微积分基础阶段证明题及答案Word文档下载推荐.docx
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^<
U).∕(ΛX^(∕>
).址朗=存在WW(«
鼻)・使m=
IL设/<
J)<
iLU.AJ卜连续•在内可Mi>
HZ=fib)≡0.IiE^JtXJ任一女数上•存在一点c∙W(α.Λ).使/(<
Γ>
=h心.
L2.设“VSuh>
0•廉数/J)^rU.6J上辻续■住(“』》内可锻・H/Cu)■心\=0.证明=仔在一点ε∈3』〉•使上字=Z<
13.设不怕为席数的说數/(工)存闭区何S・"
|卜连錢•在开[乂间3・6》内可导・H/(U>
≡Λ*)∙iiE∣W∕k(u.∕n内。
少存在一点&
便得/(¢
)>
0.
14.C⅛kx)Λ∙-u-6jh连续W√⅛-uWZrJ内导-H.κ,(X>
√-0.>
R.Wis3c∈
(α∙A).便
/(g)-/(α>
_f(ξ)
fU)g<
α>
<
7?
)
15•设f(z)是处处可导的奇函数・证明,对任-6>
0.总存在(W<
-6.Δ)使
16.设∕<
x>
.r<
在[a.6]上连纯•在(S小内町导•证明’侔在一点FW("
)■
f<
a)/(&
∕J)Jj(ξ>
∕α)g<
Λ)
一\<
/<
4/
以“)/(F)
17.设Xl>
jγ2>
0.试证在XI⅛赴之间至少存在一点&
使
JrIe*r2—Hrerl=(1—ξ)el(x∣—x:
18.
设/(#)在[“•”」上连续∙7t(a.Λ〉内町导.O<
a<
Λ.求讪<
日£
€(a』>
•便
19.S∕(x)½
<
a.6)内町徴∙H甲函数厂(丹{t(d,6)内有界•证明『(工)在a
b)内有界.
20.Vt/("
血U]上连续•除比€34外∙∕Q)在(SZO内存在■且lim∕<
x)=Λ.求证ι∕z(x0)存⅛rft∕z(Jro)=A
—%
2L设Jr(F)4有连续的二阶导數・址明:
皿£
口叶¥
_上3-/(Z)J≡Iy-Fcr).
A-OhhZF
22.试证,奇碉数在za=O处的泰勒公式中小含有偶次#项•曲偶吸数则不含有奇次需顶•
23.设/(x+Λ)-f(τ)+A√(x+6ft)(0<
1>
又/(j∙)连续JrQ>
≠0∙证明Iin^=£
Λ→0Z
24.设/(x)⅛E[a∙Λ]E二阶可导■且/"
(丁》≤OfJl•心为[a∙A]1:
任JftfW点•试图用泰勒公式址明
/(上I+亠)>
/5)+/5)
25•设/Cr)在SB)内二次可做•且/(jγ>
O.求it,对于D∈{a9b>
9^≠才口•有
/(Jro)>
/(j)/"
*(xo)(xλ⅛)∙
26,设心在[0-1]上二次可Λ.fi∕(O)=/(1>
∙If{x}≤L
证明:
I/(x)≤I-fli∣M[0∙1]上成立•27.i£
∣U:
arctanXln(l+τ2)≥ψIn2*x∈[寺・1」・
巳知jγ>
0∙uE∣JI:
Jr~jγς<
In(I÷
jγ>
x.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
证明∙sin>
手H(O<
J<
y).
证明;
V-T>
0—>
2lnz.
证明:
VJ>
0JnJ≤1.
≥HrCtana+HrCtHnb(a∙b2>
0>
ISinUSinZi∣≤Iba为任实数.
S∕*(x)>
O(Z∈[“"
])•求证厂—1/(EcLrWfi"
兀£
1
设f(τ).fi(r)及它门的丫方在[^∙Λ]IeJ枳•试证明河殖一许瓦兹不奪式[∣/(τ>
g(τ>
cLrJ≤(I∕~(x)<
Lr)(J⅛r(x)<
lr)β
max
&
心在[“上可导•且/(α)=0∙证明
I/(x)cLr∙
【基础篇答案】
1・【解】/(j->
=T5+4√3JT1・5?
