中考数学综合题专练圆的问题含答案.docx
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中考数学综合题专练圆的问题含答案
中考综合题(七季-圆的问题)(共七季)
1.如图,直线y=﹣x+2分别与x、y轴交于点B、C,点A(﹣2,0),P是直线BC上的动点.
(1)求∠ABC的大小;
(2)求点P的坐标,使∠APO=30°;
(3)在坐标平面内,平移直线BC,试探索:
当BC在不同位置时,使∠APO=30°的点P的个数是否保持不变?
若不变,指出点P的个数有几个?
若改变,指出点P的个数情况,并简要说明理由.
考点:
一次函数综合题
分析:
(1)求得B、C的坐标,在直角△BOC中,利用三角函数即可求解;
(2)取AC中点Q,以点Q为圆心,2为半径长画圆⊙Q,⊙Q与直线BC的两个交点,即为所求;
(3)当BC在不同位置时,点P的个数会发生改变,使∠APO=30°的点P的个数情况有四种:
1个、2个、3个、4个.如答图2所示.
解答:
解:
(1)在y=﹣x+2中,令x=0,得y=2;
令y=0,得x=2,
∴C(0,2),B(2,0),
∴OC=2,OB=2.
tan∠ABC===,
∴∠ABC=60°.
(2)如答图1所示,连接AC.
由
(1)知∠ABC=60°,∴BC=2OB=4.
又∵AB=4,∴AB=BC,
∴△ABC为等边三角形,AB=BC=AC=4.
取AC中点Q,以点Q为圆心,2为半径长画圆,与直线BC交于点P1,P2.
∵QP1=2,QO=2,∴点P1与点C重合,且⊙Q经过点O.
∴P1(0,2).
∵QA=QO,∠CAB=60°,∴△AOQ为等边三角形.
∴在⊙Q中,AO所对的圆心角∠OQA=60°,
由圆周角定理可知,AO所对的圆周角∠APO=30°,故点P1、P2符合条件.
∵QC=QP2,∠ACB=60°,∴△P2QC为等边三角形.∴P2C=QP=2,∴点P2为BC的中点.
∵B(2,0),C(0,2),∴P2(1,).
综上所述,符合条件的点P坐标为(0,2),(1,).
(3)当BC在不同位置时,点P的个数会发生改变,使∠APO=30°的点P的个数情况有四种:
1个、2个、3个、4个.
如答图2所示,
以AO为弦,AO所对的圆心角等于60°的圆共有2个,记为⊙Q,⊙Q′,点Q,Q′关于x轴对称.
∵直线BC与⊙Q,⊙Q′的公共点P都满足∠APO=∠AQO=∠AQ′O=30°,
∴点P的个数情况如下:
①有1个:
直线BC与⊙Q(或⊙Q′)相切;
②有2个:
直线BC与⊙Q(或⊙Q′)相交;
③有3个:
直线BC与⊙Q(或⊙Q′)相切,同时与⊙Q(或⊙Q′)相交;直线BC过⊙Q与⊙Q′的一个交点,同时与两圆都相交;
④有4个:
直线BC同时与两圆都相交,且不过两圆的交点.
2.如图12,在平面直角坐标系中,圆D与轴相切于点C(0,4),与轴相交于A、B两点,且AB=6.
(1)则D点的坐标是(,),圆的半径为;
(2)sinACB=;经过C、A、B三点的抛物线的解析式;
(3)设抛物线的顶点为F,证明直线FA与圆D相切;
(4)在轴下方的抛物线上,是否存在一点N,使面积最大,最大值是多少,并求出点坐标.
