高考数学绝对值不等式.docx
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高考数学绝对值不等式
第十二章 不等式选讲
第69讲 绝对值不等式
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:
(1)≤+.
(2)≤+.
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
≤c,≥c,+≥c.
2017·全国卷Ⅰ,23
2016·全国卷Ⅰ,24
2016·全国卷Ⅲ,24
2016·江苏卷,21(D)
解绝对值不等式是本部分在高考中的重点考查内容,其中以解含有两个绝对值的不等式为主.
分值:
5~10分
1.绝对值三角不等式
定理1:
如果a,b是实数,那么≤+,当且仅当__ab≥0__时,等号成立.
定理2:
如果a,b,c是实数,那么≤+,当且仅当__(a-c)(c-b)≥0__时,等号成立.
2.含绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式<a,>a的解集
不等式
a>0
a=0
a<0
<a
__{x|-a<x<a}__
__∅__
__∅__
>a
__{x|x>a或x<-a}__
__{x|x∈R且x≠0}__
__R__
(2)≤c(c>0)和≥c(c>0)型不等式的解法
①≤c⇔-c≤ax+b≤c;
②≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
1.思维辨析(在括内打“√”或打“×”).
(1)对≥-当且仅当a>b>0时等号成立.( × )
(2)对-≤当且仅当>时等号成立.( × )
(3)对≤+当且仅当ab≤0时等号成立.( √ )
(4)≤c的解等价于-c≤ax+b≤c.( √ )
(5)不等式+<2的解集为∅.( √ )
2.设ab<0,a,b∈R,那么正确的是( C )
A.> B.<+
C.< D.<
解析由ab<0,得a,b异号,
易知|a+b|<|a-b|,|a-b|=|a|+|b|,|a-b|>||a|-|b||,
∴C项成立,A,B,D项均不成立.
3.不等式1<<3的解集为( D )
A.(0,2) B.(-2,0)∪(2,4)
C.(-4,0) D.(-4,-2)∪(0,2)
解析1<|x+1|<3⇔1<x+1<3或-3<x+1<-1⇔0<x<2或-4<x<-2.
4.不等式|2x-1|<2-3x的解集是( C )
A. B.
C. D.
解析|2x-1|<2-3x⇔3x-2<2x-1<2-3x⇔⇔⇔x<.
5.若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为__(5,7)__.
解析由|3x-b|<4得-4<3x-b<4,即<x<,
∵不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,
则⇒∴5<b<7.
一 绝对值不等式的解法
解含绝对值的不等式时,若两个绝对值中x的系数为1(或可化为1),可选用几何法或图象法求解较为简单.若x的系数不全为1,则选用零点分段讨论法求解,同时注意端点值的取舍.
【例1】解不等式|x-1|+|x+2|≥5.
解析将原不等式转化为|x-1|+|x+2|-5≥0,
令f(x)=|x-1|+|x+2|-5,
则f(x)=
作出函数的图象,如图所示.
由图可知,当x∈(-∞,-3]∪[2,+∞)时,y≥0,∴原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).
二 绝对值不等式的证明
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为普通不等式再证明.
(2)利用三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|进行证明.
(3)转化为函数问题,数形结合进行证明.
【例2】设a∈R,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1),若|a|≤1,求证:
|f(x)|≤.
证明方法一 ∵-1≤x≤1,∴|x|≤1.
又∵|a|≤1,∴|f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-|x|2+|x|=-2+≤.
方法二 设g(a)=f(x)=ax2+x-a=(x2-1)a+x.
