概率论与数理统计课后习题全解.docx
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概率论与数理统计课后习题全解
概率论与数理统计课后习题(1-4单元)
第一单元
1.解:
(1)A1∪A2=“前两次至少有一次击中目标”;
(2)=“第二次未击中目标”;
(3)A1A2A3=“前三次均击中目标”;
(4)A1A2A3=“前三次射击中至少有一次击中目标”;
(5)A3-A2=“第三次击中但第二次未击中”;
(6)A3=“第三次击中但第二次未击中”;
(7)=“前两次均未击中”;
(8)=“前两次均未击中”;
(9)(A1A2)(A2A3)(A3A1)=“三次射击中至少有两次击中目标”.
3.解:
(1)
(2)
(3)ABC
(4)ABC
(5)
(6)
(7)
(8)(AB)(AC)(BC)
4.解:
(1)A=BC
(2)=
5.解:
设A=“从中任取两只球为颜色不同的球”,则:
6.解:
记A=“从中任取三件全为次品”,样本点总数为,A包含的样本点数为,所以
P(A)==1/4900
7.解:
(1)组成实验的样本点总数为,组成事件
(1)所包含的样本点数为,所以
P1=0.2022
(2)组成事件
(2)所包含的样本点数为,所以
P2=0.0001
(3)组成事件(3)所包含的样本点数为,所以
P3=0.7864
(4)事件(4)的对立事件,即事件A=“三件全为正品”所包含的样本点数为,所以
P4=1-P(A)=1-0.2136
(5)组成事件(5)所包含的样本点数为,所以
P5=0.01134
8.解:
(1)P(A)=
(2)因为不含1和10,所以只有2-9八个数字,所以
P(B)=
(3)即选择的7个数字中10出现2次,即,其他9个数字出现5次,即,所以
P(C)=
(4)解法1:
10可以出现2,3,…,7次,所以
解法2:
其对立事件为10出现1次或0次,则
P(D)=
(5)因为最大为7,最小为2,且2和7只出现一次,所以3,4,5,6这四个数要出现5次,即样本点数为,所以
P(E)=
9.证明:
∵A,B同时发生必导致C发生
∴ABC,即P(C)≥P(AB)
∵P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
∴P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)
∵P(A∪B)≤1
∴P(AB)≥P(A)+P(B)-1
∴P(C)≥P(A)+P(B)-1
上述得证。
10.证明:
因为P()=P()=1–P(AB)=1–P(A)–P(B)+P(AB)
因为P(A)=P(B)=1/2
所以P()=1–1/2–1/2+P(AB)
所以P()=P(AB)
11.解:
记“订日报的住户”为P(A),“订晚报的住户”为P(B),
根据题意,易知:
P(AB)=70%
则P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=40%+65%-70%=35%
答:
同时订两种报纸的住户有35%。
13.解:
解法1:
设=“取出的两只球中有黑球”;=“取出的两只球中有i只黑球”(i=1,2);
因为A1,A2互不相容,所以
;
解法2:
设=“取出的两只球中有黑球”;
15.解:
因为A、B互不相容,即AB=,
所以,
所以P(A)=P(A)
所以P(A/)=P(A)/P()==0.3/(1-0.5)=0.6
16.解:
P(B|A)=P(AB)/P(A)
因为P(A)=1-P()=1-0.3=0.7,
所以P(A)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.7-P(AB)=0.5
即P(AB)=0.2
又因为P(A)=P(A)+P()-P(A)=0.7+1-0.4-0.5=0.8
所以P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.25
17.解:
设“第三次才取到正品”为事件A,则
因为要第三次才取到正品,所以前两次要取到次品。
第一次取到次品的概率为,
第二次取到次品的概率为,
第三次取到正品的概率为。
即第三次才取到正品的概率为0.0083。
18.解法1:
设A,B,C分别为“第一,第二,第三个人译出”的事件,则:
P(A)=1/5P(B)=1/3P(C)=1/4
因为三个事件独立,
所以P(AB)=P(A)P(B)=1/15,P(AC)=P(A)P(C)=1/20,
P(BC)=P(B)P(C)=1/12,P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1/60,
所以P()=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=3/5
解法2:
设A=“至少有一人能译出”,则=“三个人均不能译出”,所以
19.解:
设P(A),P(B),P(C)分别为第一,二,三道工序不出废品的概率,
则,第一二三道工序均不出废品的概率为P(ABC),
因为各工序是否出废品是独立的,
所以P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
=0.90.950.8
=0.684
20.解:
根据题意:
该题为伯努利事件。
n=9,p=0.7,k=5,6,7,8,9
所求事件概率为
P=b(5,9,0.7)+b(6,9,0.7)+b(7,9,0.7)+b(8,9,0.7)+b(9,9,0.7)=0.901
21.解:
该题为伯努利事件。
(1)设事件A=“恰有2个设备被使用”,则:
P(A)=b(2;5,0.1)=0.12(1-0.1)5-2=0.0729
(2)设事件B=“至少有一个设备被使用”,
则=“没有一个设备被使用”,所以
P(B)=1-P()=1-b(0;5,0.1)=1–0.10(1-0.1)5-0=0.40951
22.解:
该题为全概率事件。
设=“从甲袋中取出两球中有i只黑球”,i=0,1,2,
B=“从乙袋中取出2球为白球”,则:
答:
再从乙袋中取出两球为白球的概率为。
23.解:
该题为全概率事件。
设=“敌舰被击中i弹”,(i=0,1,2,3),
B=“敌舰被击沉”,则:
根据题意P()=0.6×0.5×0.3=0.09
P()=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36
P()=0.4×0.5×0.3+0.5×0.7×0.6+0.4×0.7×0.5=0.41
P()=0.4×0.5×0.6=0.14
P(B∣)=0,P(B∣)=0.2,P(B∣)=0.6,P(B∣)=1
根据全概率公式有
即敌舰被击中的概率为0.458.