解:
(1)(5,4)------------1分
5------------2分
(2)sinACB=,--------------4分
P
N
(3)证明:
因为D为圆心,A在圆周上,DA=r=5,故只需证明,
抛物线顶点坐标:
F,,(5分)
所以
所以AF切于圆D。
(6分)
(4)存在点N,使面积最小。
设N点坐标(a,),过点N作NP与y轴平行,交BC于点P。
可得P点坐标为(a,)----------------7分
∴NP=-()=
∴S△BCN=S△BPN+S△PCN=×BO×PN=×8×()=16-(a-4)2
-----------8分
当a=4时,S△BCN最大,最大值为16。
此时,N(4,-2)------------9分
部分小题方法不一,不同做法可酌情给分,参考如下:
(4)、存在点N,做一条与BC平行的直线,平移,
当它与抛物线有一个交点时,此时以BC为底的三角形
高度最大。
抛物线与该直线的交点,就是所求的N点。
易求BC的K值为,所以设动直线为:
,与抛物线联立:
(1分)
所以(1分)
过N做y轴的平行线,交BC于一点,求此点坐标
BC:
令x=4,解得y=2,∴三角形BCN面积的最大值=(1分)
若(3)问用高中点到直线距离公式也给分。
3.如图6-1,过点A(0,4)的圆的圆心坐标为C(2,0),B是第一象限圆弧上的一点,且BC⊥AC,抛物线经过C、B两点,与轴的另一交点为D。
(1)点B的坐标为(,),抛物线的表达式为
(2)如图6-2,求证:
BD//AC
(3)如图6-3,点Q为线段BC上一点,且AQ=5,直线AQ交⊙C于点P,求AP的长。
解析:
4.已知抛物线的顶点为且与轴交于,.
(1)直接写出抛物线解析式;
(2)如图,将抛物线向右平移个单位,设平移后抛物线的顶点为D,与轴的交点为A、B,与原抛物线的交点为P
①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时,求此时的值;
②是否存在这样的值,使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上?
若存在,求出值;若不存在,请说明理由.
解:
(1)...............2分
(2)连接CE,CD,
∵OD是⊙C的切线,∴CE⊥OD.......3分
在Rt△CDE中,∠CED=,CE=AC=2,DC=4,∴∠EDC=..4分
∴在Rt△CDO中,∠OCD=,CD=4,∠ODC=
∴..................6分
∴当直线OD与以AB为直径的圆相切时,....7分
(3)设平移个单位后的抛物线的解析式是
它与交于点P,
可得点P的坐标是........8分
(也可以根据对称性,直接写出点P的横坐标是,再求出纵坐标)
方法1:
设直线OD的解析式为,把D代入,得......9分
若点P在直线上,得,
解得,......11分
∴当时,O、P、D三点在同一条直线上......12分
方法2:
假设O、P、D在同一直线上时;
过点D、P分别作DF⊥轴于F、PG⊥轴于G,则DF∥PG.....9分
∴△OPG∽△ODF,∴.......10分
∴,,,
∴,.........11分
∴当,点O、P、D在同一条直线上.......12分
5.28.(10分)(2013•衡阳)如图,在平面直角坐标系中,已知A(8,0),B(0,6),⊙M经过原点O及点A、B.
(1)求⊙M的半径及圆心M的坐标;
(2)过点B作⊙M的切线l,求直线l的解析式;
(3)∠BOA的平分线交AB于点N,交⊙M于点E,求点N的坐标和线段OE的长.
解答:
解:
(1)∵∠AOB=90°,
∴AB为⊙M的直径,
∵A(8,0),B(0,6),
∴OA=8,OB=6,
∴AB==10,
∴⊙M的半径为5;圆心M的坐标为((4,3);
(2)点B作⊙M的切线l交x轴于C,如图,
∵BC与⊙M相切,AB为直径,
∴AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
∴∠CBO+∠ABO=90°,
而∠BAO=∠ABO=90°,
∴∠BAO=∠CBO,
∴Rt△ABO∽Rt△BCO,
∴=,即=,解得OC=,
∴C点坐标为(﹣,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(0,6)、C点(﹣,0)分别代入,
解得,
∴直线l的解析式为y=x+6;
(3)作ND⊥x轴,连结AE,如图,
∵∠BOA的平分线交AB于点N,
∴△NOD为等腰直角三角形,
∴ND=OD,
∴ND∥OB,
∴△ADN∽△AOB,
∴ND:
OB=AD:
AO,
∴ND:
6=(8﹣ND):
8,解得ND=,
∴OD=,ON=ND=,
∴N点坐标为(,);
∵△ADN∽△AOB,
∴ND:
OB=AN:
AB,即:
6=AN:
10,解得AN=,
∴BN=10﹣=,
∵∠OBA=OEA,∠BOE=∠BAE,
∴△BON∽△EAN,
∴BN:
NE=ON:
AN,即:
NE=:
,解得NE=,
∴OE=ON+NE=+=7.
