哈九中初中部数学小测学生版.docx
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哈九中初中部数学小测学生版
8.1.1相交线
点拨与帮助
例1.
(1)如图1,直线AB、CD相交于点O,若∠1=28°,
则∠2=°。
(2)如图2射线OC的端点O在直线AB上,∠AOC的度数比∠BOC的2倍多10°。
设∠AOC和∠BOC的度数分别为x、y,则下列正确的方程组为()
A、
B、
C、
D、
析解:
此题的两个小题要求正确识别对顶角及邻补角,并且运用其性质进行有关运算。
在两条直线相交所成的四个角中,已知其中一个角的度数,可由对顶角和邻补角的性质,求出其它三个角的度数。
(1)由于∠1和∠2是对顶角,所以∠2=∠1=28°;
(2)由于∠AOC和∠BOC是邻补角,因此
,AOC的度数比∠BOC的2倍多10°,因此
。
故选B。
自主学习反馈
1.以下四个图形中,∠1和∠2是对顶角的是()毛
2.以下四种说法:
①对顶角相等②相等的角是对顶角③不是对顶角的两个角不相等④不相等的两个角不是对顶角.其中正确的是()
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
3.两条直线相交所得四个角,其中一个角是63°,则其余三个角分别为______,_______,________.
4.若∠1的对顶角是∠2,∠2的补角是∠3,且∠3是54°,则∠1=_______.
5如图,直线AB与CD相交于点O,OE是∠AOC的平分线,现已测得∠BOC=60°.
(1)求∠EOD的度数;
(2)与∠BOC相等的角有几个?
把它们写出来.
思维拓展
6.三条直线相交于同一点,对顶角的对数是()
(A)6对(B)8对(C)10对(D)12对
7如图,直线AB,CD相交于点O,OB平分∠DOE,若∠DOE=40°,求∠AOC的度数.
8如图,直线AB,CD交于点M,MN是∠BMC的平分线,∠AMN=140°,求∠AMD的度数.
9已知直线AB与CD,EF相交于点O,且∠AOE=122°,∠BOC=107°,求∠DOF的度数.
中考写真
10.下图,寻找对顶角(不含平角):
交于一点的直线的条数
2
3
4
5
…
2004
…
n
对顶角的
对数
11.
如图,已知直线AB、CD相交于O,OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的角平分线,射线OE、OF在同一条直线上吗?
为什么?
8.1.2垂线
(一)
点拨与帮助
例1如图1∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,则下面的结论中,正确的个数为( )
① AC与CB互相垂直②CD和BC互相垂直③点B到AC的垂线段是线段CA④点C到AB的距离是线段CD;⑤线段AC的长度是点A到BC的距离;
A2个B3个C4个D5个
解析:
由垂直的特征:
可得①正确②错误,点B到AC的垂线段应是线段BC,点C到AB的距离指得是垂线段CD的长度,故③④都错,⑤符合定义,正确;所以此题应选A
自主学习反馈
一、选择题:
1.如图1所示,下列说法不正确的是()毛
A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段AC
C.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段
(1)
(2)(3)
2.如图1所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有()
A.2条B.3条C.4条D.5条
3.下列说法正确的有()
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;
④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图2所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD的范围是()
A.大于acmB.小于bcm
C.大于acm或小于bcmD.大于bcm且小于acm
5.到直线L的距离等于2cm的点有()
A.0个B.1个;C.无数个D.无法确定
6.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到 直线m的距离为()
A.4cmB.2cm;C.小于2cmD.不大于2cm
二、填空题:
1.如图3所示,直线AB与直线CD的位置关系是_______,记作_______,此时,∠AO D=
∠_______=∠_______=∠_______=90°.
2.过一点有且只有________直线与已知直线垂直.
3.画一条线段或射线的垂线,就是画它们________的垂线.
4.直线外一点到这条直线的_________,叫做点到直线的距离.
思维拓展
三、如图所示,直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°,求∠DOG的度数.
四、如图所示,村庄A要从河流L引水入庄,
需修筑一水渠,请你画出修筑水渠的路线图.
