学年高一上学期期末考试数学试题 2.docx
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学年高一上学期期末考试数学试题2
一、选择题:
(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的序号填在答题纸上.)
1.已知cos(+φ)=且|φ|<,则tanφ等于( )
A.-B.-C.D.
【答案】B
【解析】利用诱导公式可得:
,
结合可得:
,
利用同角三角函数基本关系有:
.
本题选择B选项.
2.已知,,则用表示为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由对数的运算法则结合换底公式有:
,
且:
,
据此可得:
.
本题选择C选项.
3.下列大小关系正确的是()
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】试题分析:
根据指数的性质可知:
,,根据对数的性质,所以,故选择D.
考点:
1.指数对数的比较大小;2.指数、对数的运算性质.
4.已知函数,则函数y=f(x)的大致图象为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】函数是一个非奇非偶函数,图象不关于原点对称,故排除,又当时,函数值等于,故排除,故选A.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择综合考查函数的图象与性质,属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意的选项一一排除.
5.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由弦长公式,可得,其中是弦所在的圆的半径,是弦所对圆心角,是弦长,解得,所以这个圆心角所对的弧长为,故选B.
6.下列关系正确的是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由集合与元素的关系可得:
,...............
由集合与集合的关系可得:
,
结合所给选项可知只有A选项正确.
本题选择A选项.
7.设函数,则的值为()
A.B.1C.2D.0
【答案】C
【解析】由题意可知:
,故,故选C.
8.下列函数中在区间上为增函数的是()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】的对称轴在区间上不是增函数,故错;又的底数大于小于,单调递减,故错;的底数大于小于,为减函数,故错;中,指数在单调递增,故正确,故选C.
9.设函数,且为奇函数,则()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】设,则,由奇函数的性质有:
,
则.
本题选择D选项.
10.根据表格中的数据,可以断定方程的一个根所在的区间是()
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
1
2
3
4
5
A.(-1,0)B.(1,2)C.(0,1)D.(2,3)
【答案】B
【解析】令,则函数具有连续性,结合题中所给的表格可知:
,
利用函数零点存在定理可得:
方程的一个根所在的区间是(1,2).
本题选择B选项.
点睛:
利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
11.可推得函数在区间上为增函数的一个条件是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】当时,,函数是R上的减函数,不合题意,
否则,满足题意时同时考查二次函数的开口方向和对称轴应有:
或.
只有选项D符合题意.
本题选择D选项.
点睛:
二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从:
①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析.
12.已知函数,若实数是方程的解,且,则的值( )
A.恒为正值B.恒为负值C.等于0D.不能确定
【答案】A
【解析】由于实数是方程的解,则,
由于在上递减,在上递增,
则在上递减,
由于,则,
即有,
本题选择A选项.
二、填空题:
(本大题共4小题,每小题5分,共20分。
在答题卡上的相应题目的答题区域内作答)
13.求值:
________
【答案】
【解析】由题意结合对数、指数的运算法则有:
.
14.方程的实数解为_______.
【答案】
【解析】试题分析:
令t=3x(t>0)
则原方程可化为:
(t﹣1)2=9(t>0)
∴t﹣1=3,t=4,即x=log34可满足条件
即方程的实数解为log34.
考点:
函数的零点
点评:
本题考查的知识点是根的存在性,利用换元法将方程转化为一个一元二次方程是解答本题的关键,但在换元过程中,要注意对中间元取值范围的判断
视频
15.已知函数,则=____________
【答案】-2
【解析】时,,,,故答案为.
【思路点睛】本题主要考查函数的周期性、诱导公式以及特殊角的三角函数、分段函数的解析式,属于中档题.对于分段函数解析式的考查是高考命题的动向之一,这类问题的特点是综合性强,对抽象思维能力要求高,因此解决这类题一定要层次清出,思路清晰.本题解答分两个层次:
首先利诱导公式以及特殊角的三角函数用求出的值,再利用周期性求出的值,然后求和即可得结果.
16.给出下列命题,其中正确的序号是__________________(写出所有正确命题的序号)
①函数的图像恒过定点;
②已知集合,则映射中满足的映射共有1个;
③若函数的值域为,则实数的取值范围是;
④函数的图像关于对称的函数解析式为
【答案】①④
【解析】①当时,总有,函数的图像恒过定点,故①正确;②已知集合,则映射中满足的映射共有个,故②错误;③若函数的值域为,则,故实数的取值范围是,故③错误;④因为函数与互为反函数,所以的图象关于直线对称的函数解析式为,故④正确,故答案为①④.
三、解答题.(本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明,推理过程或演算步骤)
17.已知集合,.
