最新高中数学三角函数优秀名师资料文档格式.docx
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正弦线:
倒数关系:
tanα?
cotα=1正弦:
sinα=y/r余弦:
cosα=x/rsinα?
cscα=1cosα?
secα=1余弦线:
正切:
tanα=y/x余切:
cotα=x/y商数关系:
sinα/cosα=tanα正割:
secα=r/x余割:
cscα=r/ycosα/sinα=cotα正切线:
22平方关系:
sinα+cosα=1各象限的符号:
22221+tanα=secα1+cotα=cscα一全二正弦,三切四余弦
诱导公式口诀:
奇变偶不变,符号看象限重点:
与α三角函数值之间的关系正弦函数图像:
余弦函数图像:
正切函数图像:
正弦型函数y,Asin(,x,,)三角函数图像变换:
平移:
对称:
f(x),b,f(x),f(x,a)f(,x),f(x),,f(x)振幅、初相、相位、最值点、单调性、奇偶性、对称翻折:
伸缩:
af(x),f(x),f(bx)f(|x|),f(x),|f(x)|性、周期性、图像变换
和角公式:
差角公式:
倍角公式:
222,,,,,,,,,,,,,,,,cos(,),coscos,sinsincos(,),coscos,sinsincos2,cos,sin,1,2sin
2,,,,,,,,,,,,sin(,),sincos,cossin,sin(,),sincos,cossin,2cos,1,,,,tan,tantan,tan,,,sin2,2sincos,,,,tan(,),tan(,),,,,,1,tantan1,tantan,2tan,tan2,2tan,,tan,,tan(,,,)(1,tan,tan,)tan,,tan,,tan(,,,)(1,tan,tan,)1,tan,
合一(辅角)公式:
常见辅角公式:
半角公式:
22,1,,cossinx,cosx,2sin(x,)asin,,bcos,,a,bsin(,,,)升幂公式:
降幂公式:
说明:
sin,,4222其中:
,,1,sin2,(sin,cos)其他的公式,诸如积化和差、2,,,,,1,,cos,,,(sincos)1sin2sinx,3cosx,2sin(x,)cos,,bbb2,,,1,sin2,(sin,cos),,,和差化积、万能公式、三倍角公式sin,,cos,,tan,223,sin22222a,,a,ba,b,sincos2,1,cos,1,sin,cos,,,,不需掌握,如果有能力的同学可以1,cos2,2cos2tan,,,,3sinx,cosx,2sin(x,)21,cos,cos,1,sin,θ的象限有点(a,b)的象限一致2,,,,1cos21cos2622试着研究掌握.1,cos2,,2sin,,,sin,cos,,22
边边关系边角关系角角关系
直角;
;
三角函数:
A,B,90cosA,sinB,b/csinA,cosB,a/c222勾股定理:
c,a,b三角形sinc,1;
cosC,0;
tanC不存在tanA,cotB,a/bo任两边之和大于第三边A,B,a,b,A,B,a,bA+B+C=180
任两边之差小于第三边A,B,a,b外角等于不相邻内角之和
余弦定理:
sin(A,B),sinCabc正弦定理:
,,2RsinAsinBsinC222cos(A,B),,cosCa,b,c,2bccosA
变形公式:
tan(A,B),,tanC222b,a,c,2accosBc,2RsinC1、a,2RsinA;
b,2RsinB;
sin(2A,2B),,sin2C222一般c,a,b,2abcosCabccos(2A,2B),cos2C2、;
sinA,sinB,sinC,三角2R2R2R变形公式:
tan(2A,2B),,tan2C222形bca,,a:
b:
c,sinA:
sinB:
sinC3、A,BCA,BCcosA,;
cos(),sinsin(),cos2bc2222222a,b,A,B,sinA,sinB4、acb,,A,BCcosB,tan(),cot2ac22asinB,bsinAasinC,csinA5、,222abc,,bsinC,csinBcosC,2ab
?
已知两角和任一边?
已知两个角的函数值,求第三角解决?
已知两边和夹角?
化简关系式?
已知两边和其中一边的对角?
