常用逻辑用语知识点Word格式.docx
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2.逻辑联结词:
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.
(1)不含逻辑联结词的命题叫简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.
(2)复合命题的构成形式:
①p或q;
②p且q;
③非p(即命题p的否定)
(3)复合命题的真假判断(利用真值表):
1当p、q同时为假时,“p或q”为假,其它情况时为真,可简称为“一真必真”;
2当p、q同时为真时,“p且q”为真,其它情
况时为假,可简称为“一假必假”
3“非P”与p的真假相反•
(1)逻辑连结词“或”的理解是难点,“或”有三层含义,以“p或q”为例:
一是p成立
且q不成立,二是p不成立但q成立,三是p成立且q也成立。
可以类比于集合中“:
」或―”.
(2)“或”、“且”联结的命题的否定形式:
“p或q”的否定是“「p且「q”;
“p且q”的否
疋是-p或-q•
(3)对命题的否定只是否定命题的结论;
否命题,既否定题设,又否定结论。
典型例题
°
1•判断下列语句是不是命题,若是,判断出其真
假,若不是,说明理由。
(1)矩形难道不是平行四边形吗?
(2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?
(3)求证:
XR,方程X2X1=0无实根.
(4)x5
(5)人类在2020年登上火星.
(江西卷)下列命题是真命题的为()
1_1A•若厂几则x曲B.若X2’则x=i
C若xy则"
JD•若xy,则X2:
」2
3(广东)已知命题p:
所有有理数都是实数,命题q:
正数的对数都是负数,
则下列命题中为真命题的是()
A.(-p)qB.pqC.(—p)(—q)D.(—p)(—q)
&
4(北京)若p是真命题,q是假命题,则()
(A)pq是真命题(B)pq是假命题
(C)-p是真命题(D)-q是真命题
知识点二:
四种命题商
1.四种命题的形式:
用p和q分别表示原命题的条件和结论,用-p和-q分别表示p和q的否定,则四种命题的形式为:
原命题:
若p则q;
逆命题:
若q则p;
否命题:
逆否命题:
若q则p.
2.四种命题的关系:
①原命题;
逆否命题.它们具有相同的真假性,是命题
转化的依据和途径之一.
②逆命题;
否命题,它们之间互为逆否关系,具有相同的真假性,是命题转化的另一依据和途径.
除①、②之外,四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.
四种命题及其关系:
关于逆命题、否命题、逆否命题,也可以有如下表述:
第一:
交换原命题的条件和结论,所得的命题为逆命题;
第二:
同时否定原命题的条件和结论,所得的命题为否命题;
第三:
交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题为逆否命题;
5.写出"
若x=2或x=3,则x2-5x6=0"
的逆命题、否命题、逆否命题及
命题的否定,并判其真假。
解:
逆命题:
若x2-5x6=0,则x=2或x=3,是真命
题;
否命题:
若x=2且x=3,则x2-5x6=0,是真命题;
逆否命题:
若x2-5x6=0,则x=2且x=3,是真命题。
命题的否定:
若x=2或x=3,则x2-5x6=0,是假命题。
知识点三:
充分条件与必要条件:
偏
对于“若p则q”形式的命题:
1若p;
q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;
2若pq,但q1p,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件;
3若既有pq,又有q;
p,记作pq,则p是q的充分必要条件(充要条件).
2.理解认知:
(1)在判断充分条件与必要条件时,首先要分清哪是条件,哪是结论;
然后用条件推结论,
再用结论推条件,最后进行判断.
(2)充要条件即等价条件,也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.
“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.
3.判断命题充要条件的三种方法
(1)定义法:
(2)等价法:
由于原命题与它的逆否命题等价,否命题与逆命题等价,因此,如果原
命题与逆命题真假不好判断时,还可以转化为逆否命题与否命题来判断•即利用
」=与-:
」;
r—与]1与」的等价关系,
对于
条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运
用等价法.
(3)禾U用集合间的包含关系判断,比如AB可判断为AB;
A=B可判断为AB,且
BA,即AB.
如图:
u“工占力訂,且UxE』是圧月的充分不必要条件•
丄,”J—1—”」是.一的充分必要条件•
6(2011安徽)下列选项中,p是q的必要不充
08(2011福建).若a€R,则“a=1”是“|a|=1”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必
要条件
09(2012江西)“"
y”是“"
丫”的()
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条
件
知识点四:
全称量词与存在量词:
1.全称量词与存在量词:
商
全称量词及表示:
表示全体的量词称为全称量词。
表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等,通常用符号表示,读作“对任意”。
含有全称量词的命题,叫做全称命题。
全称命题"
对M中任意一个x,有p(x)成立”可表示为“宀―:
”,其中M为给定的集合,p(x)是关于x的命题.
(II)存在量词及表示:
表示部分的量称为存在量词。
表示形式为“有一个”,“存在一个”,
“至少有一个”,“有点”,“有些”等,通常用符号
“匚”表示,读作“存在”。
含有
存在量词的命题,叫做特称命题特称命题"
存在M
中的一个x,使p(x)成立”可表示
为其中M为给定的集合,p(x)是关于x的命题.