24.解:
设A1为“从2500米处射击”,A2为“从2000米处射击”,A3为“从1500米处射击”,B为“击中目标”,
由题知P(A1)=0.1,P(A2)=0.7,P(A3)=0.2
P(B|A1)=0.05,P(B|A2)=0.1,P(B|A3)=0.2
所以
所以,由2500米处的大炮击中的概率为
P(A1|B)=P(B|A1)P(A1)/P(B)=0.005/0.115=0.0435
25.解:
设事件A1为“原发信息是A”,事件A2为“原发信息是B”,
B为事件“接收到的信息为A”,则:
26.解:
(1)设在n个指定的盒子里各有一个球的概率为P(A),
在n个指定的盒子里各有一个球的概率:
第一个盒子里有n个球可以放入,即有n种放法,第二个盒子里有n-1种放法……那么事件A的样本点数就是n!
,样本点总数是Nn ,所以
P(A)=
(2)设n个球落入任意的n个盒子里中的概率为P(B),因为是N个盒子中任意的n个盒子,所以样本点数为,所以
27.解:
设A=“该班级没有两人生日相同”,则:
28.解:
(1)因为最小号码是5,所以剩下的两个数必须从6,7,8,9,10五个数中取,所以样本点数为,样本点总数为,
所以
(2)因为最大号码是5,所以剩下的两个数必须从1,2,3,4五个数中取,所以样本点数为,样本点总数为,所以
(3)因为最小号码小于3,所以
若最小号码为1,则剩下的两个数必须从2-10九个数中取,所以样本点数为,样本点总数为;
若最小号码为2,则剩下的两个数必须从3-10八个数中取,所以样本点数为,样本点总数为,
所以
29.解:
(1)设“恰好第三次打开门”为事件A,则
(2)设A=“三次内打开门”,A1=“第一次打开”,A2=“第二次打开”,A3=“第三次打开”,则:
30.解:
设A=“已有一个女孩”,B=“至少有一个男孩”,则
P(B/A)=P(AB)/P(A)=(6/8)/(7/8)=6/7
31.解:
设A1=“取一件为合格品”,A2=“取一件为废品”,B=“任取一件为一等品”,则
32.解:
甲获胜乙获胜
第一局:
0.20.80.3第二局:
0.80.70.20.80.70.80.3
第四局:
…………
所以获胜的概率P1为:
所以乙获胜的概率P2为:
因为P1+P2=1,,所以:
.
33.解:
设事件A0为“笔是从甲盒中取得的”,事件A1为“笔是从乙盒中取得的”,事件A2为“笔是从丙盒中取得的”;事件B为“取得红笔”,则:
34.解:
Ai为三个产品中不合格的产品数(i=0,1,2,3),A0、A1、A2、A3构成完备事件组,B为“能出厂”,则:
,
P(B/A0)=(0.99)3,P(B/A1)=(0.99)20.05,
P(B/A2)=(0.99)(0.05)2,P(B/A3)=(0.05)3
P(B)=P(B/A0)P(A0)+P(B/A1)P(A1)+P(B/A2)P(A2)+P(B/A3)P(A3)=0.8629
35.解:
图a:
设A为“系统正常工作”,A为“第一条线路不发生故障”,A为“第二条线路不发生故障”,则:
P(A1)=P(A2)=P,P(AA)=P(A)P(A)=p6
P(A)=P(AA)=P(A)+P(A)-P(AA)=2p-p
图b:
设B为“系统正常工作”,B1为“1正常工作”,B2为“2正常工作”,B3为“3.正常工作”,则:
P(B1)=P(B2)=P(B3)=2p-p
P(B)=P(B1B2B3)=P(B1)P(B2)P(B3)=(2p-p)=8p-12p+6p-p
P(B)-P(A)=6p-12p+6p(p=0.9)>0
B系统正常工作的概率大。
36.解:
设事件A为计算机停止工作,则为计算机正常工作,则:
P()=(1-0.0005)2000=0.99952000
P(A)=1-P()=1-0.99952000=0.6322
第二单元
1设Ω为某一随机试验的样本空间,如果对于每一个样本点ω∈Ω,有一个实数X(ω)与之对应,这样就定义了一个Ω上的实值函数X=X(ω),称之为随机变量。
随机变量的定义域是样本空间,也就是说,当一个随机试验的结果确定时,随机变量的值也确定下来。
因此,如不与某次试验联系,就不能确定随机变量的值。
所谓随机变量,实际上是用变量对试验结果的一种刻画,是试验结果(即样本点)和实数之间的一个对应关系,不过在函数概念中,函数f(x)的自变量是实数x,而在随机变量的概念中,随机变量的自变量是试验结果(即样本点)。
随机变量的取值随试验结果而定。
2解:
(1)第一次取得次品,即:
取出0件正品,可表示为{X=0}
(2)最后一次取得正品就是已取出9件正品,即{X=9}
(3)前五次都未取得次品,就是至少已取出5件正品,即{X5
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- 概率论 数理统计 课后 习题