已知三边要点
角平分线定理:
中线长定理:
射影定理:
(内角平分线定理),ABC,ABC在中,AD为BC边上的在中,AD为BC边上的高,则,A,ABC在中,的平分线AD与边中线,则有有2222AB,AC,2(AD,BD)补充BDABBC相交于点D,求证:
a,bcosC,ccosBDCAC定理b,acosC,ccosA练习:
(外角平分线定理)c,acosB,bcosA,A,ABC在中,的外角平分线AD与
BDAB边BC相交于点D,求证:
DCAC
和角差角公式:
二倍角公式:
面积关系:
11,,,,,,,,,sin
(2),2sincossin(,),sincos,cossinS,bcsinA,,acsinB,ABC22常用22,,,,,,,,,cos(,),coscos,sinsincos
(2),1,2sin,2cos,11,absinC,p(p,a)(p,a)(p,c)公式,,,2tantan,tan2,tan
(2),,,tan(,),21,tan,1,tan,tan,
A,ABC在中,已知和,确定解的个数:
a,b
AAA为钝角为直角为锐角
三角a,b一解一解一解
形解a,b无解无解一解
得情a,ba,bsinA无解无解两解
况a,bsinA一解
a,bsinA无解
三角函数定义、图像和性质复习题
一、选择题
4534221.已知tanθ,2,则sinθ,sinθcosθ,2cosθ等于()A(,B.C(,D.3445
3π4β1031010310,,π,2(若cos(α,β)cosα,sin(α,β)sinα,,,又β?
则cos的值为AB(C(,D(,,2,5210101010
3.先将函数的图像向右平移个单位长度,再将所得图像作关于y轴的对称变换,那么与最后y,sin2x3
所得图像对应函数的解析式是()
2,,,2,A.y,sin(,2x,)B.y,sin(,2x,)C.y,sin(,2x,)D.y,sin(,2x,)3333
,2y,Asin(x,)(A,0,,0,,)4.函数的最小值是,其图像相邻的两个最高点和最低点的横,,,,2
坐标的差是3,,又图像经过点,则这个函数的解析式是()(0,1)
22,1,,1,A.y,2sin(x,)B.y,2sin(x,)C.y,2sin(x,)D.y,2sin(x,)36363636
5(已知函数f(x),3sinωx,cosωx(ω>
0),y,f(x)的图象与直线y,2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)
的单调递增区间是()
π5π5π11ππππ2π,,,,,,,,kπ,,kπ,kπ,,kπ,kπ,,kπ,kπ,,kπ,,k?
ZB.,k?
ZC.,k?
ZD.,k?
ZA.,1212,,1212,,36,,63,6(点P是函数f(x),cosωx(其中ω?
0)的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离最小值
是π,则函数f(x)的最小正周期是()A(πB(2πC(3πD(4π
ππ,,,,2x,2x,7(为了得到函数y,sin的图象,只需把函数y,sin的图象()36,,,,
ππππA(向左平移个长度单位B(向右平移个长度单位C(向左平移个长度单位D(向右平移个长度单位4422
221,k1,kkk8(记cos(,80?
),k,那么tan100?
()A.D(,B(,C.22kk1,k1,k
π4π243,,ωx,9(设ω>
0,函数y,sin,2的图象右平移个单位后与原图象重合则ω的最小值A.B.C.D(3,3,333210(下列函数中,最小正周期为π的偶函数是()
21,tanxxA.y,sin2xB.y,cosC.y,sin2x,cos2xD.y,221,tanx
11(设函数y,cos(sinx),则()A.它的定义域是,,1,1,B.它是偶函数
C.它的值域是,,cos1,cos1,D.它不是周期函数12(把函数y,cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的两倍,然后把图
π象向左平移个单位.则所得图象表示的函数的解析式为()4
πxπA.y,2sin2xB.y,,2sin2xC.y,2cos(2x,)D.y,2cos(,)424
ππ2π4π13(函数y,2sin(3x,)图象的两条相邻对称轴之间的距离是()A.B.C.πD.4333
14(若sinα,cosα,m,且,2?
m,,1,则α角所在象限是()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3π15(函数y,|cotx|?
sinx(0,x?
且x?
π)的图象是()2
2cosx16(设y,,则下列结论中正确的是()1,sinx
A.y有最大值也有最小值B.y有最大值但无最小值C.y有最小值但无最大值D.y既无最大值又无最小值
π17(函数y,sin(,2x)的单调增区间是()4
3πππ5πA.,kπ,,kπ,,(k?
Z)B.,kπ,,kπ,,(k?
Z)8888
π3π3π7πC.,kπ,,kπ,,(k?
Z)D.,kπ,,kπ,,(k?
1218(已知0?
x?
π,且,,a,0,那么函数f(x),cosx,2asinx,1的最小值是()2
A.2a,1B.2a,1C.,2a,1D.2a
π19(求使函数y,sin(2x,θ),3cos(2x,θ)为奇函数,且在,0,,上是增函数的θ的一个值为4
5π4π2ππ()A.B.C.D.3333
20(已知函数f(x),(sinx,cosx)sinx,x?
R,则f(x)的最小正周期是_____(
21.y,sin(ωx,φ)(ω>
0,,π?
φ<
π)的图象如图,则φ,________.
2222(函数f(x),3cosx,sinx的图象相邻的两条对称轴之间的距离是___________(55
23(函数f(x),sinx,2|sinx|,x?
