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花边有多宽
1、经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识,发展估算意识和能力。
2、渗透“夹逼”思想
教学重点难点:
用“夹逼”方法估算方程的解;
求一元二次方程的近似解。
教学方法:
讲授法
教学用具:
幻灯机
学习程序:
一、复习:
1、什么叫一元二次方程?
它的一般形式是什么?
一般形式:
ax2+bx+c-0(a≠0)
2、指出下列方程的二次项系数,一次项系数及常数项。
(1)2x2―x+1=0
(2)―x2+1=0(3)x2―x=0(4)―
x2=0
二、学习内容
1、估算地毯花边的宽。
地毯花边的宽x(m),满足方程(8―2x)(5―2x)=18
也就是:
2x2―13x+11=0
你能求出x吗?
(1)x可能小于0吗?
说说你的理由;
x不可能小于0,因为x表示地毯的宽度。
(2)x可能大于4吗?
可能大于2.5吗?
为什么?
x不可能大于4,也不可能大于2.5,x>
4时,5―2x<
0,x>
2.5时,5―2x<
0.
(3)完成下表
x
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2―13x+11
从左至右分别11,4.75,0,―4,―7,―9
(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?
还有其他求解方法吗?
与同伴交流。
地毯花边1米,另,因8―2x比5―2x多3,将18分解为6×
3,8―2x=6,x=1
2、例题讲析:
例:
梯子底端滑动的距离x(m)满足(x+6)2+72=102
也就是x2+12x―15=0
(1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
(2)x的整数部分是几?
十分位是几?
x2+12x―15
-15
-8.75
-2
5.25
13
所以1<
x<
进一步计算
1.1
1.2
1.3
1.4
-0.59
0.84
2.29
3.76
所以1.1<
因此x的整数部分是1,十分位是1
注意:
(1)估算的精度不适过高。
(2)计算时提倡使用计算器。
三、巩固练习:
P47,随堂练习1
四、小结:
估计方程的近似解可用列表法求,估算的精度不要求很高。
五、作业:
P47,习题2.2:
1、2
配方法(第一课时)
1、会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;
2、理解配方法,会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程;
3、体会转化的数学思想,用配方法解一元二次方程的过程。
学习程序:
1、解下列方程:
(1)x2=9
(2)(x+2)2=16
2、什么是完全平方式?
利用公式计算:
(1)(x+6)2
(2)(x-
)2
它们的常数项等于一次项系数一半的平方。
3、解方程:
(梯子滑动问题)
x2+12x-15=0
二、新授:
1、引入:
像上面第3题,我们解方程会有困难,是否将方程转化为第1题的方程的形式呢?
2、解方程的基本思路(配方法)
如:
x2+12x-15=0转化为
(x+6)2=51
两边开平方,得
x+6=±
∴x1=
―6x2=―
―6(不合实际)
因此,解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n的形式,它的一边是一个完全平方式,另一边是一个常数,当n≥0时,两边开平方便可求出它的根。
3、配方:
填上适当的数,使下列等式成立:
(1)x2+12x+=(x+6)2
(2)x2―12x+=(x―)2
(3)x2+8x+=(x+)2
从上可知:
常数项配上一次项系数的一半的平方。
4、讲解例题:
例1:
解方程:
x2+8x―9=0
5、配方法:
通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二闪方程的方法称为配方法。
P50,随堂练习:
(1)什么叫配方法?
(2)配方法的基本思路是什么?
(3)怎样配方?
P50习题2.31、2
六、教学后记
配方法
(二)
1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。
2、进一步理解配方法的解题思路。
教学重点、难点:
用配方法解一元二次方程的思路;
给方程配方。
1、什么叫配方法?
2、怎样配方?
方程两边同加上一次项系数一半的平方。
(1)x2+4x+3=0
(2)x2―4x+2=0
1、例题讲析:
例3:
3x2+8x―3=0
分析:
将二次项系数化为1后,用配方法解此方程。
2、用配方法解一元二次方程的步骤:
(1)把二次项系数化为1;
(2)移项,方程的一边为二次项和一次项,另一边为常数项。
(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
(4)用直接开平方法求出方程的根。
3、做一做:
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:
h=15t―5t2
小球何时能达到10m高?