然/5)在(∞,4∞).b连续•冈/<
O>
=一I<
0√<
l)=1>
0.故方胖J(JC)=O在(OJ)内至少有一实恨.乂因/(-1>
=S>
0,故/(j)=0在(一1<
0>
内至少有一实根.
又lim./J)=-8•由极限性质¾
∣.3-r<
<
0.使/(.rc»
0.所以/(x)=OA(ZC∙-1)内至少有一实根.三次方押至多有三个实根•故方畏恰有三个实根.
2・【解】令∕J)=F∙则/3)址连续甬数然∙V"
0∙日儿使得/(Λ)>
α.爭实l>
fcl∣α>
1时•可取力=S当&
1吋•可取〃=1・而O=1时■有/(1>
=1.
命題自然成匚
于是•对Tα>
0.β≠l.4⅛,∕(0)<
α<
f<
b).应用连纯碉数的介仇定理可知■
3xq∈(QJf).使∕<
Xq>
=UV即Jri=a.这員聘对每*个正数Q∙郡有一个数HQ能
法足jt;
≡c.
3.【解】令八力-⅛∙7⅛÷
垄侧fGr)U<
U2)
U(2∙3)U(3.+∞)1:
连续∙rti于
棍据极限性质知•在区间(1∙2)内冇两点J∙ι.r2.fξt/(x1)∙/(x2)<
0ι在区间(2∙3)
内右网点小」∙⅛fcf<
τj•/(Tl)<
0.由连续雷数的石点行住定理知•葩数Λ-r)
在<
1,2)内至少有一个吝点•何且<
2,3)内也至少有一个零点・
4•【烟】令八丈>
=牛r+寮rU…件产“1・则/3在[XI]上连续•在(0.1)内可导•且/(0)≡/
(1)—0.rh罗尔定理.3τe(0∙i)∙便∕<
x)≡o.up
⅞+Qi十…一a■才"
=0.
5.【解】令JrQ)=出一占‘一&
一仁则/(z)建连续且仟盘次可做的而数•下而用反证法证明.
若方程/(X)=0冇4个IR•设为4<
XJ<
-Ty<
JΓ∣.分别A区间[上1∙aU.g]∙[4⅛∙片]卜对/(丁)IIW尔定理∙JW3[个点&
∙V&
V&
V
劝<
&
X∣∙便
八&
)=/^:
)-∕<
e.>
=0∙
又在区间[&
•&
]•[$•&
]上分别对西數/(χ)应川罗尔足理•則3φ.v,.ε∙VTh<
6j<
9⅛<
6.使
∕*(φ)=∕*(j^)=0
冉在m∙∕]卜对卜画数“八应用妙尔疋理∙m^E(71.7γ)∙便广(d但这与广(Q一卍>
0rt∣≠½
.凶此•方世/(j->
=0的根木不可能趙过三个.
6.【解】当(a.b)为有穷区何肘•设
fICJr).当zW3•爪时.F(j-)≡=-I-丄
[A.当.r=«
与办时♦
梵中ΛIim/"
)・显離∙F3在上连续•在SE)内可导•且F(α)FCΛ).由罗
—fc*O
尔定期知.3^<
ci∙*>
ftFf<
=/(¢
)=0<
若(“•"
)为:
t穷蒐间匸P⅛iftα■—R■I7.
刚作论换J=tan1(⅛<
Γ<
今),可将问题化为冇穷区何上的问题•这时・
对复合画数
χ(∕)≡/(tanf)
令•寻)便X«
“〉
=0・
在仃穷区间(y.y)内仿I前讨论町Ul.3G∈(see2rθ=0•其中ξ=t<
∣nKh由于sec'
fθ工0・故f(?
如果小有PH数"
=+oo∙iw可取仇>
ιmπιSO"
g=瞥乎•干比
对刼含Pfi数X"
)=屮一~)在自穷Kml也・九)t∕{⅛⅛⅛讨论・PJ)JltSrae<
«
Z—f
几)•便以"
0〉=r(w》•_=o∙其中W=号;
GY∈α∙+g)∙由此得
Z(e>
=o.