五、如图所示,O为直线AB上一点,∠AOC=
∠BOC,OC是∠AOD的平分线.
(1)求∠COD的度数;
(2)判断OD与AB的位置关系,并说明理由.
中考写真
(2001.杭州)如图所示,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是 位于公路AB两侧的村庄,设汽车行驶到P点位置时,离村庄M最近,行驶到Q点位置时,离村庄N最近,请你在AB上分别画出P,Q两点的位置.
8.1.2垂线
(二)
点拨与帮助
例题:
(1)如图,已知AB⊥CD,垂足为O,图中∠1与∠2的关系是()。
A.∠1+∠2=180ºB.∠1+∠2=90º
C.∠1=∠2D.无法确定
(2)直线AB、CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,
∠DOF=750,求∠AOE的度数。
析解:
此题是应用垂线的性质来判定两角的关系和计
算角的大小的考题,应恰当运用垂线的性质。
(1)AB⊥CD,
∠1+∠COF=90º,而∠2与∠COF是对顶角即∠2=∠COF,所以∠1+∠2=90º。
(2)直线AB、CD相交于点O,
∠DOB=∠AOC(对顶角相等),
而OF⊥AB,
∠DOB=90º-∠DOF=15º,
又由于OE⊥CD,∠COE=90º
所以∠AOE=∠DOB+∠COE=15º+90º=105º。
自主学习反馈
1.过线段AB的中点画直线L⊥AB,若AB=2cm,那么点A到直线L的距离是()毛
(A)1cm(B)2cm(C)4cm(D)无法计算
2.已知平面内有直线L,点P到直线L的距离为2,这样的P点有()
(A)1个(B)2个(C)无数个(D)不能确定
3.点A为直线L外一点,点B在直线L上,若AB=5厘米,则点A到直线L的距离为()
(A)就是5厘米;(B)大于5厘米;
(C)小于5厘米;(D)最多为5厘米。
4.如图1,AC⊥BC,CD⊥AB,C,D分别是垂足,则点A到BC的距离是______,点B到AC的距离是_____,点C到AB的距离是______,点B到CD的距离是______.
(1)
(2)(3)
5.自钝角的顶点引它的一边垂线,把这个钝角分成两个角的度数比为3:
2,则该钝角的度数是_______.
6.如图2,OC⊥AB于点O,OC平分∠DOE,若∠1=63°,则∠3=_______.
7.图3是某次跳远测验中某同学跑远情况示意图.该名同学的成绩该如何测量,请你画图示意.
8.如图,直线AB,CD交于点O,OE平分∠AOD,OF⊥OE于点O,若∠BOC=80°,则∠DOF=()
(A)100°(B)120°(C)130°(D)115°
9.过一条线段外一点画这条线段的垂线,垂足在()
(A)这条线段上;(B)这条线段的端点上
(C)这条线段的延长线上;(D)以上都有可能
10.已知点M是直线L外一点,作MN⊥L,垂足为N,过M点作另一直线MB,交直线L于点B,又作NC⊥MB,垂足为C,则下列一定成立的是()
(A)MN>NB(B)MC>NC(C)NC>BC(D)MB>MN
思维拓展
11.如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,OF平分∠AOD,∠COE=60°,求∠AOF和∠DOE的度数.
12.如图,过点O分别画AB,BC,AC的垂线,并标明垂足.
中考写真
13.如图,OA⊥OB,ON平分锐角∠AOC,OM平分∠BOC,求∠MON的度数.
8.2.1平行线
点拨与帮助
注意:
1平面中两条直线的位置关系有两种:
相交和平行
2在定义中”在同一平面内”条件必不可少
自主学习反馈
一、选择题:
1.在同一平面内,两条直线的位置关系可能是()毛
A.平行或相交B.垂直或相交;C.垂直或平行D.平行、垂直或相交
2.下列说法正确的是()
A.经过一点有一条直线与已知直线平行
B.经过一点有无数条直线与已知直线平行
C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
3.在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为()
A.0个B.1个C.2个D.3个
4.下列说法正确的有()
①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种;
③若线段AB与CD没有交点,则AB∥CD;④若a∥b,b∥c,则a与c不相交.
