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6微分方程
第六单元微分方程
一、微分方程的一般概念
1、定义:
含有未知函数的导数或微分的等式。
2、阶:
未知函数最高阶导数的阶数。
(一阶、二阶)
3、通解:
含有与阶数相同个数的任意常量,且不能合并。
4、特解:
不含任意常量的解。
5、初始条件:
一阶:
二阶:
y(x0)=y0,y/(x0)=y/0
二、一阶微分方程的解法
1、可分离变量方程:
形如F(x)g(y)dx+f(x)G(y)dy=0或y/=f1(x)f2(y),
分离变量后为:
两端同时积分即可求出通解。
2、齐次方程:
形如,令代入原方程,化为关于以u为新的未知函数的可分离变量方程,求出u,从而得到y的表达式。
3、一阶线性方程:
y/+P(x)y=Q(x)
①当Q(x)≡0时,y/+P(x)y=0称为一阶线性齐次方程,用分离变量法求解。
②当Q(x)≠0时,y/+P(x)y=Q(x)称为一阶线性非齐次方程,其通解求法为
(1)公式法:
(2)常数变易法:
先解出y/+P(x)y=0的通解为y=cu(x),再将c看作函数c(x),求出导数y/=c/(x)u(x)+c(x)u/(x),代入原方程,求出c(x),从而得到其通解。
三、二阶常系数线性微分方程的解法
1、一般形式:
y//+py/+qy=f(x),其中p、q为常数,f(x)称为自由项。
2、解的结构:
若Y是y//+py/+qy=0的通解,y*是y//+py/+qy=f(x)的一个特解,则y=Y+y*是y//+py/+qy=f(x)的通解。
3、当f(x)≡0时,y//+py/+qy=0称为二阶常系数线性齐次微分方程。
解法:
特征根法
列出特征征方程:
,解出r1,r2,讨论:
(1)若r1≠r2,通解为
(2)若r1=r2=r,通解为
(3)若,通解为
4、当f(x)≠0时,y//+py/+qy=f(x)称为二阶常系数线性非齐次微分方程。
解法:
先求出y//+py/+qy=0的通解Y,再求特解y*
y*的求法:
(1)自由项f(x)为n次多项式Pn(x)时,设(Qn(x)是与Pn(x)同次的多项式,其系数设为A、B、…)
讨论:
特征根r1≠r2≠0,取k=0
特征根r1或r2=0,取k=1
特征根r1=r2=0,取k=2
(2)自由项f(x)=Pn(x)eαx时,设eαx
(Qn(x)是与Pn(x)同次的多项式,其系数设为A、B、…)
讨论:
α不是特征方程的根,取k=0
α是特征方程的单根,取k=1
α是特征方程的重根,取k=2
(3)自由项f(x)=eαx(Acosβx+Bsinβx)时,设eαx(Ccosβx+Dsinβx)
讨论:
α±βi不是特征方程的根,取k=0
α±βi是特征方程的单根,取k=1
四、可降阶的微分方程
1、一般形式:
y(n)=f(x)
2、求解方法:
两边同时积分,得到n-1阶的微分方程,
接连积分n次,含有n个任意常数项。
五、y//=f(x,y/)型微分方程(不含未知函数的一次项)
求解方法:
右端不显含未知函数,设y/=p,则,原方程变为p/=f(x,p),是一个关于变量x,p的一阶微分方程,设其通解为p=φ(x,c1),再由两端积分得
六、y//=f(y,y/)型微分方程(不含自变量的项)
求解方法:
右端不显含自变量的项,设y/=p,则,
将y/=p,代入原方程,使其降为关于p的一阶微分方程,解出p后,再用p=y/代入,得到关于y/的微分方程,再求出y,得到方程的通解。
例如:
求的通解
解:
令
两端同时积分得:
所以,。
例1求xyy/=1-x2的通解
解:
分离变量
两端积分,
即:
x2+y2=2lnx+c
例2求(xy2+x)dx+y(1+x2)dy=0的通解
解:
原方程变形为x(y2+1)dx+y(1+x2)dy=0
分离变量
两端积分
即:
(1+x2)(1+y2)=c
例3已知f/(x)=1+x2,且f(0)=1,求f(x)(解初值问题)
解:
分离变量df(x)=(1+x2)dx
两端积分
因f(0)=1,即1=0+c,所以c=1
故
例4求的通解(奇次方程,变量替换)
解:
方程变形为代入前式,化简得,两端积分得
例5求的通解(一阶非齐次方程,化成一般形式)
解:
法一(公式法)因
所以
法二(常数变易用法)由y/+xy=0得
两端积分
设原方程的通解为,则
代入原方程得
即
所以,通解为
例6设曲线y=f(x)上任意一点(x,y)处的切线斜率为,且该曲线经过点,求
(1)求曲线y=f(x)
(2)求曲线y=f(x),y=o,x=1所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积。
解:
(1)由题意知
所以
由
(2)
例7设函数y=f(x)由微分确定,求
(1)函数y=f(x)的表达式
(2)讨论函数y=f(x)在(0,+∞)内的单调性
解:
(1)方程化为,则
由
(2)因在(0,+∞)内
故在(0,+∞)内的单调增加。
例8设f(x)为连续函数,且由所确定,求f(x).
