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③某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果有多少种?
其中是组合问题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
答案 C
4.从10名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数为________.
解析 不同选法种数即为从10个不同元素中取出3个元素的组合数C=120.
答案 120
类型一 组合概念的理解(互动探究)
【例1】判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话?
(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场次?
(3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法?
(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表,有多少种选法?
[思路探究]
探究点一 组合的特点是什么?
提示 组合的特点:
组合要求n个元素是不同的,被取出的m个元素自然也是不同的,即“从n个不同的元素中取出m个元素”.
探究点二 区分某一问题是组合问题与排列问题的关键是什么?
提示 关键是交换某两个元素的位置对结果是否产生影响,即与选取的顺序是否有关.
解
(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C=45.
(2)是组合问题,因为每两支球队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,没有顺序的区别,组合数为C=45.
(3)是组合问题,因为3个代表之间没有顺序的区别,组合数为C=120.
(4)是排列问题,因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的,排列数为A=720.
规律方法 排列、组合问题的判断方法
(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么,区分的标志是有无顺序.
(2)区分有无顺序的方法是:
把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新的变化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;
若无新变化,即说明无顺序,是组合问题.
【训练1】判断下列问题是组合还是排列,并用组合数或排列数表示出来.
(1)若已知集合{1,2,3,4,5,6,7},则集合的子集中有3个元素的有多少?
(2)8人相互发一个电子邮件,共写了多少个邮件?
(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?
有多少种不同的飞机票价?
解
(1)已知集合的元素具有无序性,因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关,是组合问题,共有C个.
(2)发邮件与顺序有关,是排列问题,共写了A个电子邮件.
(3)飞机票与起点站、终点站有关,故求飞机票的种数是排列问题,有A种飞机票;
票价只与两站的距离有关,故票价的种数是组合问题,有C种票价.
类型二 组合数公式的应用
【例2】
(1)计算:
C+C+C;
(2)求值:
C+C;
(3)解方程:
C=C.
解
(1)C+C+C=C+C=C=C=5050.
(2)由组合数定义知:
∴4≤n≤5,又∵n∈N*,∴n=4或5.
当n=4时,C+C=C+C=5;
当n=5时,C+C=C+C=16.
(3)由原方程及组合数性质可知
3n+6=4n-2,或3n+6=18-(4n-2),
∴n=2,或n=8,而当n=8时,
3n+6=30>18,不符合组合数定义,故舍去.
因此n=2.
规律方法
(1)公式C=
=,一般用于求值计算;
(2)公式C=(m,n∈N*,且m≤n),一般用于化简证明.在具体选择公式时要根据题目特点正确选择.
(3)根据题目特点合理选用组合数的两个性质C=C,C=C+C,能起到简化运算的作用,需熟练掌握.
【训练2】
(1)计算:
(2)求C+C的值;
(3)证明:
(1)解 C+C=C+C=+200=4950+200=5150.
(2)解 由组合数定义知:
即
∴≤n≤,
∵n∈N*,
∴n=10,
∴C+C=C+C=C+C=+31=466.
(3)证明 C=·
=
=C.
类型三 组合的简单应用
【例3】现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.
(1)现要从中选2名去参加会议,有多少种不同的选法?
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种?
(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?
解
(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即C==45(种).
(2)可把问题分两类情况:
第一类,选出的2名是男教师有C种方法;
第二类,选出的2名是女教师有C种方法.根据分类加法计数原理,共有C+C=15+6=21(种)不同选法.
(3)从6名男教师中选2名的选法有C种,从4名女教师中选2名的选法有C种,根据分步乘法计数原理,共有选法C×
C=×
=90(种).
规律方法 组合问题的一般解法:
(1)判断是否为组合问题;
(2)是否分类或分步;
(3)根据组合相关知识进行求解.
【训练3】一个口袋里装有7个白球和1个红球,从口袋中任取5个球.
(1)共有多少种不同的取法?
(2)其中恰有一个红球,共有多少种不同的取法?
(3)其中不含红球,共有多少种不同的取法?
解
(1)从口袋里的8个球中任取5个球,不同取法的种数是C=C==56.
(2)从口袋里的8个球中任取5个球,其中恰有一个红球,可以分两步完成:
第一步,从7个白球中任取4个白球,有C种取法;
第二步,把1个红球取出,有C种取法.
故不同取法的种数是:
C·
C=C=C=35.
(3)从口袋里任取5个球,其中不含红球,只需从7个白球
中任取5个白球即可,不同取法的种数是C=C==21.
[课堂小结]
1.排列与组合的联系与区别
(1)联系:
二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素.
(2)区别:
排列问题中元素有序,组合问题中元素无序.
2.关于组合数的计算:
(1)涉及具体数字的可以直接用公式C==计算;
(2)涉及字母的可以用阶乘式C=计算;
(3)计算时应注意利用组合数的性质C=C简化运算.
1.给出三个事件:
①10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种不同的分法;
②从1,2,3,…,9九个数字中任取3个,由小到大排列构成一个三位数,这样的三位数共有多少个;
③10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次,其中是组合问题的有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
答案 D
2.C+C的值为( )
A.72B.36C.30D.42
3.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m个不同的积;
任取两个不同的数相除,有n个不同的商,则m∶n=________.
