届高考理科数学解答题的八个大题模板.docx
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届高考理科数学解答题的八个大题模板
方达教育个性化一对一辅导学海方舟,教以达人
方达教育学科教师辅导教案
学员姓名年级高三辅导科目数学
授课老师翟嘉课时数2h第次课
授课日期及时段2015年月日:
—:
解答题的八个答题模板
数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型,通常是高考的把关题和压轴题,具有较好的区分层次
和选拔功能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.在高
考考场上,能否做好解答题,是高考成败的关键,因此,在高考备考中学会怎样解题,是一项重要的内容.
“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型,把数学解题的思维过程划分为一个个小题,按照一
定的解题程序和答题格式分步解答,即化整为零.强调解题程序化,答题格式化,在最短的时间内拟定解
决问题的最佳方案,实现答题效率的最优化.
模板1三角变换与三角函数的性质问题
已知函数f(x)=2cosx·sinx+
π
2x+sinxcosx+1.
-3sin
3
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的最大值及最小值;(3)写出函数f(x)的单调递增区间.
审题路线图不同角化同角→降幂扩角→化f(x)=Asin(ωx+φ)+h→结合性质求解.
规范解答示例构建答题模板
1
3
2
解f(x)2cosx=
sinx
+
2
cosx3sin
-
2
xsinxcosx1++
2
=2sinxcosx+3(cos
x-sin
2
x)+1=sin2x+3cos2x+1
第一步化简:
三角函数式的化简,一
般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式,
即化为“一角、一次、一函数”的形式.
π
=2sin2x++1.
3
第二步整体代换:
将ωx+φ看作一
(1)函数f(x)的最小正周期为
2π
=π.
2
个整体,利用y=sinx,y=cosx的
性质确定条件.
π
(2)∵-1≤sin2x+
≤1,∴-1≤2sin2x+
3
π
+1≤3.
3
第三步求解:
利用ωx+φ的范围求
∴当2x+
π
=
3
ππ
+2kπ,k∈Z,即x=+kπ,k∈Z时,f(x)取
212
条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h
的性质,写出结果.
得最大值3;
π
当2x+=-
3
π
+2kπ,k∈Z,即x=-
2
5π
+kπ,k∈Z时,f(x)
12
第四步反思:
反思回顾,查看关键点,
易错点,对结果进行估算,检查规范性.
方达教育辅导教案第1页(共16页)
方达教育个性化一对一辅导学海方舟,教以达人
取得最小值-1.
(3)由-
π
+2kπ≤2x+
2
π
≤
3
π
+2kπ,k∈Z,得-
2
5π
+kπ≤x≤
12
π
+
12
kπ,k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为-
5π
π
+kπ,+kπ(k∈Z).
1212
(2014福·建)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-
1
2.
π
,且sinα=
(1)若0<α<
2
2
,求f(α)的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
2
π
解方法一
(1)因为0<α<,sinα=
2
2
,所以cosα=
2
2
.所以f(α)=
2
2
×(
2
2
+
2
2
)-
2
11
=
.
22
(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-1
2x-1
=
2
1
2sin2x+
1+cos2x
-
2
11
=2sin2x+
2
1
2cos2x=
2π
2sin(2x+4),
2π
所以T==π.
2
由2kπ-
ππ3ππ
π
≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
24288
所以f(x)的单调递增区间为[kπ-
3ππ
,kπ+
],k∈Z.
88
11
2x-
方法二f(x)=sinxcosx+cos
=sin2x+
22
1+cos2x1
-=
22
1
2
sin2x+
1
2
cos2x=
2
sin(2x+
2
π
).
4
π
,sinα=
(1)因为0<α<
2
2
,所以α=
2
π
,从而f(α)=
4
2
2sin(2α+
π
4)=
23π
2sin
4
=
1
2.
2π
(2)T=
=π.
2
由2kπ-
πππ3ππ
≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
24288
所以f(x)的单调递增区间为[kπ-
3π
π
,kπ+
],k∈Z.
88
模板2解三角形问题
2C2A
在△ABC中,若acos+ccos=
22
3
2
b.
(1)求证:
a,b,c成等差数列;
(2)求角B的取值范围.
审题路线图
(1)化简变形―→用余弦定理转化为边的关系―→变形证明
(2)用余弦定理表示角―→用基本不等式求范围―→确定角的取值范围
方达教育辅导教案第2页(共16页)
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规范解答示例构建答题模板
2C2A1+cosC
(1)证明因为acos+
+ccos=a·
222
第一步定条件:
即确定三角形中的已知和
1+cosA
c·=
2
3
b,
2
所求,在图形中标注出来,然后确定转化的
方向.