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.过一点画已知直线的平行线,则()
A.有且只有一条B.有两条;C.不存在D.不存在或只有一条
二、填空题:
1.在同一平面内,____________________________________叫做平行线.
2.若AB∥CD,AB∥EF,则_____∥______,理由是__________________.
3.在同一平面内,若两条直线相交,则公共点的个数是________;若两条直线平行,则公共点的个数是_________.
4.同一平面内的三条直线,其交点的个数可能为________.
5.直线L同侧有A,B,C三点,若过A,B的直线L1和过B,C的直线L2都与L平行,则A,B,C三点________,理论根据是___________________________.
思维拓展
1.如图所示,a∥b,a与c相交,那么b与c相交吗?
为什么?
2.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,P是AB的中点,过P点作AD的平行线交DC于Q点.
(1)PQ与BC平行吗?
为什么?
(2)测量PQ与CQ的长,DQ与CQ是否相等?
3.根据下列要求画图.
(1)如图
(1)所示,过点A画MN∥BC;
(2)如图
(2)所示,过点P画PE∥OA,交OB于点E,过点P画PH∥OB,交OA于点H;
(3)如图(3)所示,过点C画CE∥DA,与AB交于点E,过点C画CF∥DB,与AB的延长线交于点F.
(1)
(2)(3)
中考写真
4.平面内有10条直线,无任何三条交于一点,欲使它们有31个交点,怎样才能办到?
8.2.2直线平行的条件
点拨与帮助:
例:
在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?
为什么?
这个问题的研究,就是回答了折线方法的合理性.
首先对折直线a,使折线过点P,于是把一个平角分成两个相等的∠1、∠2,因为∠1+∠2=180°,所以∠1=∠2=90°.
其次再对折折线b,使折线c过点P,很显然∠3=90°.
由垂直定义,可知a⊥b,c⊥b.
垂直与直角总联系在一起.至于要判定两条直线是否平行,先考虑学过哪些判定平行线的方法,题中的条件与某种判定方法的条件是否相同?
推理过程:
如课图
因为b⊥a,c⊥a,
所以∠1=∠2=90°,
从而b∥c.
自主学习反馈:
一、选择题:
1.在下图中,∠1和∠2是同位角的是()
A.
(2)、(3)B.
(1)、
(2)、(3)C.
(1)、
(2)、(4)D.(3)、(4)
2.如图5,已知∠1=∠2=∠3=∠4,则图形中平行的是()
A.AB∥CD∥EF;B.CD∥EF;C.AB∥EF;D.AB∥CD∥EF,BC∥DE
(5)(6)
3.如图6,已知∠1=∠2,则在结论:
(1)∠3=∠4,
(2)AB∥CD,(3)AD∥BC中()
A.三个都正确B.只有一个正确;C.三个都不正确D.只有一个不正确
4.如图7,∠ADE和∠CED是()
A、同位角B、内错角C、同旁内角D、互为补角
5.若a⊥b,c⊥b则a与c的关系是()
A、平行B、垂直C、相交D、以上都不对
6.如图8,所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是()毛
A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD
(8)(9)(10)
7.如图9,所示,如果∠D=∠EFC,那么()
A.AD∥BCB.EF∥BCC.AB∥DCD.AD∥EF
8.如图10,所示,能判断AB∥CE的条件是()
A.∠A=∠ACEB.∠A=∠ECDC.∠B=∠BCAD.∠B=∠ACE
9.下列说法错误的是()
A.同位角不一定相等B.内错角都相等
C.同旁内角可能相等D.同旁内角互补,两直线平行
10.不相邻的两个直角,如果它们有一边在同一直线上,那么另一边相互()
A.平行B.垂直C.平行或垂直D.平行或垂直或相交
二、填空题:
1.在同一平面内,直线a,b相交于P,若a∥c,则b与c的位置关系是______.
