电磁学课后习题答案.docx
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电磁学课后习题答案
第五章 静 电 场
5-9 若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求证:
(1)在棒的延长线,且离棒中心为r处的电场强度为
(2)在棒的垂直平分线上,离棒为r处的电场强度为
若棒为无限长(即L→∞),试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.
分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略,因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示,在长直线上任意取一线元dx,其电荷为dq=Qdx/L,它在点P的电场强度为
整个带电体在点P的电场强度
接着针对具体问题来处理这个矢量积分.
(1)若点P在棒的延长线上,带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同,
(2)若点P在棒的垂直平分线上,如图(A)所示,则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零,因此,点P的电场强度就是
证
(1)延长线上一点P的电场强度,利用几何关系r′=r-x统一积分变量,则
电场强度的方向沿x轴.
(2)根据以上分析,中垂线上一点P的电场强度E的方向沿y轴,大小为
利用几何关系sinα=r/r′,统一积分变量,则
当棒长L→∞时,若棒单位长度所带电荷λ为常量,则P点电场强度
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同[图(B)].这说明只要满足r2/L2<<1,带电长直细棒可视为无限长带电直线.
5-14 设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行,试计算通过此半球面的电场强度通量.
分析 方法1:
由电场强度通量的定义,对半球面S求积分,即
方法2:
作半径为R的平面S′与半球面S一起可构成闭合曲面,由于闭合面无电荷,由高斯定理
这表明穿过闭合曲面的净通量为零,穿入平面S′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量.因而
解1 由于闭合曲面无电荷分布,根据高斯定理,有
依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS的方向,
解2 取球坐标系,电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①
5-17 设在半径为R的球体,其电荷为球对称分布,电荷体密度为
k为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E与r的函数关系.
分析 通常有两种处理方法:
(1)利用高斯定理求球外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布,因而电场分布也是球对称,选择与带电球体同心的球面为高斯面,在球面上电场强度大小为常量,且方向垂直于球面,因而有
根据高斯定理,可解得电场强度的分布.
(2)利用带电球壳电场叠加的方法求球外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳,球壳带电荷为,每个带电球壳在壳激发的电场,而在球壳外激发的电场
由电场叠加可解得带电球体外的电场分布
解1 因电荷分布和电场分布均为球对称,球面上各点电场强度的大小为常量,由高斯定理得球体(0≤r≤R)
球体外(r>R)
解2 将带电球分割成球壳,球壳带电
由上述分析,球体(0≤r≤R)
球体外(r>R)
5-20 一个外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳,总电荷为Q1,球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面,球面带电荷为Q2.求电场分布.电场强度是否为离球心距离r的连续函数?
试分析.
分析 以球心O为原点,球心至场点的距离r为半径,作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布,电场强度也为球对称分布,高斯面上电场强度沿径矢方向,且大小相等.因而.在确定高斯面的电荷后,利用高斯定理即可求出电场强度的分布.
解 取半径为r的同心球面为高斯面,由上述分析
r<R1,该高斯面无电荷,,故
R1<r<R2,高斯面电荷
故
R2<r<R3,高斯面电荷为Q1,故
r>R3,高斯面电荷为Q1+Q2,故
电场强度的方向均沿径矢方向,各区域的电场强度分布曲线如图(B)所示.在带电球面的两侧,电场强度的左右极限不同,电场强度不连续,而在紧贴r=R3的带电球面两侧,电场强度的跃变量
这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果,且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳,壳层外的电场强度也是连续变化的,本题中带电球壳外的电场,在球壳的厚度变小时,E的变化就变陡,最后当厚度趋于零时,E的变化成为一跃变.
5-21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面,半径分别为R1和R2>R1),单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r处的电场强度:
(1)r<R1,
(2)R1<r<R2,(3)r>R2.
分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上,电场强度也必定沿轴对称分布,取同轴圆柱面为高斯面,只有侧面的电场强度通量不为零,且,求出不同半径高斯面的电荷.即可解得各区域电场的分布.
解 作同轴圆柱面为高斯面,根据高斯定理
r<R1,
在带电面附近,电场强度大小不连续,电场强度有一跃变
R1<r<R2,
r>R2,
在带电面附近,电场强度大小不连续,电场强度有一跃变
这与5-20题分析讨论的结果一致.
5-22 如图所示,有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布且Q1=Q3=Q.已知其中任一点电荷所受合力均为零,求在固定Q1、Q3的情况下,将Q2从点O移到无穷远处外力所作的功.
分析 由库仑力的定义,根据Q1、Q3所受合力为零可求得Q2.外力作功W′应等于电场力作功W的负值,即W′=-W.求电场力作功的方法有两种:
(1)根据功的定义,电场力作的功为
其中E是点电荷Q1、Q3产生的合电场强度.