对α—00,6为命限数的怕i形可类似进行讨论.
7.【解】在毎一个闭区间匚氐B]■匚4•孔J•…—IYJ,∙∙∙[z∙—1・x二k«
•函SCm都满足罗尔定理的条件•故存往W个点
JrllllJ∖∈(.z1ITJrAXXr—1.2∙∙∙∙•丹)•便/∖.ι*)—O(Jfc=1^2<
∙∙∙.π>
FSi∙∕k毎—G闭区间X∙U"
=l∙2∙…」1)h.Rfil*∕(χ)iΛ⅛寥尔毎理的条件•因it
3TA∈<
x∖,jγ∖Xi=-1,2—门一1>
∙使
J=Oa=1,2,∙∙‰m1>
绅续上述步骤•经51>
次后•獅到一个区l⅛][j-Γ,.rΓ,lUOa•几)•满足
厂"
Gr;
>
=0(*-K2).T⅛Λ此区间I--PAtt∕s∙,1Cr)構足罗尔眾理的条件・故至少存在一点FE<
jT,^Γ,>
∙使JJyD=0・
【解】证法1设法找导函敎ff<
-r>
的畸个等值点”因/(工>
在[0・门上満足拉格0JH∙P值矩理的条件•故3e∣∈(0.C).使/'
($>
=°
∖111Tr点住张
AH上•故有
々二£
3曾-倍=∕(1>
-/(O),
C—U1—O
从而冇<
ft>
=/(D/(0)・
同理∙m冬€使fO-∕<
∣)-∕(0).iς≡^Z<
f.)=fg、・对函数
√(r>
在区KZ]上应用罗尔定18>
3e∈(&
■&
)Uw∙1)∙使Γ(ς>
=Oi
9・【解】作辅助Λtt^(x)=∕(j+d)/(x),WIISP(Z)在[0∙α]上连续•且卩(O)
—Ba)-/(0),^(α)—/(2α>
-f(a)—/(0)-/Xα)∙即有权0)•卩(α)V0・fħ介ft⅛定理知VFW[0.α].使φ{ζ)=O•即7<
^+α)=/("
】0・【解】对函数Fa)-∕<
2)-g(jr)在[口丿]I:
应用介值定理即叽
F(G=/-∙(Λ)=0,由罗尔定理知•右在Ce<
α√>
).∣⅛l∙,(c)=OV即/(<
)=
V<
c).
12.【解】令F<
=3.则>
0.故住内不含脈点•从fftlFJ>
在
Jr
[“丿]上连续•在(UJf)内町导•且F(a>
=F(∕υ=0.由罗尔宦理知•3?
6便FG)=O•即八"
严‘⑥=O•因0∙故御¥
=/(ξ).
13.【解】因/(α>
一f(δ>
且/Cr>
不恒为狀数•故至少存在一点£
€("
』>
•使/(f)Z/(d)=f(b>
.不妨设/(()>
/(“)・Wf(.r)住[α,d±
満足拉格朗H中值定理的条件,故存在FW(s『)U(α.6).便
/"
曰一—-VU>
-/(«
)]>
θ∙
C—U
对于/(r)<
/(α)的情形可类似证明•
Lt(IilJ梅耍证的等式《*)变形•由条件√(j>
≠0,t∈(α,6).m√(e)≠0,
g(δ)g<
ξ>
≠O.故(*)式等价于
E∕<
f)-∕(^>
J√<
e)=[g®
—g>
im
[/(』)耳(Jr)-/(α)耳(z>
—/(r)耳(小了『r>
e=0.
记F(Jr)=f(jf)>
j(j)—f(a)g(jr)—f(a)χ(Λ)∙则P(J)在匕连续•在3"
)内可导•且Fs=Fg=∕<
α)M(6).由罗尔定iS∙36∈30)•便Fz<
⅞)=0,从rftι<
*)式成立・
15.[解】A区间[A.6]h对/3应用拉格朗H值定理•存在rW(b∙b∖∙便
/(⅛)-∕<
-Λ)=∕zα>
7-(-"
)]∙
因/(P是奇函数•故一Λ-6)一/"
)•从而推得/(r>
一上护.