6.如图,在坐标系中,已知D(-5,4),B(-3,0),过D点分别作DA、DC垂直于轴,轴,垂足分别为A、C两点,动点P从O点出发,沿轴以每秒1个单位长度的速度向右运动,运动时间为t秒。
(1)当t为何值时,PC∥DB;(3分)
(2)当t为何值时,PC⊥BC;(4分)
(3)以点P为圆心,PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与△BCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值。
(3分)
解答:
解:
(1)∵D(﹣5,4),B(﹣3,0),过D点分别作DA、DC垂直于x轴,y轴,垂足分别为A、C两点,
∴DC=5,OC=4,OB=3,
∵DC⊥y轴,x轴⊥y轴,
∴DC∥BP,
∵PC∥DC,
∴四边形DBPC是平行四边形,
∴DC=BP=5,
∴OP=5﹣3=2,
2÷1=2,
即当t为2秒时,PC∥BD;
(2)∵PC⊥BC,x轴⊥y轴,
∴∠COP=∠COB=∠BCP=90∴,
∴∠PCO+∠BCO=90°,∠CPO+∠PCO=90°,
∴∠CPO=∠BCO,
∴△PCO∽△CBO,
∴=,
∴=,
∴OP=,
÷1=,
即当t为秒时,PC⊥BC;
(3)设⊙P的半径是R,
分为三种情况:
①当⊙P与直线DC相切时,
如图1,过P作PM⊥DC交DC延长线于M,
则PM=OC=4=OP,
4÷1=4,
即t=4;
②如图2,当⊙P与BC相切时,
∵∠BOC=90°,BO=3,OC=4,由勾股定理得:
BC=5,
∵∠PMB=∠COB=90°,∠CBO=∠PBM,
∴△COB∽△PBM,
∴=,
∴=,
R=12,
12÷1=12,
即t=12秒;
③根据勾股定理得:
BD==2,
如图3,当⊙P与DB相切时,
∵∠PMB=∠DAB=90°,∠ABD=∠PBM,
∴△ADB∽△MPB,
∴=,
∴=,
R=6+12;
(6+12)÷1=6+12,
即t=(6+12)秒.
7.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的⊙O上,连接OC,过O点作OD⊥OC,OD与⊙O相交于点D(其中点C、O、D按逆时针方向排列),连接AB.
(1)当OC∥AB时,∠BOC的度数为 45°或135° ;
(2)连接AC,BC,当点C在⊙O上运动到什么位置时,△ABC的面积最大?
并求出△ABC的面积的最大值.
(3)连接AD,当OC∥AD时,
①求出点C的坐标;②直线BC是否为⊙O的切线?
请作出判断,并说明理由.
考点:
圆的综合题.
专题:
综合题.
分析:
(1)根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形,则∠OBA=45°,由于OC∥AB,所以当C点在y轴左侧时,有∠BOC=∠OBA=45°;当C点在y轴右侧时,有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°;
(2)由△OAB为等腰直角三角形得AB=OA=6,根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时,△ABC的面积最大,过O点作OE⊥AB于E,OE的反向延长线交⊙O于C,
此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE,然后计算△ABC的面积;
(3)①过C点作CF⊥x轴于F,易证Rt△OCF∽Rt△AOD,则=,即=,解得CF=,再利用勾股定理计算出OF=,则可得到C点坐
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