三、巩固:
练习:
P51,随堂练习:
1、用配方法解一元二次方程的步骤。
(1)化二次项系数为1;
(2)移项;
(3)配方:
(4)求根。
P33,习题2.41、2
配方法(三)
1、经历到方程解决实际,问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型,培养学生数学应用的意识和能力;
2、进一步掌握用配方法解题的技能
列一元二次方程解方程。
1、配方:
(1)x2―3x+=(x―)2
(2)x2―5x+=(x―)2
2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么?
3、用配方法解下列一元二次方程?
(1)3x2―1=2x
(2)x2―5x+4=0
二、引入课题:
我们已经学习了用配方法解一元二次方程,在生产生活中常遇到一些问题,需要用一元二次方程来解答,请同学们将课本翻到54页,阅读课本,并思考:
如图所示:
(1)设花园四周小路的宽度均为xm,可列怎样的一元二次方程?
(16-2x)(12-2x)=
×
16×
12
(2)一元二次方程的解是什么?
x1=2x2=12
(3)这两个解都合要求吗?
x1=2合要求,x2=12不合要求,因荒地的宽为12m,小路的宽不可能为12m,它必须小于荒地宽的一半。
2、设花园四角的扇形半径均为xm,可列怎样的一元二次方程?
x2π=
12×
16
X1=
≈5.5
X2≈-5.5
(3)合符条件的解是多少?
X1=5.5
3、你还有其他设计方案吗?
请设计出来与同伴交流。
(1)花园为菱形?
(2)花园为圆形
(3)花园为三角形?
(4)花园为梯形
四、练习:
P56随堂练习
五、小结:
1、本节内容的设计方案不只一种,只要合符条件即可。
2、设计方案时,关键是列一元二次方程。
3、一元二次方程的解一般有两个,要根据实际情况舍去不合题意的解。
六、作业:
P56,习题2.5,1、2
七、教学后记:
为什么是0.618(第一课时)
知识目标:
1、掌握黄金分割中黄金比的来历;
2、经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型并解决问题的过程,认识方程模型的重要性。
列一元一次方程解应用题,依题意列一元二次方程
一、复习
1、解方程:
(1)x2+2x+1=0
(2)x2+x-1=0
2、什么叫黄金分割?
黄金比是多少?
(0.618)
3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解?
(方程一边为零,另一边可分解为两个一次因式)
1、黄金比的来历
如图,如果
=
,那么点C叫做线段AB的黄金分割点。
由
,得AC2=AB·
CB
设AB=1,AC=x,则CB=1-x
∴x2=1×
(1-x)即:
x2+x-1=0
解这个方程,得
x1=
x2=
(不合题意,舍去)
所以:
黄金比
≈0.618
黄金比的准确数为
,近似数为0.618.
上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题,其实,很多实际问题都可以应用一元二次方程来解决。
P64题略(幻灯片)
(1)小岛D和小岛F相距多少海里?
(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?
(结果精确到0.1海里)
练习,P65随堂练习:
列方程解应用题的三个重要环节:
1、整体地,系统地审清问题;
2、把握问题中的等量关系;
3、正确求解方程并检验解的合理性。
P66习题2.8:
为什么是0.618(第二课时)
1、分析具体问题中的数量关系,列出一元二次方程;
2、通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
列一元一次方程解应用题,找出等量关系列方程。
1、黄金分割中的黄金比是多少?
[准确数为
,近似数为0.618]
2、列方程解应用题的三个重要环节是什么?
3、列方程的关键是什么?
(找等量关系)
4、销售利润=-
[销售价][销售成本]
二学习内容
在日常生活生产中,我们常遇到一些实际问题,这些问题可用列一元二次方程的方法来解答。
1、讲解例题:
例2、新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元,市场调研表明,为销售价为2900元时,平均每天能售出8台,而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台,商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价为多少元?
每天的销售量(台)
每台的利润(元)
总利润(元)
降价前
8
400
3200
降价后
8+4×
400-x
(8+
)×
(400-x)
每台冰箱的销售利润×
平均每天销售冰箱的数量=5000元
如果设每台冰箱降价为x
元,那么每台冰箱的定价就是(2900-x)元,每台冰箱的销售利润为(2900-x-2500)元。
这样就可以列出一个方程,进而解决问题了。
关键:
找等量关系列方程。
2、做一做:
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个,调查表明这种台灯的售价每上涨一元,某销售量就减少10个,为了实现平均每月20000的销售利润,这种台灯的售价应定为多少?