[0,2π]的图象与直线y,k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是(
π,,,x24(已知函数f(x),2sinx,g(x),2sin,直线x,m与f(x),g(x)的图象分别交M、N两点,则|MN|的,2,
最大值为________(
cosxcosx25(函数y,的值域是__________.12(函数y,的定义域是_________.1,2cosxlg(1,tanx)
26(如果x,y?
0,π,,且满足|sinx|,2cosy,2,则x,___________,y,___________.27(已知函数y,2cosx,x?
0,2π,和y,2,则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是
_____________15(函数y,sinx,cosx,sin2x的值域是_____________.
π28(关于函数f(x),4sin(2x,)(x?
R)有下列命题:
由f(x),f(x),0可得x,x必是π的整数倍;
y12123
ππ,f(x)的表达式可改为y,4cos(2x,);
y,f(x)的图象关于点(,,0)对称;
y,f(x)的图象关于直线66
πx,,对称.其中正确的命题的序号是_____________.6
ππ1112,,,,,φ,29(已知函数f(x),sin2xsinφ,cosxcosφ,sin(0<
π),其图象过点.,2,,62,22
1
(1)求φ的值;
(2)将函数y,f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y,g(x)的图2
π,,0,象,求函数g(x)在上的最大值和最小值(,4,
π30(函数y,Asin(ωx,φ)(A>
0,ω>
0,|φ|<
)的一段图象如图所示(
(1)求函数y,f(x)的解析式;
(2)将函数y2
π,f(x)的图象向右平移个单位,得到y,g(x)的图象,求直线y,6与函数y,f(x),g(x)的图象在(0,π)内4
所有交点的坐标(
π31(已知向量a,(cosα,sinα),b,(cosβ,sinβ),c,(,1,0)(
(1)求向量b,c的模的最大值;
(2)设α,,4且a?
(b,c),求cosβ的值(
32(如图为函数y,Asin(ωx,φ)(A,0,ω,0)的图象的一部分,试求该函数的一个解析式.
2233(已知函数y,(sinx,cosx),2cosx.(x?
R)
(1)当y取得最大值时,求自变量x的取值集合.
(2)该函数图象可由y,sinx(x?
R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到,
34(已知函数f(x),(sinx,cosx)
(1)求它的定义域和值域;
(2)求它的单调减区间;
log1
2
(3)判断它的奇偶性;
(4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的一个周期.
35(某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠(如图),为降低成本,必须尽量减少水与水渠壁的接触面.
若水渠横断面面积设计为定值m,渠深3米,则水渠侧壁的倾斜角α应为多少时,方能使修建的成本
最低,
3π36(已知函数f(x),sin(ωx,φ)(ω,0,0?
φ?
π)是R上的偶函数,其图象关于点M(,0)对称,且在区4
π间,0,,上是单调函数,求φ和ω的值.2
三角函数恒等变换练习题
13231.的值等于()A(B(C(D(计算sin43cos13-sin13cos432322,,1,tan112,22(,2,则cot(,)的值()A.B.C.D.,,,421,tan2
22,cos2,sin13(化简的结果是()A.cos1B.sin1C.3cos1D.,3cos1
57,,,,4(若,,,则的值为()1,sin,,1,sin,,,,22,,
,,,.2sin.2sinA.B.,2cosC,D2cos2222
1177cos22,,5(若,则cossin,,,的值为()A(B(C(D(,,,2222π2,,,sin,,,4,,
013sin70,236.=()A.B.C.2D.202222cos10,
431,,,,,,,,7.已知=cos,(,),tan,(,),cos(),,,,,,,,,5232
,3123,,,,cos(,),,sin(,),,,,,,,,sin2,8.
(1)已知:
,求的值.24135
41cos,,tan(,),,,,,9.已知为锐角,,求的值,、,cos,53
11sin,sin,,,cos,cos,,,,,10.已知:
,求的值(cos(,,,)32
,2,,(,,)tan,11.已知、是方程x,33x,4,0的两根,且,求的值.tan,,,,,,22
2,,,sin2,cos1tan(,),12.已知,,
(1)求的值;
(2)求的值.tan,421,cos2,
,,,12已知sin(,,2),sin(,,2),,,,(,),求2sin,,tan,,cot,,1的值.13.44442
,226sin,sincos,2cos,0,,[,],求sin(2,)14.已知的值.,,,,,,,23
15.求值:
,2cos10,sin20,,cos40(1,3tan10)
(1)
(2),cos20
23177sin2x,2sinx,,,,,cos,16.若,x,,x,,求的值.,,451241,tanx,,
33,,,,,,cos,cos(2,),,,,17.已知,求的值.,,,,,44522,,
43cos,,cos(,),,,,18.已知,且、均为锐角,求(,sin,,55
2,1sin22sinxx,19.已知,,,,,(`)求sincosxx,
(2)求xxx0,sincos251tan,x
1,cosx,sinx1,cosx,sinx,fx,,,,且x,2k,,k,Z?