所以a+c+(acosC+ccosA)=3b,
2+b2-c22+c2-a2
ab
故a+c+a·
+c·
2ab2bc
=3b,
第二步定工具:
即根据条件和所求,合理
选择转化的工具,实施边角之间的互化.
整理,得a+c=2b,故a,b,c成等差数列.
第三步求结果.
(2)解cosB=
2+c2-a+c
a
2+c2-b2
a2
=
2ac2ac
2
第四步再反思:
在实施边角互化的时候应
注意转化的方向,一般有两种思路:
一是全
2+c2-2ac
3a
6ac-2ac
=
8ac
π
.
3
=≥
8ac
因为0
1
2
,
部转化为边之间的关系;二是全部转化为角
之间的关系,然后进行恒等变形.
→→
(2014辽·宁)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知BA·BC
=2,cosB
=
1
3
,b=3.求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
→→
解
(1)由BA=2得c·acosB=2.又cosB=
·BC
1
3
,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.又b=3,
2+c2=b2+2accosB.又b=3,
所以a=13.解2+c2=9+2×6×1
2+c2=9+2×6×1
3
ac=6,
2+c2=13,
a
得
a=2,
c=3
或
a=3,
c=2.
因为a>c,所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中,sinB=1-cos2B=1-
2B=1-
1
3
2=22,
,
3
c
由正弦定理,得sinC=
bsinB=
222
×=
33
42
9.因为a=b>c,所以C为锐角,
2
因此cosC=1-sin
C=1-
42
9
2=7
9.于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=
17
×+
39
22
3
×
42
9
=
23
.
27
模板3数列的通项、求和问题
*)满足anbn
已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N+1-an+1bn+2bn+1bn=0.
an
(1)令cn=,求数列{an}的通项公式;
bn
n-1,求数列{a
(2)若bn=3
方达教育辅导教案第3页(共16页)
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审题路线图
(1)anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0→
an+1
+1
-
bn
+1
an
bn
=2→cn+1-cn=2→cn=2n-1
错位相减法
n-1――→
(2)cn=2n-1→an=2n-1·3
得Sn
规范解答示例构建答题模板
解
(1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0(bn≠0,
n∈N
*),
第一步找递推:
根据已知条件确定数列相
所以
an
+1
-
bn+1
+1
an
=2,即cn+1-cn=2,
bn
邻两项之间的关系,即找数列的递推公式.
第二步求通项:
根据数列递推公式转化为
所以数列{cn}是以首项c1=1,公差d=2的等差数
等差或等比数列求通项公式,或利用累加法
列,故cn=2n-1.
或累乘法求通项公式.
n-1知an-1,
(2)由bn=3n=cnbn=(2n-1)3
第三步定方法:
根据数列表达式的结构特
于是数列{an}的前n项和Sn=1·30+3·31+5·32+,
0+3·31+5·32+,
征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、
n-1,
+(2n-1)·3
错位相减法、分组法等).
1+3·32+,+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n,
3Sn=1·3
第四步写步骤:
规范写出求和步骤.
相减得-2Sn=1+2·(31+32+,+3n-1)-(2n-
1+32+,+3n-1)-(2n-
第五步再反思:
反思回顾,查看关键点、
n=-2-(2n-2)3n,
1)·3
所以Sn=(n-1)3n+1.
n+1.
易错点及解题规范.
已知点1,
1
3
是函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象上的一点.等比数列{an}的前n项和为f(n)
-c.数列{bn}(bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=Sn+Sn
-1(n≥2).
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若数列
1
bnbn
+1
1001
的前n项和为Tn,问满足Tn>的最小正整数n是多少?
2012
解
(1)∵f
(1)=a=
1
,∴f(x)=
3
1
3
x.
1
由题意知,a1=f
(1)-c=-c,a2=[f
(2)-c]-[f
(1)-c]=-
3
2
9
,a3=[f(3)-c]-[f
(2)-c]=-
2
3.
4
2
2
a81
又数列{an}是等比数列,∴a1=
==-
a32
-
27
2
3
=
1a21
-c,∴c=1.又公比q==,
3a13
∴an=-
2
3
·
1
3
n-1=-2·1
3
n*
(n∈N).
∵Sn-Sn-1=(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=Sn+Sn
-1(n≥2).
方达教育辅导教案第4页(共16页)
方达教育个性化一对一辅导学海方舟,教以达人
又bn>0,Sn>0,∴Sn-Sn-1=1.
2.∴数列{Sn}构成一个首项为1、公差为1的等差数列,Sn=1+(n-1)×1=n,即Sn=n
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n1=1也适合此通项公式.
2-(n-1)2=2n-1,当n=1时,b
*
∴bn=2n-1(n∈N
).
