第1部分专题 突破点1三角函数问题.docx
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第1部分专题突破点1三角函数问题
专题一 三角函数与平面向量
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[高考点拨] 三角函数与平面向量是高考的高频考点,常以“两小一大”的形式呈现,两小题主要考查三角函数的图象和性质与平面向量内容,一大题常考查解三角形内容,有时平面向量还与圆锥曲线、线性规划等知识相交汇.本专题按照“三角函数问题”“解三角形”“平面向量”三条主线分门别类进行备考.
突破点1 三角函数问题
提炼1
三角函数的图象问题
(1)函数y=Asin(ωx+φ)解析式的确定:
利用函数图象的最高点和最低点确定A,利用周期确定ω,利用图象的某一已知点坐标确定φ.
(2)三角函数图象的两种常见变换
提炼2
三角函数奇偶性与对称性
(1)y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得,对称中心的横坐标可由ωx+φ=kπ,(k∈Z)解得.
(2)y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得,对称中心的横坐标可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)解得.
y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;对称中心的横坐标可由ωx+φ=(k∈Z)解得,无对称轴.
提炼3
三角变换常用技巧
(1)常值代换:
特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan45°等.
(2)项的分拆与角的配凑:
如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等.
(3)降次与升次:
正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.
(4)弦、切互化:
一般是切化弦.
提炼4
三角函数最值问题
(1)y=asinx+bcosx+c型函数的最值:
可将y转化为y=sin(x+φ)+c其中tanφ=的形式,这样通过引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为y=sin(x+φ)+c的最值问题,然后利用三角函数的图象和性质求解.
(2)y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型函数的最值:
可利用降幂公式sin2x=,sinxcosx=,cos2x=,将y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x转化整理为y=Asin2x+Bcos2x+C,这样就可将其转化为
(1)的类型来求最值.
回访1 三角函数的图象问题
1.(理)(2016·全国甲卷)若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)
C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)
B [将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=2sin2=2sin的图象.由2x+=kx+(k∈Z),得x=+(k∈Z),即平移后图象的对称轴为x=+(k∈Z).]
2.(理)(2014·全国卷Ⅰ)如图11,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )
图11
B [如图所示,当x∈时,则P(cosx,sinx),M(cosx,0),作MM′⊥OP,M′为垂足,则=sinx,
∴=sinx,∴f(x)=sinxcosx=sin2x,
则当x=时,f(x)max=;
当x∈时,有=sin(π-x),
f(x)=-sinxcosx=-sin2x,
当x=时,f(x)max=.
只有B选项的图象符合.]
回访2 三角函数的性质问题
3.(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图12所示,则f(x)的单调递减区间为( )
图12
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
D [由图象知,周期T=2=2,
∴=2,∴ω=π.
由π×+φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,
∴f(x)=cos.
由2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z,得2k- ∴f(x)的单调递减区间为,k∈Z.故选D.] 4.(理)(2016·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为( ) A.11 B.9C.7 D.5 B [因为f(x)=sin(ωx+φ)的一个零点为x=-,x=为y=f(x)图象的对称轴, 所以·k=(k为奇数). 又T=,所以ω=k(k为奇数). 又函数f(x)在上单调, 所以≤×,即ω≤12. 若ω=11,又|φ|≤,则ω=-,此时,f(x)=sin,f(x)在上单调递增,在上单调递减,不满足条件. 若ω=9,又|φ|≤,则φ=,此时,f(x)=sin,满足f(x)在上单调的条件.故选B.] 5.(理)(2013·全国卷Ⅰ)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=________. - [∵f(x)=sinx-2cosx=, 设=cosα,=sinα, 则y=(sinxcosα-cosxsinα)=sin(x-α). ∵x∈R,∴x-α∈R,∴ymax=. 又∵x=θ时,f(x)取得最大值, ∴f(θ)=sinθ-2cosθ=. 又sin2θ+cos2θ=1, ∴即cosθ=-.] 回访3 三角恒等变换 6.(2015·全国卷Ⅰ)sin20°cos10°-cos160°sin10°=( ) A.- B.C.