解析 ∵m=C,n=A,∴m∶n=1∶2.
答案 1∶2
4.已知=,求正整数n的值.
解 已知可化简为+1=,
即C=C.
=,
整理得n2-3n-54=0,
解得n=9或n=-6(舍去),
所以n=9.
基础过关
1.已知平面内A,B,C,D这4个点中任何3点均不共线,则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )
A.3B.4C.12D.24
解析 C=4.
2.把三张游园票分给10个人中的3人,分法有( )
A.A种B.C种C.CA种D.30种
解析 三张票没区别,从10人中选3人即可,即C.
3.已知C=C,则x的值为( )
A.2B.6C.D.2或6
解析 由C=C知,x-2=2x-4或(x-2)+(2x-4)=12,解得x=2或x=6.
4.甲、乙、丙三位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有________种.
解析 甲选2门有C种选法,乙选3门有C种选法,丙选3门有C种选法.∴共有C·
C=96(种)选法.
答案 96
5.从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型和乙型电视机各1台,则不同的取法有________种.
解析 根据结果分类:
第一类,两台甲型机,有C·
C=30;
第二类,两台乙型机,有C·
C=40.根据分类加法计数原理,共有C·
C+C·
C=70.
答案 70
6.设x∈N*,求C+C的值.
解 由题意可得:
解得2≤x≤4,
∵x∈N*,∴x=2或x=3或x=4.
当x=2时原式的值为4;
当x=3时原式的值为7;
当x=4时原式的值为11.
∴所求的值为4或7或11.
7.直线x=1,y=x,将圆x2+y2=4分成A,B,C,D四个区域,用五种不同的颜色给他们涂色,要求共边的两区域颜色互异,每个区域只涂一种颜色,共有多少种不同的涂色方法?
解 第1步,涂A区域有C种方法;
第2步,涂B区域有C种方法;
第3步,涂C区域和D区域;
若C区域涂A区域已填过颜色,则D区域有4种涂法;
若C区域涂A、B剩余3种颜色之一,即有C种涂法,则D区域有C种涂法.故共有C·
(4+C·
C)=260种不同的涂色方法.
8.已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们进行一一测试,直至找出所有次品为止.
(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第十次测试才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?
(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?
解
(1)先排前4次测试,只能取正品,有A种不同的测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试,有C·
A=A种测法,再排余下4件的测试位置,有A种测法.所以共有不同测试方法A·
A·
A=103680(种).
(2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现.所以共有不同测试方法C·
(C·
C)A=576(种).
能力提升
9.某班级有一个7人小组,现任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案的种数有( )
A.35B.70C.210D.105
解析 先从7人中选出3人有C=35种情况,再对选出的3人相互调整座位,共有2种情况,故不同的调整方案种数为2C=70.
10.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A.243B.252C.261D.279
解析 所有三位数的个数为9×
10×
10=900.没有重复数字的三位数有CA=648,所以有重复数字的三位数的个数为900-648=252.
11.某餐厅供应饭菜,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上不同的选择,则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种.(结果用数值表示)
解析 设餐厅至少还需准备x种不同的素菜.
由题意,得C·
C≥200,
从而有C≥20.即x(x-1)≥40.
又x≥2,所以x的最小值为7.
答案 7
12.若对任意x∈A,则∈A,就称A是“具有伙伴关系”的集合,集合M=的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合个数为________.
解析 把-1,1,与3,与2看作4个元素,从这4个元素中任取1个,2个,3个,4个所得组合构成的集合即是满足条件的集合,所有具有伙伴关系的集合个数为C+C+C+C=15.
答案 15
13.第21届世界杯足球赛于2019年夏季在俄罗斯举办,共32支球队有幸参加,它们先分成8个小组进行循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛一场,各组一、二名晋级16强),这16支球队按确定的程序进行淘汰赛,最后决出冠、亚军,此外还要决出第三名、第四名,问这届世界杯总共将进行多少场比赛?
解 可分为如下几类比赛:
(1)小组循环赛:
每组有C=6(场),8个小组共有48场;
(2)八分之一淘汰赛:
8个小组的第一、二名组成16强,根据赛制规则,每两个队比赛一场,可以决出8强,共有8场;
(3)四分之一淘汰赛:
根据赛制规则,8强中每两个队比赛一次,可以决出4强,共有4场;
(4)半决赛:
根据赛制规则,4强每两个队比赛一场,可以决出2强,共有2场;
(5)决赛:
2强比赛1场确定冠、亚军,4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名,共有2场.综上,由分类加法计数原理知,共有48+8+4+2+2=64(场)比赛.
探究创新
14.规定C=,其中x∈R,m是正整数,且C=1,这是组合数C(n,m是正整数,且m≤n)的一种推广.
(1)求C的值;
(2)组合数的两个性质:
①C=C;
②C+C=C是否都能推广到C(x∈R,m是正整数)的情形;
若能推广,请写出推广的形式并给出证明,若不能,则说明理由.
解
(1)C==-C=-11628.
(2)性质①不能推广.例如,当x=时,C
有意义,但C
无意义;
性质②能推广,它的推广形式是C+C=C,x∈R,m为正整数.
证明:
当m=1时,有C+C=x+1=C;
当m≥2时,C+C=
==C.
综上,性质②的推广得证.
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