化简?
是否存在,使20.已知,,fxx,1,sinx,cosx1,sinx,cosx2
x21tan,x2,,得tan,fx与相等,若存在,求的值;
若不存在,请说明理由。
x2sinx
x,20,,x已知,化简:
.21.lg(costan12sin)lg[2cos()]lg(1sin2)xxxx,,,,,,,222
π1,,x,R22.已知函数,的最大值是1,其图像经过点(
(1)M,fxAxA()sin()(00,,,,,,,,π),,32,,
π312,,,,,,f()求的解析式;
(2)已知,,,且,f(),求的值(,,,0fx()f(),,,,,5132,,
a,(sin,,,2)b,(1,cos,),(0,)23.已知向量与互相垂直,其中(,2
10,sin,cos,cos,
(1)求和的值;
(2)若,求的值(,,,,sin(),0,,,102
三角函数高考题分类归纳
一(求值
osin330:
1、===tan690?
sin585
12sin,,2、
(1)(07全国?
)是第四象限角,,则,,,cos13
4cos,,
(2)(09北京文)若,则.,,,,,sin,tan05
12cosA,(3)(09全国卷?
文)已知ABC中,,则.?
cotA,,5
1,5sin(,),(4)是第三象限角,,则==,,cos(,,)cos,,22
(5)(08浙江理)若则=.cos,,2sin,,,5tan,
5443
(1)(07陕西)已知则=.,,sin,sincos,,,5
3,
(2)(04全国文)设,(0,),若sin,,,则2cos(),=.,,542
3,(3)(06福建)已知则=,,tan(),(,),sin,,,,,425
34(07重庆)下列各式中,值为的是()2
222222sin15cos15:
:
(A)(B)(C)(D)cos15:
sin15:
2sin15:
1sin15:
,cos15:
5.
(1)(07福建)=sin15cos75cos15sin105,
oooo
(2)(06陕西)=cos43cos77sin43cos167,
(3)。
sin163sin223sin253sin313,,
16.
(1)若sinθ,cosθ,,则sin2θ=5
3
(2)已知,则的值为sin2x,,sin()x45
,sin,costan,,26‘若,则=sin,,cos,
tan2,7.(08北京)若角的终边经过点,则==,cos,P(12),,
,3||,,8((07浙江)已知,且,则tan,,,cos(),,222
cos22,cossin,,,9.若,则=,,π2,,,sin,,,4,,
10.(09重庆文)下列关系式中正确的是()
000000A(B(sin11cos10sin168,,sin168sin11cos10,,
000000C(D(sin11sin168cos10,,sin168cos10sin11,,
(二)最值
1.(09福建理)函数最小值是=。
fxxx()sincos,
2.?
(08全国二)(函数的最大值为。
f(x),sinx,cosx
?
(08上海)函数f(x),3sinx+sin(+x)的最大值是2
(09江西理)若函数,,则的最大值为fxxx()(13tan)cos,,0,,xfx()23.(08海南)函数的最小值为最大值为。
fxxx()cos22sin,,
,,,24.(08湖南)函数在区间上的最大值是fxxxx()sin3sincos,,,,,42,,
25.(09上海理)函数yxx,,2cossin2的最小值是.
,,,,26((06年福建)已知函数在区间上的最小值是,则的最小值等于,fxx()2sin(0),,,,,,,,34,,
2,2sin1x,,,7.(08辽宁)设,则函数的最小值为(x,0,y,,,2sin2x,,
(三)单调性
y,2sin(,2x)(x,[0,,])1.(04天津)函数为增函数的区间是()6
,,7,,5,5[0,][,][,][,,]A.B.C.D.63361212
,,,33,,,,,,,,,,,yx,sin2.函数的一个单调增区间是()A(B(C(D(,,,,2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
fxxxx()sin3cos([,0]),,,,,3.函数的单调递增区间是()
5,5,,,,A(,,B(,,C([,0],D([,0],[,][,],66366
,,4((07天津卷)设函数,则在区间()fx()fxxx()sin(),,,R,,3,,
,,5,,,,,,,,27,,,,,,,,A(上是增函数B(上是减函数C(上是增函数D(上是减函数,,,,,,,,,,,2343636,,,,,,,,
,,,3,,2yx,2cos(,),(0,)(,)5.函数的一个单调增区间是()A(B(C(D((,),244244
(四)周期性
1((07江苏卷)下列函数中,周期为的是()2
xxy,siny,cosA(B(C(D(yx,sin2yx,cos424
,,,,,02.(08江苏)的最小正周期为,其中,则=fxxcos,,,,,,,,56,,
x3.(04全国)函数的最小正周期是().y,|sin|2
4.
(1)(04北京)函数的最小正周期是.f(x),sinxcosx
2y,2cosx,1(x,R)
(2)(04江苏)函数
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