这时应进台灯多少个?
P68习题2.9
第二章 一元二次方程复习
学习目标:
1、经历抽象一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
2、经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识,发展估算意识和能力。
重点:
认识产生一元二次方程知识的必要性
难点:
列方程的探索过程
一、简要回顾,方程思想
简要回顾方程知识,方程在生活中的应用,以及用方程思想解决实际问题时的大致思路:
1、把待求的量用字母表示出来;
2、把已知量与未知量放在同等地位进行运算;
3、寻求建立等量关系
4、解方程(组)
体会感悟:
往往解决一个未知数的问题,就需要建立一个等量关系;
解决两个未知数的问题,则需要建立两个等量关系。
……
二、展示素材,创设情境
在处理下面的每一个素材时,都带领学生经历探求思路、建立方程、分析特点三个过程,并从中激发学生的学习兴趣。
1、艺术设计
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示,它的长为8m,宽为5m。
如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽?
这是俄罗斯画家别尔斯基的一幅题为《难题》的名画中写在教室黑板上的一道题,此画上面还画了拉钦斯基和他的作口算的学生们。
拉钦斯基(1836~1902)一度曾在大学中任自然科学教授,后来辞去大学的职务,成为一名普通的乡村教师,在这期间,对非标准习题的解法以及口算给予很大注意。
从惊奇与趣味中激发学生思考:
这样的数组还有吗?
如何求解?
设未知数的技巧。
联想勾股定理中:
,……
3、梯子移动
如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。
如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米?
及时教育学生,要学会用数学的眼光观察生活中的现象,培养自己发现问题与解决问题的能力。
此诗出自十二世纪印度数学家婆什迦罗(Bhaskara;
1114~1185)之手。
诗文简洁,数学內容也不太难。
同时,也可介绍《九章算术》第九章第六题“葭生中央”问题:
三、观察归纳,抽象命名
从上面的几个素材中可以看出,这类方程在生活中大量出现,回忆前面在学习“黄金分割”时,我们曾经得到方程
,其中
,这
是如何解出的,当时我们不得而知,但数学应该而且必定能为生活服务,因此我们很有必要对这类方程作一个系统的研究。
上述三个方程有什么共同特点?
上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化为
(a、b、c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程
注:
形式上是一元二次方程,但化简整理后的方程却未必是一元二次方程,例如“印度莲花问题”,其实这仅仅是知识上的简单分类,目的是便于语言叙述与更有利于知识学习,因此没有必要过多计较。
四、学生编题,深化理解
在感受前面四个素材及归纳一元二次方程形式特点的基础上,启发学生编拟一条与自己身边生活有关的应用题,使列出来的方程是一元二次方程。
五、随堂练习,及时巩固
一元二次方程的复习
1、熟练掌握一元二次方程的解法,能灵活选择方法解一元二次方程。
2、能利用方程解决有关实际问题,提高学生的应用能力。
一元二次方程的几种解法;
列一元二次方程解应用题。
它的二次项系烽,一次项系数,常数项各是什么?
2、一元二次方程有哪些解法?
3、一元二次方程的求根公式是什么?
4、列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么?
关键是什么?
二、新课讲析:
(1)2(x+3)2=x(x+3)
(2)x2-2
x+2=0
(1)x(x-8)=0
(2)x2+12x+32=0
2、当x为何值时,代数式x2-13x+12=0的值等于42?
3、已知2+
是方程x2-4x+c=0的一个根,求方程的另一个根及c的值。
4、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形,做成一个无盖的盒子,已知盒子的容积是400cm3,求原铁皮的边长。
四、课堂小结:
1、一元一次方程的一般形式:
ax2+bx+c=0(a≠0)
2、一元二次方程的解法:
(1)配方法:
(2)公式法:
:
x=
(b2-4ac≥0)
(3)分解因式法:
方程一边为0,另一边分解为两个一次式的积。
3、列一元一次方程解应用题:
(1)步骤:
a、设未知数;
b、列方程;
c、解方程;
d、检验;
e、作答。
(2)关键:
寻找等量关系。
P69复习题:
4、6、7、8六、教学后记:
反比例函数
经历抽象反比例函数概念的过程,领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念。
一、导入:
1、从现实情况和已有知识经验出发,讨论两个变量之间的相依关系,加强对函数概念的理解,导入反比例函数。
2、U=IR,当U=220V时,
(1)你能用含R的代数式表示I吗?
