江苏省扬州市届高三上学期期中考试数学试题Word版含答案.docx
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江苏省扬州市届高三上学期期中考试数学试题Word版含答案.docx
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江苏省扬州市届高三上学期期中考试数学试题Word版含答案
江苏省扬州市2020届高三上学期期中考试
数学试题
(满分160分,考试时间120分钟)
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.已知i为虚数单位,若复数z满足=1+i,则复数z=________.
2.函数y=的定义域为________.
3.已知x,y∈R,直线(a-1)x+y-1=0与直线x+ay+2=0垂直,则实数a的值为________.
4.已知函数f(x)为偶函数,且x>0时,f(x)=x3+x2,则f(-1)=________.
5.已知向量m=(1,a),n=(,3a+1).若m∥n,则实数a=________.
6.设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a=2,b=6,cosB=-,则角A的大小为________.
7.设实数x,y满足则3x+2y的最大值为________.
8.在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为1的点到焦点的距离为4,则该抛物线的准线方程为________.
9.已知条件p:
x>a,条件q:
>0.若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.
10.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1的一个焦点为(3,0),则双曲线的渐近线方程为__________.
11.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,则函数f(x)在[-π,0]上的单调增区间为________.
12.在△ABC中,AH是边BC上的高,点G是△ABC的重心.若△ABC的面积为+1,AC=,tanC=2,则(+)·(+)=________.
13.已知正实数a,b满足2a+b=3,则+的最小值是________.
14.已知函数f(x)=2x-x2,g(x)=lnx-ax+5(e为自然对数的底数,e≈2.718).对于任意的x0∈(0,e),在区间(0,e)上总存在两个不同的x1,x2,使得g(x1)=g(x2)=f(x0),则整数a的取值集合是__________.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
在△ABC中,已知·=||||,设∠BAC=α.
(1)求tanα的值;
(2)若cosβ=,β∈(0,),求cos(β-α)的值.
16.(本小题满分14分)
已知a∈R,函数f(x)=a-.
(1)若f(x)≤2x对x∈(0,2)恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当a=1时,解不等式f(x)≥2x.
17.(本小题满分15分)
在平面直角坐标系xOy中,已知直线x-3y-10=0与圆O:
x2+y2=r2(r>0)相切.
(1)若直线l过点(2,1)且截圆O所得的弦长为2,求直线l的方程;
(2)已知直线y=3与圆O交于A,B两点,P是圆上异于A,B的任意一点,且直线AP,BP与y轴相交于M,N点.判断点M,N的纵坐标之积是否为定值?
若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
18.(本小题满分15分)
江苏省园博会有一中心广场,南京园、常州园都在中心广场的南偏西45°方向上,到中心广场的距离分别为km、2km;扬州园在中心广场的正东方向,到中心广场的距离为km.现规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场,且将南京园、常州园、扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路(如图
(1)、
(2)).已知铺设每段鹅卵石路的费用(万元)与其长度的平方成正比,比例系数为2.设柏油路与正东方向的夹角,即图
(2)中∠COF为θ(θ∈(0,)),铺设三段鹅卵石路的总费用为y(万元).
(1)求南京园到柏油路的最短距离d1关于θ的表达式;
(2)求y的最小值及此时tanθ的值.
19.(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
+=1(a>b>0)的右准线方程为直线x=2,且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)假设直线l:
y=kx+m与椭圆C交于A,B两点.
①若A为椭圆的上顶点,M为线段AB中点,连结OM并延长交椭圆C于点N,且=,求OB的长;
②若原点O到直线l的距离为1,并且·=λ,当≤λ≤时,求△OAB的面积S的范围.
20.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=,g(x)=x2-2x.
(1)求f(x)在点P(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若关于x的不等式f2(x)+tf(x)>0有且仅有三个整数解,求实数t的取值范围;
(3)若h(x)=g(x)+4xf(x)存在两个正实数x1,x2,满足h(x1)+h(x2)-xx=0,求证:
x1+x2≥3.
(满分40分,考试时间30分钟)
21.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+1在矩阵对应的变换下得到的直线过点P(3,2),求实数k的值.
22.(本小题满分10分)
假定某人在规定区域投篮命中的概率为,现他在某个投篮游戏中,共投篮3次.
(1)求连续命中2次的概率;
(2)设命中的次数为X,求X的分布列和数学期望E(X).
23.(本小题满分10分)
如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,∠BCA=90°,AC=BC=AA1=A1C=2,平面ACC1A1⊥平面ABC.现以边AC的中点D为坐标原点,平面ABC内垂直于AC的直线为x轴,直线AC为y轴,直线DA1为z轴建立空间直角坐标系.
(1)求异面直线AB与A1C所成角的余弦值;
(2)求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值.