1G.【解】作軸助頤数
J(U)/(x>
c(-/)=
尺(“)g("
由题设可知⅞:
(U)在JJ]卜•连续•在SG内可#・据拉恪GUH中值宦理.3^6(α∙b)♦使
φ(,b)—φ(a)=φ,(f>
(6—a)«
即
f(a)/(Λ)I∖f<
a>
g)χ(Λ)I∖g<
a)
因此结沦成疗.
174解】先将要证的鈴N变BtΞι≤L-Ξ≡≤L-(I^eJeς∣∣i进一步变形:
H-Hl
小_(/】
—~—=(1e)cj.
由此町想判对承数八才)一-^(T)-丄在区间OrmJ上应用材西中值定理*丿JL
3663∙J⅛)∙使得
/(x3)-∕(^)_/<
$)g(x2>
-<
(j∙l)FTjjf
此即所要IIE・
l&
IHl对函数F(x>
=4.G(χ)=丄在[a』]上应用何號中值定理即可.XX
19・【解1任取一点C4VfV6•再取a∣.a?
•便a<
尙<
c<
ΛlV厶在[a』]
上对/3应用拉格朗H中值定理•对每一个XeCal.¼
∙n
f(^)-f(c>
=f(c+ff<
ar-c>
)(^-c).O<
ff<
1・
依題设•/"
』)曲u4内有界•设I厂Q)I≤M.又y<
Λ<
bl.所以冇
I/(x)≤∣/(c)I÷
M(6-a)∙a∣<
jγ<
¼
由u1.A1的任慰性知.
/(Jr)∣≤/(c)1+IVf(A-a)∙a≤jr≤6.
即∕<
在Ca.6)内有界・
20・【解】m拉格朗口中值定理>
3f∈÷
∆,r)-∕<
x3)=r<
f)∙∆z∙从
而
fiC“、—IIm"
厂L4:
—ZLIiI2=Iimr(g》=IimfCr)=A.
Xr-HJ∆XΔr-∙0r-∙ry
2扛【解】/(jr)衣点X处的一阶泰勒公式为
心IΛ)一心)+Λ(j->
ΛI
見中F介于丁与X+Λ之簡•从Itri冇
11δ-⅛-—r∞]=∣r<
f).
注意到当人一0时^→χ,rtι广(P的连续性即得
li^^∕<
j+⅜)/Cx>
Z(J)]
=Iim=*八文)・
22.【Wl设JrCr)为奇函数•即有f(-χ)=一心.则/3)在驻=O处奈勒公式为
/(χ)■/(0)+/(θ)χ+^∕(χ)√+^y*(0)√I-
+加"
w十RO・
在等式∕<
-χ>
=-/«
=)两边对才求各次导数•冇
—ff(t—Jr)=—/"
jβ)∙(—l>
τ∕*(—工>
=—fφ,(x)•…
(I)UlrJ*11(-z)=-产llCr),
(一1)'
丁也,(一Z)N-∕√2A)(Q∙∙∙∙・
⅛⅛热冇Z(O)■0•…■0"
-1.2.∙∙∙).W此•奇P月数/(T)<
£
.rc・0处的泰柚公式中不含冇偶次嵇项•
类個可址明個禎数血★=0的泰勒公式中不含有奇次幕域・
23.【解】应用带皮亚诺余项的秦勒公式
/(x÷
Λ>
≡∕Q>
-fJM+t∕rQW+(K胪》.
