阵的行列式。
二.性质
1.性质
(1)行列式的基本性质;
(2)按行(列)展开;
(3)乘法定理。
2.需记住的结果:
(1)Vandermonde行列式;
(2)分块上、下三角阵的行列式。
3.例:
【例3】已知,,,求。
【例4】已知。
求。
4.注:
(1)矩阵的加法、数乘之后的行列式;
(2)容易出现的错误:
;
;
(3)分块矩阵的行列式.
三.计算
1.典型方法:
(1)化成低阶行列式;
(2)化成三角形行列式。
2.注:
很少直接用定义计算;应先化简,后计算。
3.例
【例5】;
【例6】;
【例7】,均不为零;
【例8】;
【例9】;
【例10】;
第二部分矩阵的运算
一.矩阵的乘法
1.运算规律
【例1】,
,,
。
【例2】假设是维非零列向量,。
证明:
是对称矩阵,且。
2.应当注意的问题
(1)矩阵记号与行列式记号的差别;
(2)单位矩阵(用或表示)的每个元素都等于1吗?
不是
(3)矩阵乘法含有非零零因子,因而乘法消去律不成立;
【例3】。
【例4】满足满足什么条件时,由就能推出?
(4)矩阵乘法不可交换,因而一些代数恒等式不再成立。
【例5】平方差公式。
【例6】二项式定理。
【例7】设,求。
【例8】与对角阵可交换的矩阵是否一定是对角阵?
不一定,任意方阵与单位阵都是可交换的。
二.可逆矩阵
1.可逆的条件
(1)行列式不为零;
(2)秩等于阶数;
(3)存在另一矩阵使它们的乘积是单位阵;
(4)特征值全不为零。
2.逆矩阵的计算
(1)利用伴随矩阵:
一般只对低阶矩阵,如二阶矩阵用这种方法。
但要注意二阶矩阵的伴随矩阵是如何定义的。
(2)利用初等变换:
要注意避免过繁的运算。
【例9】求矩阵的逆矩阵
3.重要性质,如
(1)可逆矩阵肯定不是零因子;
(2);
(3)对于方阵,若存在矩阵使得,则是可逆的,且;
(4)。
【例10】已知,证明是可逆的,并求其逆。
【例11】已知。
(1)证明:
可逆,并求;
(2)可逆,并求其逆;
【问题】:
假设阶矩阵满足。
证明矩阵及均可逆,并分别求及;证明:
若,矩阵肯定不可逆。
4.伴随矩阵
(1)定义; 如求矩阵的伴随矩阵
(2);
(3)若可逆,则。
【例12】已知,求。
【例13】假设,证明。
5.矩阵方程
各种类型的矩阵方程,正确化简成标准形式,正确求解。
标准形式的矩阵方程的求解可以先求逆矩阵,再求乘积得解,或直接有初等变换求解。
可以进行验算!
【例14】设矩阵,矩阵满足,求。
三.矩阵的分块运算
(1)分块矩阵的乘法规则的成立是有条件的:
小矩阵间的运算要有意义,或左边的因子的列的分法与右边的因子的行的分法一致
●;
●;
【例15】求。
【例16】已知矩阵,其中是可逆矩阵,求。
(2)注意:
不能滥用分块。
如:
行列式;伴随矩阵等。
第三部分矩阵的初等变换和矩阵的秩
一.概念
(1)讨论什么问题可以用初等行、列变换。
有时只能用行变换,不能用列变换;
求相抵标准型要同时用初等行、列变换。
解方程组,求逆矩阵,求极大无关组都只能用初等行变换,不能用列变换。
(2)行向量组等价的矩阵一定是等价的。
等价的矩阵的行向量组等价吗?
等价的矩阵的行向量组不一定等价,因为等价的矩阵可能做了初等列变换。
【例1】讨论矩阵的秩
二.初等变换与矩阵乘法
(1)初等变换与初等矩阵的乘积;
【例2】已知可逆,交换其第一、三两行的得矩阵,求。
(2)矩阵的等价标准形;
(3)若,则一定存在可逆矩阵,使得。
【例4】证明矩阵的满秩分解定理,分解成秩为1的矩阵的和。
(4)用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵,解矩阵方程。
三.矩阵的运算与秩
(1)
(2)
(3)
(4)
(3)若,则
【例4】假设满足,证明:
。
【例5】假设是矩阵,且。
若,则必有。
【例6】假设,是矩阵。
证明。
第四部分向量组的线性相关性和向量组的秩
一.什么叫线性相关、线性无关?
什么叫向量组的极大无关组,秩?
重要结论。
(1)定义;
(2)简单性质:
含零向量的向量组一定线性相关等;
两个向量线性相关当且仅当其分量成比例;
问题:
如果三个向量中的任意两个向量的分量都不成比例,是否线性无关?
不一定,可能有某一行可以由其他两行线性表示。
(3)向量组的秩与矩阵的秩的关系;
(4)定理:
时,线性相关存在某个使得可以由其余个向量线性表示。
(5)定理:
若线性无关,线性相关,则可以由线性表示。
(6)定理:
若可以由线性表示,且,则线性相关。
(7)定理:
线性无关。
(8)定理:
假设向量组线性无关,并且
,
记。
则线性无关可逆;
二.如何判别?
(1)线性表示,线性相关性
【例1】设向量,,,.问:
当参数满足什么条件时
1.能用线性表示?
2.不能用线性表示?
【例2】已知向量组,之间有关系:
,
证明:
肯定线性相关.
【例3】求,使得向量组线性相关。
【例5】设是齐次线性方程组的线性无关的解向量,不是其解向量。
证明:
也线性无关.
【例5】设线性无关,,。
问:
满足什么条件时线性无关?