(2)根据电场力作功与电势能差的关系,有
其中V0是Q1、Q3在点O产生的电势(取无穷远处为零电势).
解1 由题意Q1所受的合力为零
解得
由点电荷电场的叠加,Q1、Q3激发的电场在y轴上任意一点的电场强度为
将Q2从点O沿y轴移到无穷远处,(沿其他路径所作的功相同,请想一想为什么?
)外力所作的功为
解2 与解1相同,在任一点电荷所受合力均为零时,并由电势
的叠加得Q1、Q3在点O的电势
将Q2从点O推到无穷远处的过程中,外力作功
比较上述两种方法,显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大,而求电势分布要简单得多.
5-23 已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为
为电荷线密度.
(1)求在r=r1和r=r2两点间的电势差;
(2)在点电荷的电场中,我们曾取r→∞处的电势为零,求均匀带电长直线附近的电势时,能否这样取?
试说明.
解
(1)由于电场力作功与路径无关,若沿径向积分,则有
(2)不能.严格地讲,电场强度只适用于无限长的均匀带电直线,而此时电荷分布在无限空间,r→∞处的电势应与直线上的电势相等.
5-27 两个同心球面的半径分别为R1和R2,各自带有电荷Q1和Q2.求:
(1)各区域电势分布,并画出分布曲线;
(2)两球面间的电势差为多少?
分析 通常可采用两种方法
(1)由于电荷均匀分布在球面上,电场分布也具有球对称性,因此,可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面,借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布,再由可求得电势分布.
(2)利用电势叠加原理求电势.一个均匀带电的球面,在球面外产生的电势为
在球面电场强度为零,电势处处相等,等于球面的电势
其中R是球面的半径.根据上述分析,利用电势叠加原理,将两个球面在各区域产生的电势叠加,可求得电势的分布.
解1
(1)由高斯定理可求得电场分布
由电势可求得各区域的电势分布.
当r≤R1时,有
当R1≤r≤R2时,有
当r≥R2时,有
(2)两个球面间的电势差
解2
(1)由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面,即r≤R1,则
若该点位于两个球面之间,即R1≤r≤R2,则
若该点位于两个球面之外,即r≥R2,则
(2)两个球面间的电势差
第六章 静电场中的导体与电介质
6-1 将一个带正电的带电体A从远处移到一个不带电的导体B附近,则导体B的电势将( )
(A)升高 (B)降低 (C)不会发生变化 (D)无法确定
分析与解 不带电的导体B相对无穷远处为零电势。
由于带正电的带电体A移到不带电的导体B附近时,在导体B的近端感应负电荷;在远端感应正电荷,不带电导体的电势将高于无穷远处,因而正确答案为(A)。
6-3 如图所示将一个电量为q的点电荷放在一个半径为R的不带电的导体球附近,点电荷距导体球球心为d,参见附图。
设无穷远处为零电势,则在导体球球心O点有( )
(A)
(B)
(C)
(D)
分析与解 达到静电平衡时导体处处各点电场强度为零。
点电荷q在导
体球表面感应等量异号的感应电荷±q′,导体球表面的感应电荷±q′在球心O点激发的电势为零,O点的电势等于点电荷q在该处激发的电势。
因而正确答案为(A)。
6-4 根据电介质中的高斯定理,在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。
下列推论正确的是()
(A)若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零,曲面一定没有自由电荷
(B)若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零,曲面电荷的代数和一定等于零
(C)若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零,曲面一定有极化电荷
(D)介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关
(E)介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关
分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零,表明曲面
自由电荷的代数和等于零;由于电介质会改变自由电荷的空间分布,介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关。
因而正确答案为(E)。
6-5 对于各向同性的均匀电介质,下列概念正确的是( )
(A)电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时,电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εr倍
(B)电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/εr倍
(C)在电介质充满整个电场时,电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εr倍
(D)电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的εr倍
分析与解 电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成,由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布,由电介质中的高斯定理,仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时,在电介质中任意高斯面S有
即E=E0/εr,因而正确答案为(A)。
6-8 一导体球半径为R1,外罩一半径为R2的同心薄导体球壳,外球壳所带总电荷为Q,而球的电势为V0.求此系统的电势和电场的分布.
分析 若,球电势等于外球壳的电势,则外球壳必定为等势体,电场强度处处为零,球不带电.
若,球电势不等于外球壳电势,则外球壳电场强度不为零,球带电.一般情况下,假设导体球带电q,导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示.依照电荷的这一分布,利用高斯定理可求得电场分布.并由或电势叠加求出电势的分布.最后将电场强度和电势用已知量V0、Q、R1、R2表示.
解 根据静电平衡时电荷的分布,可知电场分布呈球对称.取同心球面为高斯面,由高斯定理,根据不同半径的高斯面的电荷分布,解得各区域的电场分布为
r<R1时,
R1<r<R2时,
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