2.对含有一个量词的命题进行否定:
(I)对含有一个量词的全称命题的否定
全称命题p:
宀「「心:
,他的否定全称命题的否定是特称命题。
(II)对含有一个量词的特称命题的否定
特称命题p:
羔,他的否定T,:
八,」T,:
:
「特称命题的
否定是全称命题。
(1)命题的否定与命题的否命题是不同的•命题的否定只对命题的结论进行否定(否定一
次),而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定(否定二次)。
(2)—些常见的词的否定:
正
等
大
小
是
都是
一疋
至少
至多
面
于
一个
词
否
不
不都
疋
不是
也没
两个
有
规律方法指导:
碣
1.解答命题及其真假判断问题时,首先要理解命题及相关概念,特别是互为逆否命题的真
假性一致•
2.要注意区分命题的否定与否命题.
3.要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”
“交”“补”是相关的,将二
者相互对照可加深认识和理解.
4.处理充要条件问题时,首先必须分清条件和结论。
对于充要条件的证明,必须证明充分
性,又要证明必要性;
判断充要条件一般有三种方法:
用集合的观点、用定义和利用命
题的等价性;
求充要条件的思路是:
先求必要条件,再
证明这个必要条件是充分条件.
5.特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。
总结升华:
1.判断复合命题的真假的步骤:
1确定复合命题的构成形式;
2判断其中简单命题p和q的真假;
3根据规定(或真假表)判断复合命题的真假.
2.条件“」或■”是“或"
的关系,否定时要注意.
类型二:
启
010.写出命题"
已知,'
是实数,若ab=O,则a=0或b=0”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假。
解析:
已知「是实数,若a=0或b=0,则ab=0,真命题;
已知血是实数,若abM0,贝UaM0且bM0,真命题;
已知"
』是实数,若aM0且bM0,则abM0,真命题。
1.“已知;
'
是实数"
为命题的大前提,写命题时不应
该忽略;
2.互为逆否命题的两个命题同真假;
3.注意区分命题的否定和否命题.
类型三:
全称命题与特称命题真假的判断:
孟
1.要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中每一个元素:
,验证一成立;
要判断全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个使心不成立可;
2.要判断一个特称命题的真假,依据:
只要在限定集合M中,至少能找到一个=:
,使
成立,则这个特称命题就是真命题,否则就是假命题.
类型四:
充要条件的判断:
奁
1.处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结论;
2.正确使用判定充要条件的三种方法,要重视等价关系转换,特别是:
与.'
关系.
类型五:
求参数的取值范围:
忘
由p或q为真,知p、q必有其一为真,由p且q为假,知p、q必有一个为假,所以,“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件,再分类讨论.
11.已知p:
4xm:
0,q:
x2-x-2•0,若p是q的一个充分不必要条件,求m
的取值范围.
12.命题P:
关于x的不等式x22ax40对任意xR恒成立;
命题q:
函数y=(a-1)x•b在R上递增
若pq为真,而pq为假,求实数a的取值范围。
从认知已知条件切入,将四种命题或充要条件问题向集合问题转化,是解决这类问题的基本策略。
类型六:
证明:
亦
1.利用反证法证明时,首先正确地作出反设(否定结论)
从这个假设出发,经过推理论证,
得出矛盾,从而假设不正确,原命题成立,反证法一般适宜结论本身以否定形式出现,
或以“至多…”、“至少…”形式出现,或关于唯一性、存在性问题,或者结论的反面是
比原命题更具体更容易研究的命题.
2.反证法时对结论进行的否定要正确,注意区别命题的否定与否命题.
1.对于充要条件的证明,既要证明充分性,又要证明必要性,所以必须分清条件是什
么,结论是什么。
2.充分性:
由条件:
二结论f;
必要性:
由结论:
二条件*.
2.叙述方式的变化(比如」是:
的充分不必要条件”等价于“丿的充分不必要要条件是?
”).
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1.(2008年湖北卷2)若非空集合A,B,C满足AUB二C,且B不是A的子集,
则()
A“C”是“xA”的充分条件但不是必要条件
B.“C”是“xA”的必要条件但不是充分条件
C.“x•C”是“x•A”的充要条件
D.“C”既不是“x•A”的充分条件也不是“A”必要条件
答案B
2.(2008年湖南卷2)“X-1v2成立”是“x(x-3)<
0成立”的()
A.充分不必要条件B必要不充分条件
C.充分必要条件D既不充分也不必要条件
3.(2007全国I)设f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(xHf(x)g(x),贝U“f(x),
g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()
A.充要条件B.充分而不
必要的条件
C.必要而不充分的条件D.既不充分
也不必要的条件
4.(2007宁夏)已知命题p:
-XR,sinx^1,则()
答案D
6.(2007山东)命题“对任意的xr,x3—x2tm”的否定是
2
8.(2006年山东卷)设p:
x2-x-20>
0,q:
杀<
0,则p
是q的()
A充分不必要条件B.必要
不充分条件
D.既不
C充要条件
—2或一1x1或x2,借助图形知选A.
9.(2005年北京卷)
(2)“m=£
”是“直线(n+2)x+3my+1=0
与直线(m—2)x+(m+2)y—3=0
相互垂直”的
()
A.充分必要条件B.充分而不必
C.必要而不充分条件D.既不充分也不
必要条件
10.(2005年湖北卷)对任意实数a,b,c,给出下列命题:
①“a=b”是“ac=bc”充要条件;
②“a5是无理
数”是“a是无理数”的充要条件③“a>
b”是“a2>
b2”的充分条件;
④“a<
5”是“a<
3”的必要条件.
其中真命题的个数是
A.1B.2C.3
D.4
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