- D. D [sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=,故选D.] 7.(2016·全国甲卷)若cos=,则sin2α=( ) A.B. C.-D.- D [因为cos=, 所以sin2α=cos=cos2=2cos2-1=2×-1=-.] 热点题型1 三角函数的图象问题 题型分析: 高考对该热点的考查方式主要体现在以下两方面: 一是考查三角函数解析式的求法;二是考查三角函数图象的平移变换,常以选择、填空题的形式考查,难度较低. (1)(2016·山西四校联考)将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是( ) A. B. C. D. (2)(2016·衡水中学四调)已知A,B,C,D是函数y=sin(ωx+φ)一个周期内的图象上的四个点,如图13所示,A,B为y轴上的点,C为图象上的最低点,E为该图象的一个对称中心,B与D关于点E对称,在x轴上的投影为,则( ) 图13 A.ω=2,φ=B.ω=2,φ= C.ω=,φ=D.ω=,φ= (1)A (2)A [ (1)设f(x)=cosx+sinx=2=2sin,向左平移m个单位长度得g(x)=2sin.∵g(x)的图象关于y轴对称,∴g(x)为偶函数,∴+m=+kπ(k∈Z),∴m=+kπ(k∈Z),又m>0,∴m的最小值为. (2)由题意可知=+=,∴T=π,ω==2.又sin=0,0<φ<,∴φ=,故选A.] 1.函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的确定 (1)A由最值确定,A=; (2)ω由周期确定; (3)φ由图象上的特殊点确定. 提醒: 根据“五点法”中的零点求φ时,一般先依据图象的升降分清零点的类型. 2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. [变式训练1] (1)为了得到函数y=sin的图象,可以将函数y=cos2x的图象( ) 【导学号: 85952009】 A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 (2)(2016·江西八校联考)函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的部分图象如图14所示,则f (1)+f (2)+f(3)+…+f(2016)的值为( ) 图14 A.0 B.3 C.6 D.- (1)B (2)A [ (1)∵y=cos2x=sin,∴y=cos2x的图象向右平移个单位长度,得y=sin=sin的图象.故选B. (2)由题图可得,A=2,T=8,=8,ω=, ∴f(x)=2sinx. ∴f (1)=,f (2)=2,f(3)=,f(4)=0,f(5)=-,f(6)=-2,f(7)=-,f(8)=0, 而2016=8×252, ∴f (1)+f (2)+…+f(2016)=0.] 热点题型2 三角函数的性质问题 题型分析: 三角函数的性质涉及周期性、单调性以及最值、对称性等,是高考的重要命题点之一,常与三角恒等变换交汇命题,难度中等. (2016·天津高考)已知函数f(x)=4tanx·sin·cos-. (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间上的单调性. [解] (1)f(x)的定义域为xx≠+kπ,k∈Z.1分 f(x)=4tanxcosxcos-=4sinxcos- =4sinx- =2sinxcosx+2sin2x- =sin2x+(1-cos2x)- =sin2x-cos2x=2sin.4分 所以f(x)的最小正周期T==π.6分 (2)令z=2x-,则函数y=2sinz的单调递增区间是,k∈Z. 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ, 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.8分 设A=,B=x-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,易知A∩B=.10分 所以当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.12分 研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质的“两种”意识 1.转化意识: 利用三角恒等变换把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式. 2.整体意识: 类比于研究y=sinx的性质,只需将y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看成y=sinx中的“x”代入求解便可. [变式训练2] (1)(名师押题)已知函数f(x)=2sin,把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位,得到函数g(x)的图象.关于函数g(x),下列说法正确的是( ) A.在上是增函数 B.其图象关于直线x=-对称 C.函数g(x)是奇函数 D.当x∈时,函数g(x)的值域是[-2,1] (2)已知函数f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若是f(x)的一个单调递增区间,则φ的取值范围为( ) 【导学号: 85952010】 A. B. C. D.∪ (1)D (2)C [ (1)因为f(x)=2sin,把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位,得g(x)=f=2sin=2sin=2cos2x. 对于A,由x∈可知2x∈,故g(x)在上是减函数,故A错;又g=2cos=0,故x=-不是g(x)的对称轴,故B错;又g(-x)=2cos2x=g(x),故C错;又当x∈时,2x∈,故g(x)的值域为[-2,1],D正确. (2)令2kπ+<2x+φ<2kπ+,k∈Z, 所以kπ+-≤x≤kπ+-,k∈Z, 所以函数f(x)在上单调递增. 因为是f(x)的一个单调递增区间, 所以≤kπ+-,且kπ+-≤,k∈Z, 解
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