2.在同一平面内,若直线a,b,c满足a⊥b,a⊥c,则b与c的位置关系是______.
3.如图所示,BE是AB的延长线,量得∠CBE=∠A=∠C.
(1)由∠CBE=∠A可以判断______∥______,根据是_________.
(2)由∠CBE=∠C可以判断______∥______,根据是_________.
4.如图所示,已知∠B=50°,∠C=50°,B、O、A在一条直线上,OM平分∠AOC,
则OM∥BC,理由如下:
∵∠COA=∠B+∠C(_________),
又∵∠B=50°,∠C=50°(________),
∴∠COA=______.
又∵OM平分∠AOC,
∴∠1=
∠AOC=_______(___________),
∴∠B=_______,
∴______∥______(___________).
5.如图所示,当∠______=∠_______或∠_______=∠_______时,DF∥BE;当∠_______=∠______或∠_______=∠______时,DC∥BA.
(10题)
6.如图,在甲、乙两地之间要修一条公路,从甲地测得公路的走向是北偏东55°.若甲、乙两地同时开工,那么在乙地公路走向按________施工,才能使公路准确接通.
7.找出图中的同位角,内错角,同旁内角(仅限于用数字表示).
(1)如图
(1)所示;
(2)如图
(2)所示.
(6题)
8、如图直线AB分别交直线EF,CD于点M,N只需添一个条件就可得到EF∥CD。
9.已知,如图,∠1=∠ABC=∠ADC,∠3=∠5,∠2=∠4,∠ABC+∠BCD=180°.将下列推理过程补充完整:
(1)∵∠1=∠ABC(已知),
∴AD∥______
(2)∵∠3=∠5(已知),
∴AB∥______,
(_______________________________)
(3)∵∠ABC+∠BCD=180°(已知),(8题)(9题)
∴_______∥________,
(________________________________)
10.已知直线m及直线m外一点,利用“同位角相等,两直线平行”过点P画直线n∥m.
三、解答题:
(每小题5分,共40分)
如图所示,已知∠1=∠2,AC平分∠DAB,试说明DC∥AB.
2.如图,已知
,
,
.
试判断
与
的关系,并说明你的理由.
3.如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E=30°,试说明AB∥CD.
4.如图所示,∠A=70°,∠ABC=110°,请说明AD∥BC的理由.
5.如图所示,∠C+∠D=∠B,请说明AB∥DE的理由.
6.如图,
,
,
.问
吗?
为什么?
7.如图所示,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,∠1+∠2=90°,那么,直线AB、CD的位置关系如何?
说明你的理由.
8.如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?
为什么?
思维拓展:
1.如图所示,请写出能够得到直线AB∥CD的所有直接条件.
2.一辆汽车在笔直的公路上行驶,第一次向左拐45°,再在笔直的公路上行驶一段后,第二次向右拐45°,请判断这辆汽车行驶的方向是否和原来的方向相同?
为什么?
3.
(1)如图,已知∠1=∠2,BD平分∠ABC,可推出哪两条线段平行?
为什么?
(2)如果要推出另两条线段平行,则怎样将以上两条件之一作改变?
为什么?
4.如图,有一对相关的角相等,就可以判断AE∥BF,请你根据图中所标注的角,写出四组这些相关的角,并说明理由.
5.地面上有10条公路(假设公路是直线),无任何三条公路交于同一岔口,现有31位交警刚好是每个岔口有且只有一个交警值勤,请你画出公路的示意图.
中考写真:
1.(2000.江苏)如图所示,直线a,b被直线c所截,现给出下列四个条件:
①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明a∥b的条件序号为()
A.①②B.①③C.①④D.③④
2.(2005年,山东潍坊)如图,在△ABC中,D、E、F分别在AB、BC、AC上,且EF∥AB,要使DF∥BC,只需再有下列条件中的()
A.∠1=∠2B.∠1=∠DFEC.∠1=∠AFDD.∠2=∠AFD
8.3平行线的性质
点拨与帮助:
已知:
如图,a∥c,a⊥b,直线b与c垂直吗?