冉利用题绪的等式•当A允分接近0时,有
Λ∕,<
λ+Λ)=∕,(x)hψ/A(.∣)Λr÷
0(Λ)2,
由此猫
Oh]"
)•0=ly*(χ)ψθ(l),
(flZ
令力fθ取极限•即側Iimtf=£
⅛→9Z
24.[解】记八=Λλc处的一阶泰勒公式分别为
JCrl)=Ja)÷
y,(j∙cι)(JT∣—XC)÷
~∕*(∈∣KJrl—J∙o>
r•
/(七)=/5)+/'
(4)(吐工二)+£
.广(&
)(七丄0厲
其屮5介丁冲与寸之间占介丁小与孔之间•袴I:
述一式相加•得/(才I>
+/(x3)—2/5)=寺八5XJeI—J⅛>
t+y∕(ft)(xs—%〉"
=*id+/*($)](江产八
由ΓfJ)≤0∙所以有J(Xi)■-∕<
-r2>
—2/(Xo)≤0,l!
y
25.KiIl从耍IlF的不等式看出应在K点展开/(z):
/(j:
)=/(x⅛)÷
∕i(x0)<
xxo>
+~∕r(?
)(XJrflV
/(jtk)+yy(jτ0)<
j—X0>
MΨE介于工与心之间.
26.r解】v.reTojJdii一阶泰勒公式■冇
/(O)=/(x>
+/(T)(O∙r>
÷
f5Λε>
(0Xq)\
/
(1)=∕(x)+∕(x)(l一J+右厂(邑"
1一才尸,
H1I10<
5<
工∙∙r<
e:
L苗式相减得
门才)=y∕<
cιX-y∕<
5tXI一"
因为IfrsIW1•所以
I/(^)I≤⅛IΛe.)ι∙十*丨∕⅛)1(I-^)2
≤yJ1卜y(l—τ>
3—(X—y)s+卜
乂市[°
知・才—£
∣≤£
♦故得厂3>
*・
27.【解】令/Xx)=arctanX—ln<
1+F)≥令一In2∙则
4
八八占-τ⅛≤τG∙i].
所以/S在g∙l]上单调下降•故仃∕<
x)^/
(1)=十In2.则结论成“・
28・【解】令/(Jr)=In(I+工)一Jr+亍•当Jr>
O时•有
Z(Jry=Γ⅛~1÷
x=T⅛>
0∙
所以厂丹是PI∞)上的増两数•由于∕XO)=O•故当#>
O时有/(τ>
o>
WJ
In(I∣-x)>
X—y•同J⅛PfilEIn(I1x)<
29.【解】令/J)=Sinf-M才•则山/(x)=cos-r-Z=O衍驻点恥=
ππ
λrcc∏⅛二.Ili0VTV口时■/(.F)>
0.∕r(.r)单•调上升*'
li%V上V寻H∙∣∙∕*(Ur)
3ΓZ
VoJCr)单调F降•而/(0>
-/(P-Ot所以当0<
X;
时•门上)>
0∙即原
不等式成立•
30.【解】令/3=Jr2ln∙则由/(x)=I手•轻易骅证Z=2为/3的
极小点•也是最小点•所以当工>
O时,有Λx)>
/(2〉•即J>
21nx.
31」解】令∕<
x)-InZ-^+1.则/\工〉=丄一1・门工)A<
0∙故/(R为
XJr
上凸函数.易见川戸的最大值为√(l)=0.故/2)的團形位Lr轴的卜方•从而有/(jr>
≤O1即InJrWJr—IQ>
0)・
32+【解】令/(τ>
=arctanX(X⅛=0>
.则If(IX)=
声f\2jγ
ΓT?
/B~(T+P7≤0(j∙≥0).故/Cr)上凸•从而对任意的<
J,Λ>
Ot有
/(⅛lL⅛)>
■/⑷+/⑹”
此即所Sifl-:
33.CMJ<
∣HA¾
∕(r)=MMr在区间Lc∕.Λ](⅛L⅛∙uJ)I应用拉格朗H屮值定理■存在W介于。
与6之间,使得
I=CoSξb—aI≤IA—u,
3饥【解】由Γ<
χ)>
OSl『5严格递增•并由抑格朗Ll中佰定理推得
〉二&
)=∕<
∕Cx)<
ξ<
ISinb—Sind
H-a
(才一4>
八Jr)CLr
于墨有/(x)≤/(α)+(xα)∕<
x)<
x∈["
])•由龙枳分性质.有f/(j)dx≤If(α)d才I
此即所农吐・
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