苏科版八年级数学第二学期《一元二次方程》提优卷含答案Word下载.docx

苏科版八年级数学第二学期《一元二次方程》提优卷含答案Word下载.docx

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C．x•

＝3D．x•

＝3

9．若关于x的方程（a+1）x2+（2a﹣3）x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程

的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是（　　）

A．﹣2B．﹣1C．1D．2

10．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数平方等于﹣1．若我们规定一个新数i，使其满足i2＝﹣1（即x2＝﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：

一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1，那么i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019的值为（　　）

A．0B．﹣1C．iD．1

二．填空题（共8小题）

11．若m2+n2﹣2m+4n+5＝0．则m﹣n＝　　．

12．已知m是负整数，关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的两根是x1，x2，若x1+x2＞x1x2，则m的值等于　　．

13．已知m为整数，且关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个实数根，则整数m的最小值是　　．

14．若关于x的方程|x2﹣x﹣2|＝k有四个不相等的实数根，则整数k的值为　　．

15．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：

“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x步，那么根据题意列出的方程为　　．

16．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱色的长方形花圃，要围成面积为45m2的花圃，AB的长是　　．

17．若a是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，则a2+

的值是　　．

18．已知m，n是方程x2﹣2017x+2018＝0的两根，则（n2﹣2018n+2019）（m2﹣2018m+2019）＝　　．

三．解答题（共11小题）

19．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．

21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．

（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；

（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．

22．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）若

+

＝﹣1，求k的值．

23．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p+1）．

（1）试证明：

无论p取何值此方程总有两个实数根；

（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2＝3p2+1，求p的值．

24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．

（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．

25．南、北两个园林场去年共有员工500人，其中南园林场员工数比北园林场员工数的2倍少100人．

（1）求去年南、北两个园林场的员工数；

（2）经核算，去年南园林场年产值比北园林场年产值少m%．北园林场人均产值比南园林场人均产值多4m%，且两个园林场人均产值不低于北园林场人均产值的

．求m的值．

26．先阅读下面的内容，再解决问题．

例题：

若m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0，求m和n的值．

解：

∵m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0

∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0

∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0

∴m+n＝0且n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3

问题

（1）若x2+3y2﹣2xy+4y+2＝0．求x和y的值．

（2）代数式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值为　　．

（3）若x﹣y＝6，xy+z2﹣4z+13＝0．则x＝　　，y＝　　，z＝　　．

27．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm．

（1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．

（2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．

28．春临大地，学校决定给长12米，宽9米的一块长方形展示区进行种植改造现将其划分成如图两个区域：

区域Ⅰ矩形ABCD部分和区域Ⅱ四周环形部分，其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种花卉种植，且EF平分BD，G，H分别为AB，CD中点．

（1）若区域Ⅰ的面积为Sm2，种植均价为180元/m2，区域Ⅱ的草坪均价为40元/m2，且两区域的总价为16500元，求S的值．

（2）若AB：

BC＝4：

5，区域Ⅱ左右两侧草坪环宽相等，均为上、下草坪环宽的2倍

①求AB，BC的长；

②若甲、丙单价和为360元/m2，乙、丙单价比为13：

12，三种花卉单价均为20的整数倍．当矩形ABCD中花卉的种植总价为14520元时，求种植乙花卉的总价．

29．已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k﹣1＝0…①

（1）求证：

对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；

（2）如果a是关于y的方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0…②的根，其中x1，x2是方程①的两个实数根，求代数式（

﹣1）÷

•

的值．

答案与解析

【分析】先把x＝2代入方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0得4﹣4m+m+m2﹣1＝0，然后解关于m的方程即可．

【解答】解：

把x＝2代入方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0得4﹣4m+m2﹣1＝0，

解得m＝1或3．

故选：

D．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝a2+4＞0，进而可得出x1≠x2，此题得解．

∵△＝（﹣m）2﹣4×

1×

（﹣3）＝m2+4＞0，

∴方程x2﹣mx﹣3＝0有两个不相等的实数根，

∴x1≠x2．

B．

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

【分析】根据根的判别式，可知△＞0，据此即可求出m的取值范围．

∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝（2m+1）2﹣4m2＝4m2+4m+1﹣4m2＝4m+1＞0，