(2)极大无关组和秩
定理:
如果可以由线性表示,则
定理:
如果,则中任意个线性无关的向量都是其一极大无关组。
【例6】若向量组,则当参数取什么值时,线性相关;这时求这个向量组的一个极大无关组。
【例7】求给定向量组的极大无关组
(3)注意辨别对错
【例7】若线性相关,则可由线性表示?
错,不一定
【例8】若有全为零的数使得,则线性无关。
错,不一定
三.向量空间
第五部分线性方程组
一.解的存在性、唯一性
(1)有解;
(2)若,则有唯一解;
(3)若,则的通解中含有个自由未知量。
二.解的结构
(1)齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是。
A.解的结构
B.若,则的基础解系中含个解向量;
C.若,则的任意个线性无关的解向量都是基础解系
(2)非齐次线性方程组的解的结构
三.Cramer法则,Gauss消元法与通解的表达
注:
Cramer法则只适用于方程个数与未知量个数相同的情形;
用Gauss消元法求解只能对增广矩阵作初等行变换,不能作列变换;
通解有两种形式:
用自由未知量表示;用向量形式表示。
四.例
【例1】求齐次线性方程组的基础解系
将系数矩阵化成行简化阶梯形矩阵,求通解,写出基础解系。
【例2】讨论解的情况并求基础解系
【例3】问:
当参数去什么值时,齐次线性方程组有非零解,有非零解时求通解
【例4】讨论解的情况并求解
【例5】设是齐次线性方程组的基础解系,线性方程组的特解。
表示任意常数。
则的通解是
(1)
(2)
(3)
(4)
【例6】已知是齐次线性方程组的基础解系,
问:
当取何值时,也是的基础解系。
【例7】假设,是的解,且,。
求的通解。
第六部分相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量
中心问题是矩阵的相似对角化问题。
一.矩阵的特征值、特征向量的概念和简单性质
1.计算:
先求特征多项式,再求根,再解齐次线性方程组的非零解
【例1】求矩阵的特征值和特征向量。
2.特征多项式和迹
假设。
则是次多项式,首一的,且
称为的迹,记为。
3.特征值的性质
(1)如的特征值是,则
,
(2)可逆特征值均不为零。
如果可逆,是的特征值,则是的特征值;
(3)假设多项式,是的特征值,则是的特征值;
(4)设是的化零多项式,则的特征值均是的根。
【例2】假设是3阶方阵,均不可逆,求。
【例3】假设,证明:
的特征值只能是0和1。
注:
错误做法:
因为,则或。
若,则0是的特征值,若,则1是的特征值。
二.相似矩阵及矩阵相似的必要条件
定义:
矩阵的相似。
定理:
若矩阵与相似,则,且与有相同的特征值、迹、秩、行列式。
【例4】已知矩阵与相似,求。
解:
A,B相似,则|A|=|B|=0。
化简可得|A|=(a-b)2=0,所以a=b。
另外,A,B相似,A的特征值也为0,1,2。
当λ=1时,|λI-A|=-2ab=0。
所以a=b=0。
注:
1.逆命题不成立
2.课程中没有介绍“充分条件”,除非对矩阵加了特定的条件(如实对称等)。
【例5】若与之一可逆,证明:
与一定相似。
【例6】若与相似,与相似,证明:
与相似。
三.矩阵可相似对角化问题
注:
并非每个矩阵都相似于对角阵。
如
定理:
矩阵相似于对角阵有个线性无关的特征向量。
定理:
矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。
【例7】如:
肯定相似与对角阵。
如:
有重特征值,但相似于对角阵。
定理:
如果是矩阵的互不相同的特征值,是的属于的特征向量,则线性无关。
【例8】假设是上三角矩阵。
证明
(1)如果互异,则一定相似于对角阵;
(此时,A有个不同的特征值,所以有个线性无关的特征向量。
)
(2)如果全相等,而不是对角阵,则肯定不相似于对角阵。
(此时,A的个特征值相同,且)
定理:
矩阵相似于对角阵对于的重特征值,有个线性无关的特征向量。
【例9】假设相似于对角阵,2是一个二重特征值。
求及可逆矩阵,使得是对角阵。
【例10】已知矩阵的特征方程有一个二重根。
求参数的值,并讨论是否可相似对角化。
注:
。
因此,若2是两重根,则,此时,特征值为2,2,6。
可以证明,这时,可以相似对角化。
若2不是两重根,则为完全平方,从而可以解得。
可以证明,这时不可以相似对角化。
【例11】设矩阵满足。
证明:
(1)相似于;
(2)。
四.同时对角化问题、矩阵相似对角化的应用
【例12】设矩阵有个互不相同的特征值,且。
证明:
存在可逆阵使得,均是对角阵。
【例13】设。
求。
第七部分实对称矩阵和二次型
应当注意,讨论二次型与讨论实对称矩阵本质上是同一回事。
一.内积、Schmidt正交化方法和正交矩阵
1.内积和正交性
定义:
维向量的内积(可以用矩阵的乘积表示)
正交
长度,单位向量,单位化
正交向量组
定理:
正交向量组是线性无关的。
【例1】已知向量组线性无关,非零向量与中每个向量正交。
证明:
,线性无关。
2.Schmidt正交化方法
如果线性无关,则经过正交化、单位化可以得到一个与之等价的标准正交向量组。
正交化、单位化的公式。
3.正交矩阵
定义:
正交矩阵
定理:
阶实矩阵是正交矩阵的行(列)向量组是标准正交向量组。
【例2】若上三角实矩阵是正交矩阵,则是对角阵,且主对角元是。
【例3】若阶实矩阵是正交矩阵。
则
(1)当时
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