(1)若,求;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】
(1);
(2).
【解析】试题分析:
(1)当时,,求交集即可;
(2),即A是B的子集,结合数轴分析即可得到不等关系,从而求解.
试题解析:
(1)若,
集合,.
则;
(2)若,则即,
所以实数的取值范围是.
点睛:
本题考查集合的交并补运算,涉及函数定义域值域问题,属于容易题.解决集合问题,首先要化简集合,一般要进行不等式求解,函数定义域、值域等相关问题的处理,化简完成后,进行集合的交并补相关运算,注意利用数轴,数形结合,特别是端点处值的处理,一定要细心谨慎.
18.设函数(且),若的图象过点(1,7).
(1)求的值及的零点.
(2)求不等式的解集
【答案】
(1);
(2)
【解析】试题分析:
(1)由的图象过点得,令求解零点即可;
(2)由即,进而得,有即可得解.
试题解析:
()∵经过点,
即,
又∵,
∴,
∴时,
解得,
零点为.
()∵即,
∴,
∴,
∴,
∴不等式解集为.
19.已知cos(75°+α)=,α是第三象限角,
(1)求sin(75°+α)的值.
(2)求cos(α-15°)的值.
(3)求sin(195°-α)+cos(105o-α)的值.
【答案】
(1)-;
(2)-;(3).
【解析】试题分析:
(1)由题意可得是第四象限角,结合同角三角函数基本关系可得;
(2)利用诱导公式和
(1)的结论可得cos(α-15°)的值为
(3)由题意结合诱导公式可得:
sin(195°-α)+cos(105o-α)=-sin[90°-(75°+α)]-cos(75°+α).
试题解析:
(1)∵cos(75°+α)=>0,α是第三象限角,
∴75°+α是第四象限角,
且sin(75°+α)=
(2)cos(α-15°)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)=-
(3)sin(195°-α)+cos(105o-α)
=sin[180°+(15°-α)]+cos[180oo-(75°+α)]
=-sin(15°-α)-cos(75°+α)
=-sin[90°-(75°+α)]-cos(75°+α)
=-2cos(75°+α)=.
20.已知角的张终边经过点,且为第二象限.
(1)求的值;
(2)若,求的值.
【答案】
(1);
(2).
【解析】试题分析:
(1)由三角函数的定义可得,解得,又为第二象限角,所以。
(2)由
(1)可得,化简,代入的值可得结果。
试题解析:
(1)由三角函数定义可知,
解得
为第二象限角,
.
(2)由知,
21.已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)若函数的最小值为,求的值.
【答案】
(1).
(2).
【解析】试题分析:
(1)根据对数函数的真数大于零列不等式组,解不等式组即可求得函数的定义域;
(2)根据对数的运算法则化简函数的解析式,利用对数函数的单调性,结合二次函数的最值,求出函数的最小值,列出关于的方程,解出即可.
试题解析:
(1)要使函数有意义,则有,
解得,所以定义域为.
(2)函数可化为
,
又,,即的最小值为
由,得,.
【方法点晴】本题主要考查函数的定义域、二次函数的最值以及复合函数的单调性,属于中档题.定义域的三种类型及求法:
(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;
(2)对实际问题:
由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解;(3)若已知函数的定义域为,则函数的定义域由不等式求出.
22.已知函数(>0,≠1,≠﹣1),是定义在(﹣1,1)上的奇函数.
(1)求实数的值;
(2)当=1时,判断函数在(﹣1,1)上的单调性,并给出证明;
(3)若且,求实数的取值范围.
【答案】
(1)m=1.
(2)见解析;(3).
【解析】试题分析:
(1)由函数是奇函数,对定义域内的所有自变量成立,可得对定义域内的都成立,可得,从而可求出实数的值;
(2)先先根据单调性的定义判断并证明真数的单调性,分别两种情况讨论对数底数的范围,结合复合函数的单调性即可判断函数在上的单调性;(3)先根据得到的范围,再结合其为奇函数把转化为,利用第二问的单调性即可求出实数的取值范围.
试题解析:
(1)∵函数是奇函数,∴
∴∴;∴
∴,
整理得对定义域内的都成立.∴.
所以或(舍去)∴.
(2)由
(1)可得;令
设,则
∵∴,∴.
当时,,即.
∴当时,在(﹣1,1)上是减函数.
当时,,即.
∴当时,在(﹣1,1)上是增函数.
(3)∵,∴,
由,得,
∵函数是奇函数,∴,
故由
(2)得在(﹣1,1)上是增函数,∴
解得∴实数的取值范围是。
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