为什么?
(1)要说明b⊥c,根据两条直线互相垂直的意义,需要从它们所成的角中说明某个角是90°,是哪一个角?
通过什么途径得来?
(2)已知a⊥b,这个“形”通过哪个“数”来说理,即哪个角是90°.
(3)上述两角应该有某种直接关系,如同位角关系、内错角关系、同旁内角关系,你能确定它们吗?
自主学习反馈:
一、选择题:
1.如图1所示,AB∥CD,则与∠1相等的角(∠1除外)共有()毛
A.5个B.4个C.3个D.2个
(1)
(2)(3)
2.如图2所示,已知DE∥BC,CD是∠ACB的平分线,∠B=72°,∠ACB=40°,那么∠BDC等于()
A.78°B.90°C.88°D.92°
3.下列说法:
①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;③内错角相等,两直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是()
A.①B.②和③C.④D.①和④
4.若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相()
A.垂直B.平行C.重合D.相交
5.如图3所示,CD∥AB,OE平分∠AOD,OF⊥OE,∠D=50°,则∠BOF为()
A.35°B.30°C.25°D.20°
6.如图4所示,AB∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C等于()
A.180°B.360°C.540°D.720°
(4)(5)
7.如图5所示,AB∥EF∥CD,EG∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有()
A.6个B.5个C.4个D.3个
8.若∠1与∠2的关系为同位角,∠1=40°,则∠2等于()
(A)40°(B)140°(C)40°或140°(D)不确定
9.如图6,a∥b,a、b被c所截,得到∠1=∠2的依据是()
A.两直线平行,同位角相等B.两直线平行,内错角相等
C.同位角相等,两直线平行D.内错角相等,两直线平行
(6)(7)(8)
10.同一平面内有四条直线a、b、c、d,若a∥b,a⊥c,b⊥d,则直线c、d的位置关系为()
A.互相垂直B.互相平行C.相交D.无法确定
11.如图7,AB∥CD,那么()
A.∠1=∠4B.∠1=∠3C.∠2=∠3D.∠1=∠5
12.如图8,在平行四边形ABCD中,下列各式不一定正确的是()
A.∠1+∠2=180°B.∠2+∠3=180°
C.∠3+∠4=180°D.∠2+∠4=180°
13.如图9,AD∥BC,∠B=30°,DB平分∠ADE,则∠DEC的度数为()
A.30°B.60°C.90°D.120°
(9)(10)(11)
14.如图10,AB∥CD,AD,BC相交于O,∠BAD=35°,∠BOD=76°,则∠C的度数是()
A.31°B.35°C.41°D.76°
15.如图11,AB∥CD,AD∥BC,则下列各式中正确的是()
A.∠1+∠2>∠3B.∠1+∠2=∠3
C.∠1+∠2<∠3D.∠1+∠2与∠3无关
二、填空题:
1.如图所示,DE∥BC,若∠AED=42°,∠ADE=80°,则∠B=_____,∠C=_______.
2.如图所示,已知BC∥DE,EF∥AB,
(1)∵DE∥BC(已知),
∴∠1=_______,∠4=______(_________).
(2)∵EF∥AB(已知),
∴∠3=_______,∠5=_______(____________).
(第1题)(第2题)(第3题)
3.如图所示,已知DE∥BC,∠1=∠2,则∠B=∠C.
∵DE∥BC(__________),
∴∠1=_______,∠2=______(___________).
又∵∠1=∠2(__________),
∴∠B=∠C(_________).
4.如图所示,AB∥CD,∠1=∠2,则BE∥DF.
∵AB∥CD,
∴∠ABM=∠_______(__________).
∵∠1=∠2,
∴∠ABM-∠1=∠_______-∠2,即∠______=∠_______,
∴BE∥DF(________).
5.如图所示,EF∥AB,ED∥CB,则∠B=∠DEF.(第4题)
∵EF∥AB(已知),
∴∠A=∠
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