解得m＞﹣

．

C．

【点评】此题考查了根的判别式，解题时要注意一元二次方程成立的条件：

二次项系数不为0．

【分析】设房价定为x元，根据利润＝房价的净利润×

入住的房间数可得．

设房价定为x元，

根据题意，得（x﹣20）（50﹣

）＝10890．

【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．

【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣1＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt﹣1＝0，利用at2+bt﹣1＝0有一个根为t＝2019得到x﹣1＝2019，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝1必有一根为x＝2020．

对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣1＝0，

设t＝x﹣1，

所以at2+bt﹣1＝0，

而关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝2019，

所以at2+bt﹣1＝0有一个根为t＝2019，

则x﹣1＝2019，

解得x＝2020，

所以一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝1必有一根为x＝2020．

【分析】由题意可得△＝4﹣4×

（k﹣1）＝8﹣4k＞0，且k﹣1≠0，可求解．

∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝4﹣4×

（k﹣1）＝8﹣4k＞0，且k﹣1≠0

∴k＜2且k≠1

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0，方程有两个相等的实数根；

当△＜0，方程没有实数根，上面的结论反过来也成立．

【分析】先计算出判别式得到△＝16+4k，由k的取值范围可求解．

∵△＝16+4k，且﹣6＜k＜0

∴当﹣6＜k＜﹣4时，△＜0，方程没有实数根；

当k＝﹣4时，△＝0，方程有两个相等实数根

当﹣4＜k＜0时，△＞0，方程有两个不相等实数根

当△＜0，方程没有实数根．

【分析】设等腰直角三角形的斜边长为xm，则等腰直角三角形的直角边长为

xm，下部两个全等矩形合成的大矩形的长为xm，宽为

，根据矩形的面积公式、三角形的面积公式结合窗框的总面积为3m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

设等腰直角三角形的斜边长为xm，则等腰直角三角形的直角边长为

，

依题意，得：

x•

×

（

x）2＝3，

即x•

x2＝3．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及等腰直角三角形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

【分析】关于一元二次方程（a+1）x2+（2a﹣3）x+a﹣2＝0利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a＜

且a≠﹣1，再解分式方程得到x＝

（a≠﹣3），接着利用分式方程的解为整数得到a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，然后确定满足条件的a的值，从而得到满足条件的所有整数a的和．

∵关于x的方程（a+1）x2+（2a﹣3）x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，

∴a+1≠0且△＝（2a﹣3）2﹣4（a+1）×

（a﹣2）＞0，

解得a＜

且a≠﹣1．

把关于x的方程

去分母得ax﹣1﹣x＝3，

解得x＝

∵x≠﹣1，

∴

≠﹣1，解得a≠﹣3，

∵x＝

为整数，

∴a﹣1＝±

1，±

2，±

4，

∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，

而a＜

且a≠﹣1且a≠﹣3，

∴a的值为0，2，

∴满足条件的所有整数a的和是2．

【点评】本题考查了根的判别式：

一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：

当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；

当△＜0时，方程无实数根．

【分析】利用积的乘方得到原式＝（i+i2+i3+i4）+…+i2012（i+i2+i3+i4）+…+i4×

504+1+i4×

504+2+i4×

504+3，然后利用利用i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1进行计算．

i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019＝（i+i2+i3+i4）+…+i2012（i+i2+i3+i4）+…+i4×

504+3＝（i﹣1﹣i+1）+…+i2012（i﹣1+i+1）+i﹣1﹣i＝﹣1．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：

形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．也考查了阅读理解能力．

11．若m2+n2﹣2m+4n+5＝0．则m﹣n＝　3　．

【分析】根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出m、n，计算即可．

m2+n2﹣2m+4n+5＝0

m2﹣2m+1+n2+4n+4＝0

（m﹣1）2+（n+2）2＝0，

则m﹣1＝0，n+2＝0，

解得，m＝1，n＝﹣2，

则m﹣n＝3，

故答案为：

3．

【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．

12．已知m是负整数，关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的两根是x1，x2，若x1+x2＞x1x2，则m的值等于　﹣1　．