(2)Tn=
1
+
b1b2
1
+
b2b3
1
+,+
b3b4
1
bnbn
+1
=
11
++
1×33×5
1
+,+
5×7
1
2n-1×2n+1
=
1
2
×1-
1
3
1
+×
2
11
-
35
+
1
2
×
11
-
57
+,+
1
2
×
11
-
2n-12n+1
1
2
=
×1-
1
2n+1
n
=
.
2n+1
n10011001
由Tn=,得n>
2n+1201210
>,
1001
∴满足Tn>
的最小正整数n的值为101.
2012
模板4利用空间向量求角问题
(2014·山东)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,
∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.
(1)求证:
C1M∥平面A1ADD1;
(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=3,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐
角)的余弦值.
AB=2CD
审题路线图
(1)M是AB中点,四边形ABCD是等腰梯形――→
CD∥AMCD=AM?
?
AMC1D1
→C1M∥平面A1ADD1
(2)CA,CB,CD1两两垂直→建立空间直角坐标系,写各点坐标
→求平面ABCD的法向量→将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角
规范解答示例构建答题模板
第一步找垂直:
找出(或
(1)证明因为四边形ABCD是等腰梯形,
且AB=2CD,所以AB∥DC.作出)具有公共交点的三
又由M是AB的中点,因此CD∥MA且CD=MA.
条两两垂直的直线.
连接AD1,如图
(1).
第二步写坐标:
建立空
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,
间直角坐标系,写出特征
因为CD∥C1D1,CD=C1D1,可得C1D1∥MA,C1D1=MA,所以四边形AMC1D1
点坐标.
为平行四边形,因为C1M∥D1A.
第三步求向量:
求直线
方达教育辅导教案第5页(共16页)
方达教育个性化一对一辅导学海方舟,教以达人
又C1M?
平面A1ADD1,D1A?
平面A1ADD1,所以C1M∥平面A1ADD1.
的方向向量或平面的法
(2)解方法一如图
(2),连接AC,MC.由
(1)知
向量.
CD∥AM且CD=AM,
第四步求夹角:
计算向
所以四边形AMCD为平行四边形,可得BC=AD=
量的夹角.
MC,
第五步得结论:
得到所
由题意得∠ABC=∠DAB=60°,所以△MBC为正三
求两个平面所成的角或
角形,因此AB=2BC=2,CA=3,因此CA⊥CB.
直线和平面所成的角.
以C为坐标原点,建立如图
(2)所示的空间直角坐标系C-xyz,所以A(3,
0,0),B(0,1,0),D1(0,0,3),
因此M
3
,
2
1
2
→
,0,所以MD1
=-
3
,-
2
1
2
→→
,3,D1C1=MB
=
-
31
,
,0.
22
设平面C1D1M的一个法向量为n=(x,y,z),
由
→
=0,
n·D1C1
→
=0,
n·MD1
得
3x-y=0,
3x+y-23z=0,
可得平面C1D1M的一个法向量n
→→
=(1,3,1).又CD1=(0,0,3)为平面ABCD的一个法向量,因此cos〈CD1
,
→
CD1·n
n〉==
→
|CD1||n|
5
5.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为
5
.
5
方法二由
(1)知平面D1C1M∩平面ABCD=AB,
过点C向AB引垂线交AB于点N,
连接D1N,如图(3).由CD1⊥平面ABCD,
可得D1N⊥AB,
因此∠D1NC为二面角C1-AB-C的平面角.
在Rt△BNC中,BC=1,
∠NBC=60°,可得CN=3
.所以ND1=
2
CD
2=15
2
1+CN
.
2
3
所以Rt△D1CN中,cos∠D1NC=
CN
=
D1N
2
=
15
2
5
,
5
方达教育辅导教案第6页(共16页)
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所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为
5
.
5
如图所示,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.
→→→
解
(1)以A为坐标原点,分别以AB,AC,AA1为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4).
→→
所以A1B=(2,0,-4),C1D
=(1,-1,-4).
→→
所以cos〈A1B,C1D
〉=
→→
A1B·C1D
=
→→
|A1B|×|C1D|
18310
=
.
10
20×18
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为
310
.
10
→
=(0,2,0)是平面ABA1的一个法向量.
(2)由题意,知AC
→
设平面ADC1的法向量为m=(x,y,z),因为AD
→
=(1,1,0),AC1=(0,2,4),
→
由m⊥AD
→
,m⊥AC1
,得
x+y=0,
2y+4z=0.
取z=1,得y=-2,x=2,所以平面ADC1的一个法向量为m=(2,-2,1).
设平面ADC1与平面ABA1所成二面角为θ,
→
-4
→
AC·m2
所以|cosθ|=|cos〈AC,m〉|=|,得sinθ=
|=||=
→
2×33
|AC|×|m|
5
.
3
所以平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为
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