24.(本小题满分10分)
已知正项数列{an}满足an+1=an-a(n∈N*).求证:
(1)0 (2) 江苏省扬州市2020届高三上学期期中考试 数学试题参考答案及评分标准 1.3-i 2.(-∞,2] 3. 4.2 5.1 6. 7.3 8.x=-3 9.a≤-2 10.y=±x 11.(-3,0)(区间开闭皆可) 12.1 13. 14.{3,4,5,6,7} 15.解: (1)由·=||·||,得||·||cosα=||·||,所以cosα=. 因为0<α<π,所以sinα===. 所以tanα=.(6分) (2)因为cosβ=,β∈(0,),所以sinβ=.(8分) 由 (1)知sinα=,所以cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=×+×=.(14分) 16.解: (1)∵f(x)≤2x对x∈(0,2)恒成立,∴a≤+2x对x∈(0,2)恒成立. ∵+2x≥2,当且仅当=2x,即x=时取等号, ∴a≤2.(6分) (2)当a=1时,f(x)=1-,∵f(x)≥2x,∴1-≥2x (*). ①若x>0,则(*)可化为2x2-x+1≤0,∴x∈∅;(9分) ②若x<0,则(*)可化为2x2-x-1≥0,解得x≥1或x≤-.∵x<0,∴x≤-.(12分) 由①②可得,(*)式的解集为(-∞,-].(14分) 17.解: ∵直线x-3y-10=0与圆O: x2+y2=r2(r>0)相切, ∴圆心O到直线x-3y-10=0的距离r==.(2分) (1)记圆心到直线l的距离为d,∴d==2. 当直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=2,满足题意;(3分) 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+(1-2k)=0, ∴d==2,解得k=-,此时直线l的方程为3x+4y-10=0.(6分) 综上,直线l的方程为x=2或3x+4y-10=0.(7分) (2)设P(x0,y0).∵直线y=3与圆O交于A,B两点,不妨取A(1,3),B(-1,3), ∴直线PA,PB的方程分别为y-3=(x-1),y-3=(x+1). 令x=0,得M(0,),N(0,),则yM·yN=·= (*).(13分) ∵点P(x0,y0)在圆C上,∴x+y=10,即y=10-x,代入(*)式,得yM·yN==10为定值.(15分) 18.解: (1)∵∠COF=θ,南京园在中心广场的南偏西45°方向上,且到中心广场的距离为km, ∴∠AOE=-θ,∴d1=sin(-θ).(4分) (2)分别设点B,C到直线EF的距离为d2,d3.由 (1)知d2=2sin(-θ),d3=sinθ, ∴y=2{[sin(-θ)]2+[2sin(-θ)]2+(sinθ)2} =20 =20-10(sin2θ+cos2θ)=20-10sin(2θ+),θ∈(0,).(9分) ∵θ∈(0,),∴2θ+∈(,),∴当2θ+=时,ymin=20-10(万元).(12分) 此时2θ=,∴tan2θ==1,解得tanθ=-1.(14分) 答: 铺设三条鹅卵石路的总费用为(20-10)万元,此时tanθ的值为-1.(15分) 19.解: (1)因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形,所以a=c. 由右准线方程为直线x=2,得=2,解得a=,c=1, 所以b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(4分) (2)①设B(x1,y1),而A(0,1),则M(,). 因为=,所以N(,). 因为点B,N都在椭圆上,所以将②式两边同时乘以再减去①式,解得y1=,x=.(8分) 所以OB===.(9分) ②由原点O到直线l的距离为1,得=1,化简得1+k2=m2. 联立直线l的方程与椭圆C的方程得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,且Δ=8k2>0.(11分) 因为·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2 =(1+k2)-+m2====λ, 所以k2=. △OAB的面积S=×1×AB=|x1-x2|= ===.(14分) 因为S=在上为单调减函数,且当λ=时,S=,当λ=时,S=, 所以△OAB的面积S的范围是.(16分) 20. (1)解: 因为f(x)=,f (1)=0,所以P点坐标为(1,0). 又f′(x)=,f′ (1)=1,则切线方程为y-0=x-1, 所以函数f(x)在点P(1,f (1))处的切线方程为x-y-1=0.(3分) (2)解: f′(x)=(x>0). x (0,e) e (e,+∞) f′(x) + 0 - f(x) 单调递增 极大值 单调递减 由f2(x)+tf(x)>0,得f(x)[f(x)+t]>0. ①当t>0时,f(x)>0或f(x)<-t,满足条件的整数解有无数个,舍去; ②当t=0时,f(x)≠0,得x>0且x≠1,满足条件的整数解有无数个,舍去; ③当t<0时,f(x)<0或f(x)>-t,当f(x)<0时,无整数解; 当f(x)>-t时,不等式有且仅有三个整数解,又f(3)=,f (2)=f(4)=,f(5)=. 因为f(x)在(0,e)上递增,在(e,+∞)上递减, 所以f(5)≤-t 所以实数t的取值范围是- (3)证明: h(x)=x2-2x+4lnx. 因为h(x1)+h(x2)-xx=0, 所以x-2x1+4lnx1+x-2x2+4lnx2-xx=0, 即(x1+
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