【分析】根据根与系数的关系即可得到结论．

∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的两根是x1，x2，

∴x1+x2＝2m，x1x2＝﹣4，

∴﹣4＜2m＜0，

∵m是负整数，

∴m＝﹣1，

﹣1．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；

当△＜0，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系．

13．已知m为整数，且关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个实数根，则整数m的最小值是　﹣2　．

【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．

∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个实数根，

∴△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）＝4m+9≥0，

解得：

m≥﹣

又∵m为整数，

∴m的最小值为﹣2．

﹣2．

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．

14．若关于x的方程|x2﹣x﹣2|＝k有四个不相等的实数根，则整数k的值为　1或2　．

【分析】先将原方程化为x2﹣x﹣2﹣k＝0或x2﹣x﹣2+k＝0，然后利用根的判别式即可求出k的值．

∵|x2﹣x﹣2|＝k，

∴x2﹣x﹣2＝k或x2﹣x﹣2＝﹣k，

∴x2﹣x﹣2﹣k＝0或x2﹣x﹣2+k＝0，

∵关于x的方程|x2﹣x﹣2|＝k有四个不相等的实数根，

∴当k＞0时，关于x的方程x2﹣x﹣2﹣k＝0和x2﹣x﹣2+k＝0，各有两个不相等的实数根，

解得

∴k＝﹣2，﹣1，0，1，2，

∵k＞0，

∴k＝1，2

故答案为1或2

【点评】本题考查了一元二次方程，熟练运用根的判别式判断根的情况是解题的关键．

“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x步，那么根据题意列出的方程为　x（x﹣12）＝864　．

【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．

设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．

根据矩形面积＝长×

宽，得：

x（x﹣12）＝864．

【点评】本题为面积问题，掌握好面积公式即可进行正确解答；

矩形面积＝矩形的长×

矩形的宽．

16．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱色的长方形花圃，要围成面积为45m2的花圃，AB的长是　5m　．

【分析】根据AB为xm，BC就为（24﹣3x），利用长方体的面积公式可以列出方程，可求出x即AB的长．

根据题意，得S＝x（24﹣3x），根据题意，设AB长为x，则BC长为24﹣3x

∴x（24﹣3x）＝45

即：

﹣3x2+24x＝45．

整理，得x2﹣8x+15＝0，

解得x＝3或5，

当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，

当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立，

∴AB长为5m，

5m．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆．

的值是　23　．

【分析】把x＝a代入方程，得到a2+1＝5a，则将其代入整理后的代数式进行求值即可．

把x＝a代入方程x2﹣5x+1＝0，得

a2﹣5a+1＝0，

所以a2+1＝5a，

则a2+

＝（a+

）2﹣2＝（

）2﹣2＝25﹣2＝23．

故答案是：

23．

【点评】此题主要考查了方程解的定义，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值．

18．已知m，n是方程x2﹣2017x+2018＝0的两根，则（n2﹣2018n+2019）（m2﹣2018m+2019）＝　2　．

【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出m2﹣2017m＝﹣2018、n2﹣2017n＝﹣2018、m+n＝2017、mn＝2018，将其代入原式即可求出结论．

∵m、n是方程x2﹣2017x+2018＝0的两根，

∴m2﹣2017m＝﹣2018，n2﹣2017n＝﹣2018，m+n＝2017，mn＝2018，

∴原式＝（﹣n+1）（﹣m+1）＝mn﹣（m+n）+1＝2018﹣2017+1＝2．

2．

【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据一元二次方程的解和根与系数的关系找出m2﹣2017m＝﹣2018、n2﹣2017n＝﹣2018、m+n＝2017、mn＝2018是解题的关键．

【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．

∵方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝（﹣2）2﹣4×

m＝4﹣4m＞0，

m＜1．

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．