解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法实验报告Word下载.docx
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RB=rank(B);
zhica=RB-RA;
D=det(A)
ifzhica>
0,
disp('
请注意:
因为RA~=RB,所以此方程组无解.'
)
return
end
ifRA==RB
ifRA==n
因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.'
)
X=zeros(n,1);
C=zeros(1,n+1);
forp=1:
n-1
[Y,j]=max(abs(B(p:
n,p)));
C=B(p,:
);
B(p,:
)=B(j+p-1,:
B(j+p-1,:
)=C;
fork=p+1:
n
m=B(k,p)/B(p,p);
B(k,p:
n+1)=B(k,p:
n+1)-m*B(p,p:
n+1);
b=B(1:
n,n+1);
A=B(1:
n,1:
n);
X(n)=b(n)/A(n,n);
forq=n-1:
-1:
1
X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:
n)*X(q+1:
n)))/A(q,q);
end
else
disp('
因为RA=RB<
n,所以此方程组有无穷多解.'
解方程组
(1)
在MATLAB工作窗口输入
>
A=[3.016.031.999;
1.274.16-1.23;
0.987-4.819.34];
b=[1;
1;
1];
[RA,RB,n,X]=liezhuY(A,b)
运行后输出结果为
因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.
D=-0.1225
RA=3RB=3n=3
X=397.8654
-157.6242
-123.1120
解方程组
(2)
>
A=[10-701;
-32.09999962;
5-15-1;
2102];
b=[8;
5.900001;
5;
[RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)
D=-762.0000
RA=4RB=4n=4
X=0.0000
-1.0000
1.0000
1.0000
LU分解法及MATLAB主程序为
functionhl=zhjLU(A)
[nn]=size(A);
ifRA~=n
因为A的n阶行列式hl等于零,所以A不能进行LU分解.A的秩RA如下:
'
),RA,hl=det(A);
ifRA==n
forp=1:
h(p)=det(A(1:
p,1:
p));
hl=h(1:
fori=1:
ifh(1,i)==0
因为A的r阶主子式等于零,所以A不能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下:
),hl;
RA
ifh(1,i)~=0
因为A的各阶主子式都不等于零,所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下:
forj=1:
U(1,j)=A(1,j);
fork=2:
fori=2:
forj=2:
L(1,1)=1;
L(i,i)=1;
ifi>
j
L(1,1)=1;
L(2,1)=A(2,1)/U(1,1);
L(i,1)=A(i,1)/U(1,1);
L(i,k)=(A(i,k)-L(i,1:
k-1)*U(1:
k-1,k))/U(k,k);
U(k,j)=A(k,j)-L(k,1:
k-1,j);
hl;
RA,U,L
h1=zhjLU(A)
运行输出结果为
D=9.8547
RA=3
U=3.01006.03001.9990
04.1600-2.0734
005.3016
L=1.000000
0.42191.00000
0.3279-1.63161.0000
h1=3.01004.8635-0.1225
RA=4
U=10.0000-7.000001.0000
02.10006.00002.3000
00-2.1429-4.2381
0-0.0000012.7333
L=1.0000000
-0.30001.000000
0.50001.19051.0000-0.0000
0.20001.14293.20001.0000
h1=10.0000-0.0000-150.0001-762.0001
(2)在MATLAB工作窗口输入
A(1,1)=3;
A(1,3)=0.990;
RA=3RB=3n=3
X=-4.0264
1.9193
1.5210
hi=3.00004.82199.8547
x=[397.8654;
-157.6242;
-123.1120]'
;
x1=[-4.0264;
1.9193;
1.5210]'
wucha=x1-x
wucha=-401.8918159.5435124.6330
(3)在MATLAB工作窗口输入
A(2,2)=2.1;
b(2,1)=5.9;
-1.0000
1.0000
h1=10.0000-0.0000-150.0000-762.0000
x=[0;
-1;
1]'
x1=[0;
wucha=0000
(4)解方程组
(1)
B=inv(A)
运行后结果为
B=-268.9293538.3418128.4529
106.7599-213.4281-50.9561
83.3992-166.8022-39.7090
x=inv(A)*b
x=397.8654
B=3.3424-6.1983-1.1705
-1.32692.74420.5020
-1.03652.06820.4893
x=-4.0264
B=-0.0223-0.09840.11810.1686
-0.1601-0.11810.14170.2690
0.01080.10630.0724-0.0755
0.10240.1575-0.18900.1969
x=0
0.01080.10630.0724-0.0755
x=-0.0000
1.0000
五、实验结果分析:
实验的数学原理很容易理解,也容易上手。
把运算的结果带入原方程组,可以发现符合的还是比较好。
这说明列主元消去法计算这类方程的有效性。
当A可逆时,能够将计算进行到底,列主元法就能确保算法的稳定,而且计算量不大。
直接三角消去过程,实质上是将A分解为两个三角矩阵的乘积A=LU,并求解Ly=b的过程。
回带过程就是求解上三角方程组Ux=y。
所以在实际的运算中,矩阵L和U可以直接计算出,而不需要任何中间步骤,从而在计算过程中将高斯消去法的步骤进行了进一步的简略,大大提高了运算速度,这就是三角分解法。
通过以上的计算比较,方程组
(1)具有严重的病态性。
当系数矩阵有微小的变化时,wucha=-401.8918159.5435124.6330,所得的解与原方程组的解有很大的相对误差。
方程组
(2)中当系数矩阵A和b有微小变化时,wucha=0000,所得的解与方程组的解没有相对误差。
所以方程组
(2)是良性的。
用MATLAB内部函数inv通过求逆矩阵,然后通过x=inv(A)*b也可以求出方程组的解,但是没有列主元高斯消去法具有良好的稳定性。
det函数求方程组系数矩阵的行列式时所得结果和高斯消去法和三角法所得结果相同,具有方便快捷的优点。
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