(2)利用写出的关系式完成下表:
R(Ω)
20
40
60
80
100
I(A)
当R越来越大时,I怎样变化?
当R越来越小呢?
(3)变量I是R的函数吗?
答:
二、学习内容:
1、反比例函数的概念
一般地,如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=
(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数。
反比例函数的自变量x不能为零。
2、做一做
一个矩形的面积为20cm2,相邻两条边长分别为xcm和ycm,那么变量y是变量x的函数吗?
是反比例函数吗?
解:
y=
,是反比例函数。
三、课堂练习:
P133,12
四、作业:
P133,习题5.11、2题
反比例函数的图象与性质
使学生会作反比例函数的图象,并能理解反比例函数的性质。
培养提高学生的计算能力和作图能力。
作反比例函数的图象。
理解反比例函数的性质。
1、函数有哪几种表示方法?
2、一次函数y=kx+b有什么性质?
1、作反比例函数y=
的图象:
列表:
X
-8
-4
-3
-2
-1
-
4
描点:
以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点。
连线:
用光滑的曲线顺次连结各点,即可得到函数y=
的图象。
2、你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题?
列表时,自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值,这样既可简化计算,又便于描点。
3、作反比例函数y=
4、观察函数y=
和y=
的图象,它们有什么相同点和不同点?
图象分别都是由两支曲线组成的,它们都不与坐标轴相交,两个函数图象都是轴对称图形,它们各自都有两条对称轴。
5、反比例函数y=
的图象是由两支曲线组成的,当k>
0时,两支曲线分别位于一、三象限内,当k<
0时,两支曲线分别位于第二、四象限内。
三、随堂练习
P136:
P137习题5.21
使学生理解反比例函数y=
(k≠0)的增减性质。
培养、提高学生的空间想象能力。
教学难点:
反比例函数的对称性质
一、学习内容
1、观察反比例函数y=
,y=
的图象,回答下列问题?
(1)函数图象分别位于哪几个象限内;
(2)在每一个象限内,随着x值的增大,y的值怎样变化的?
能说明这是为什么吗?
(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗?
可能与y轴相交吗?
2、考察当k=―2,―4,―6时,反比例函数y=
的图象,回答
(1)中的三个问题。
3、反比例函数图象的性质:
反比例函数y=
的图象,当k>
0时,在第一象限内,y的值随x的增大而减小;
当k<
0时,在每一象限内,y的值随x的增大而增大。
4、在一个反比例函数图象上任取两点P、Q,过点P分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,过点Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的面积为S2,S1与S2有什么关系?
S1=S2=|K|
5、将反比例函数的图象绕原点旋转180°
后,能与原来的图象重合吗?
反比例函数的图象是一个以原点为中心的中心对称图形;
反比例函数是一个以y=±
x为对称轴的轴对称图形。
二、随堂练习:
P1391、2
三、作业:
P141习题5.31、2
反比例函数的应用
使学生对反比例函数和反比例函数的图象意义加深理解。
教学重点:
1、实例1:
(1)用含S的代数式表示P,P是S的反比例函数吗?
(2)、当木板面积为0.2m2时,压强是多少?
(3)、如果要求压强不超过6000Pa,木板的面积至少要多少?
(4)、在直角坐标系中,作出相应的函数图象。
(5)、请利用图象
(2)和(3)作出直观解释,并与同伴进行交流。
二、做一做
1、
(1)蓄电池的电压为定值,使用此电源时,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图5-8所示。
(2)蓄电池的电压是多少?
你以写出这一函数的表达式吗?
电压U=36V,I=
2、完成下表,并回答问题,如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A,那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内?
3
5
6
7
9
10
3、如图5-9,正比例函数y=k1x的图象与反比例函
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