二次函数中角的存在性问题.docx
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二次函数中角的存在性问题.docx
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二次函数中角的存在性问题
【2019·德州】如图,抛物线y=mx2﹣mx﹣4与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,
与y轴交于点C,且x2﹣x1=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线上的两点,当a≤x1≤a+2,x2≥时,均有y1≤y2,求a的取值范围;
(3)抛物线上一点D(1,﹣5),直线BD与y轴交于点E,动点M在线段BD上,当∠BDC=∠MCE时,求点M的坐标.
【2019·济南】如图1,抛物线C:
y=ax2+bx经过点A(﹣4,0)、B(﹣1,3)两点,G是
其顶点,将抛物线C绕点O旋转180°,得到新的抛物线C′.
(1)求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标;
(2)如图2,直线l:
y=kx﹣经过点A,D是抛物线C上的一点,设D点的横坐标为m(m<﹣2),连接DO并延长,交抛物线C′于点E,交直线l于点M,若DE=2EM,求m的值;
(3)如图3,在
(2)的条件下,连接AG、AB,在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P,使得∠DEP=∠GAB?
若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
【2019·泰安】若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3,0)、B(0,
﹣2),且过点C(2,﹣2).
(1)求二次函数表达式;
(2)若点P为抛物线上第一象限内的点,且S△PBA=4,求点P的坐标;
(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M,使∠ABO=∠ABM?
若存在,求出点M到y轴的距离;若不存在,请说明理由.
【2019·苏州】
如图①,抛物线与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C,已知的面积为6.
(1)求的值;
(2)求外接圆圆心的坐标;
(3)如图②,P是抛物线上一点,点Q为射线CA上一点,且P、Q两点均在第三象限内,Q、A是位于直线BP同侧的不同两点,若点P到x轴的距离为d,的面积为,且,求点Q的坐标.
(图①)(图②)
【2019·宿迁】
如图,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点,其中点A坐标为(1,0),与y轴交于点C
(0,﹣3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图①,连接AC,点P在抛物线上,且满足∠PAB=2∠ACO.求点P的坐标;
(3)如图②,点Q为x轴下方抛物线上任意一点,点D是抛物线对称轴与x轴的交点,直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问DM+DN是否为定值?
如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
【2019·盐城】
如图所示,二次函数y=k(x﹣1)2+2的图象与一次函数y=kx﹣k+2的图象交于A、B两点,
点B在点A的右侧,直线AB分别与x、y轴交于C、D两点,其中k<0.
(1)求A、B两点的横坐标;
(2)若△OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值;
(3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k,使得∠ODC=2∠BEC,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
【2019·湖北·咸宁】
如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y
=﹣x2+bx+c经过A,B两点且与x轴的负半轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点,当∠ABD=2∠BAC时,求点D的坐标;
(3)已知E,F分别是直线AB和抛物线上的动点,当B,O,E,F为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出所有符合条件的E点的坐标.
【2019·贵州·毕节】
已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C,点P为第二
象限内抛物线上的动点.
(1)抛物线的解析式为 ,抛物线的顶点坐标为 ;
(2)如图1,连接OP交BC于点D,当S△CPD:
S△BPD=1:
2时,请求出点D的坐标;
(3)如图2,点E的坐标为(0,﹣1),点G为x轴负半轴上的一点,∠OGE=15°,连接PE,若∠PEG=2∠OGE,请求出点P的坐标;
(4)如图3,是否存在点P,使四边形BOCP的面积为8?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【2019·贵州·贵阳】
如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且关于直线x
=1对称,点A的坐标为(﹣1,0).
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接BC,若点P在y轴上时,BP和BC的夹角为15°,求线段CP的长度;
(3)当a≤x≤a+1时,二次函数y=x2+bx+c的最小值为2a,求a的值.
【2019·贵州·黔东南州】
已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C,点P为第二
象限内抛物线上的动点.
(1)抛物线的解析式为 ,抛物线的顶点坐标为 ;
(2)如图1,连接OP交BC于点D,当S△CPD:
S△BPD=1:
2时,请求出点D的坐标;
(3)如图2,点E的坐标为(0,﹣1),点G为x轴负半轴上的一点,∠OGE=15°,连接PE,若∠PEG=2∠OGE,请求出点P的坐标;
(4)如图3,是否存在点P,使四边形BOCP的面积为8?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【2019·海南省】
如图,已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(﹣5,0),B(﹣4,﹣3)两点,与x轴的另一个交
点为C,顶点为D,连结CD.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合),设点P的横坐标为t.
①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值;
②该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC=∠BCD?
若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【2019·内蒙古·赤峰】
如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B、C,
与x轴另一交点为A,顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴上找一点E,使EC+ED的值最小,求EC+ED的最小值;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得∠APB=∠OCB?
若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
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