∵-1≤x≤1,
当x=±1,即x2-1=0时,|f(x)|=|g(a)|=1≤;
当-1 ∵|a|≤1,∴-1≤a≤1, ∴g(a)max=g(-1)=-x2+x+1=-2+; g(a)min=g (1)=x2+x-1=2-. ∴-≤g(a)≤,∴|f(x)|=|g(a)|≤. 三 绝对值不等式的综合应用 对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便.形如y=|x-a|+|x-b|的函数只有最小值,形如y=|x-a|-|x-b|的函数既有最大值又有最小值. 【例3】已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|+a. (1)当a=0时,解不等式f(x)≥6; (2)若不等式f(x)≥3a2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围. 解析 (1)当a=0时,求得f(x)= 由f(x)≥6⇒x≤-1或x≥2. 所以不等式的解集是(-∞,-1]∪[2,+∞). (2)因为|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4. 所以f(x)min=4+a,要使f(x)≥3a2对一切实数x恒成立, 只要4+a≥3a2,解得-1≤a≤. 所以实数a的取值范围为. 【例4】(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围. 解析 (1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于 x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0. ① 当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解; 当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1; 当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1 所以f(x)≥g(x)的解集为. (2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2. 所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时,f(x)≥2. 又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f (1)之一, 所以f(-1)≥2且f (1)≥2,得-1≤a≤1. 故a的取值范围是[-1,1]. 1.解不等式|x+3|-|2x-1|<+1. 解析①当x<-3时,原不等式化为-(x+3)-(1-2x)<+1,解得x<10,∴x<-3. ②当-3≤x<时,原不等式化为(x+3)-(1-2x)<+1, 解得x<-,∴-3≤x<-. ③x≥,原不等式化为(x+3)-(2x-1)<+1,解得x>2,∴x>2. 故原不等式的解集为. 2.(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集; (2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围. 解析 (1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2, 解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为. (2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a, 当x=时等号成立,所以当x∈R时, f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.① 当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解. 当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2. 所以a的取值范围是[2,+∞). 3.(2018·陕西西安模拟)已知函数f(x)=|2x-1|,x∈R. (1)解不等式f(x)<|x|+1; (2)若对于x,y∈R,有|x-y-1|≤,|2y+1|≤,求证: f(x)<1. 解析 (1)f(x)<|x|+1⇔|x|-|2x-1|+1>0, 当x<0时,-x+(2x-1)+1>0,得x>0,∴无解; 当0≤x≤时,x+(2x-1)+1>0,得x>0,∴0 当x>时,x-(2x-1)+1>0,得x<2,∴ 故不等式f(x)<|x|+1的解集为{x|0 (2)证明: f(x)=|2x-1|=|2(x-y-1)+(2y+1)| ≤2|x-y-1|+|2y+1|≤2×+=<1. 4.已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围. 解析 (1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解; 当-1 当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2. 所以f(x)>1的解集为. (2)由题设可得f(x)= 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2. 由题设得(a+1)2>6,故a>2. 所以a的取值范围为(2,+∞). 易错点 不能正确处理好整体与个体的关系 错因分析: 先由已知求得x和y的取值范围,再代入求证,致使取值范围扩大造成错误. 【例1】已知<,<,求证: <. 证明设m(x+y)+n(2x-y)=x-y, 则解得 ∴=≤+<+=. 【跟踪训练1】(2016·江苏卷)设a>0,<,<,求证: <a. 证明因为|x-1|<,|y-2|<, 所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2×+=a. 课时达标 第69讲 [解密考纲]对本考点的考查以填空题和解答题为主,填空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等,解答题涉及含有两个绝对值的问题,难度中等. 1.已知f(x)=|x+1|+|x-2|,g(x)=|x+1|-|x-a|+a(a∈R). (1)解不等式f(x)≤5; (2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围. 解析 (1)f(x)=|x+1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-1和2对应点的距离之和,而-2对应点到-1和2对应点的距离之和正好等于5,3对应点到-1和2对应点的距离之和正好等于5,故不等式f(x)≤5的解集为[-2,3]. (2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立,即|x-2|+|x-a|≥a恒成立. 而|x-2|+|x-a|≥|(2-x)+(x-a)|=|a-2|, ∴(|x-2|+|x-a|)min=|a-2|, ∴|a-2|≥a, ∴a≤0或解得a≤1,故a的取值范围为(-∞,1]. 2.设f(x)=|x-1|+|x-a|. (1)若a=-1,解不等式f(x)≥3; (2)若对任意的x∈R,f(x)≥4,求实数a的取值范围. 解析 (1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|=其图象如下. 根据图象易得f(x)≥3的解集为. (2)由于f(x)=|x-1|+|x-a|=|x-1|+|a-x|≥|a-1|, 对任意的x∈R,f(x)≥4等价于|a-1|≥4, 解得a≥5或a≤-3, 故实数a的取值范围为(-∞,-3]∪[5,+∞). 3.已知函数f(x)=|x-2|-|2x-a|,a∈R. (1)当a=3时,解不等式f(x)>0; (2)当x∈(-∞,2)时,f(x)<0恒成立,求a的取值范围. 解析 (1)当a=3时,f(x)>0, 即|x-2|-|2x-3|>0, 等价于或或 解得1 ∴原不等式的解集为. (2)当x∈(-∞
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