解:
两端同时求导得xf(x)=2x+f/(x),记y=f(x),上式变为
y/-xy=-2x,
所以
当x=0时,
代入得c=-2,故(初始条件不明显,可取上限x=0)
例9求y//+y/-2y=0的通解
解:
特征方程为r2+r-2=0,解得r1=1,r2=-2(r1≠r2)
所以通解为
例10求y//+2y=0的通解
解:
特征方程为r2+2=0,解得(无)
所以通解为
例11求y//+y/=0的通解
解:
特征方程为r2+r=0,解得r1=0,r2=-1(r1≠r2)
所以通解为
例12求以y=(c1+c2x)ex为通解的二阶线性常系数齐次微分方程。
解:
法一:
由y=(c1+c2x)ex知其特征根为重根r=1,相应的特征方程为,即r2-2r+1=0,从而知其对应的微分方程为:
y//-2y/+y=0
法二:
因y=(c1+c2x)ex……
(1)
y/=c2ex+(c1+c2x)ex……
(2)
y//=2c2ex+(c1+c2x)ex……(3)
(3)-
(2)×2+
(1),消去c1,c2得y//-2y/+y=0
例13已知二阶线性常系数齐次方程的两个特解为y1=ex,y2=e2x,求相应的微分方程。
解:
由y1=ex及y2=e2x可知,原方程必有特征根r1=1,r2=2,故特征方程为(r-1)(r-2)=0,即r2-3r+2=0,所求的微分方程为:
y//-3y/+2y=0
例14求y//+y/-2y=e-x的通解(Qn(x)为x的零次方)
解:
对应的齐次方程的特征方程为r2+r-2=0,解得r1=1,r2=-2,所以,对应的齐次方程的通解为Y=c1ex+c2e-2x
因自由项f(x)=e-x,α=-1不特征根,取k=0,
故设(xkQn(x)e-x)
,代入原方程解得
所以,通解为
例15求微分方程y//+3y/=3x的通解
解:
对应的齐次方程的特征方程为r2+3r=0,解得r1=0,r2=-3,所以,对应的齐次方程的通解为Y=c1+c2e-3x,
因自由项f(x)=3x,r1=0是特征方程的单根,取k=1,故设(xkQn(x)代入原方程,得
2a+6ax+3b=3x,比较系数有:
2a+3b=0,6a=3,解得,因此
所以,通解为
例16求微分方程y//+2y/+y=xex的通解
解:
对应的齐次方程的特征方程为r2+2r+1=0,解得r1=r2=-1,所以,对应的齐次方程的通解为Y=(c1+c2x)e-x
因自由项f(x)=xex,α=1不是特征根,取k=0,故设(xkQn(x)ex)
代入原方程整理得:
4Ax+4(A+B)=x,比较系数有:
4A=1,4(A+B)=0,解得,因此
所以,通解为:
例17求微分方程y///=e2x-cosx的通解
解:
对所给方程连续积分三次,得:
例18求y///=xex满足的特解。
解:
对所给方程连续积分三次,得:
例19求微分方程(1+x2)y//=2xy/的通解(不含y,为y//=f(x,y/)型,非常系数)
解:
设y/=p,则y//=p/,代入方程得
分离变量得:
y/=p=c1(1+x2)(取c1=±ec)
即dy=c1(1+x2)dx,两端同时积分得
例20求当的特解
(不含y,为y//=f(x,y/)型,常系数非齐次)
解:
设y/=p,则y//=p/,代入方程得
分离变量得:
所以:
由
故
例21求y//+y=x2+cox的通解
解:
自由项为两项之和,先求出其特解y1*和y2*,则y1*+y2*即为原方程的特解。
对应的齐次方程的特征方程为:
r2+1=0,解得r=±i
(1)求y//+y=x2的特解y1*
自由项为多项式,r1≠r2≠0,取k=0,令y1*=Ax2+Bx+C
y1*/=2Ax+B,y1*//=2A,代入y//+y=x2得2A+Ax2+Bx+C=x2,解得A=1,B=-2,C=0,故y1*=x2-2
(2)y//+y=cox的特解y2*
β=1为对应的齐次方程的单根,令y2*=Axcosx+Bxsinx,y2*/=Acosx-Axsinx+Bsinx+Bxcosx,y2*//=-Asinx-Asinx-Axcosx+Bcosx+Bcosx-Bxsinx=-2Asinx+2Bcosx-Axcosx-Bxsinx,代入y//+y=cox,得:
-2Asinx+2Bcosx=cosx,解得A=0,
故
又,对应的齐次方程的通解为:
Y=c1cosx+c2sinx
所以,原方程的通解为:
y=Y+y1*+y2*=x2-2++c1cosx+c2sinx
例22求微分方程xy/+y=ex满足初始条件的特解。
(05、20)
解:
方程变形为
所以
用代入,解得c=0
故特解为:
例23求微分方程y//+10y/+9y=e-x的通解(可看作Pn(x)=1)(05B、22)
解:
对应的齐次方程的特征方程为r2+10r+9=0,解得r1=-1,r2=-9,所以,对应的齐次方程的通解为Y=c1e-x+c2e-9x
因自由项f(x)=e-x,α=-1是特征方程的单根,故设
代入原方程,解得
故通解为:
例24微分方程y//+3y/=0的通解为(y=c1+c2e-3x)(05B、11)
R2+3r=0,r1=0,r2=-3
例25求微分方程x2y/=xy-y2的通解(06、17)(齐次方程)
解:
方程变形为:
,令,代入上式,化简得xu/=-u2,分离变量为两端积分得
所以通解为:
例20求微分方程xy/-y=2007x2满足初始条件的特解(07、18)
解:
法一原方程变形为:
所以
用代入,解得c=1
故特解为:
y=x(2007x+1)
法二:
原方程变形为:
其对应的齐次方程为:
,设原方程的通解为:
y=xc(x),y/=c(x)+xc/(x),代入原方程得c(x)+xc/(x)-c(x)=2007x,即c/(x)=2007,c(
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