高考第一轮复习数学82双曲线.docx
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高考第一轮复习数学82双曲线
8.2双曲线
●知识梳理
定义
1.到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长(<|F1F2|)的点的轨迹
2.到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e(>1)的点的轨迹
方程
1.-=1,c=,焦点是F1(-c,0),F2(c,0)
2.-=1,c=,焦点是F1(0,-c)、F2(0,c)
性质
H:
-=1(a>0,b>0)
1.范围:
|x|≥a,y∈R
2.对称性:
关于x、y轴均对称,关于原点中心对称
3.顶点:
轴端点A1(-a,0),A2(a,0)
4.渐近线:
y=x,y=-x
5.离心率:
e=∈(1,+∞)
6.准线:
l1:
x=-,l2:
x=
7.焦半径:
P(x,y)∈H,
P在右支上,
r1=|PF1|=ex+a,
r2=|PF2|=ex-a;
P在左支上,
r1=|PF1|=-(ex+a),
r2=|PF2|=-(ex-a)
思考讨论
对于焦点在y轴上的双曲线-=1(a>0,b>0),其性质如何?
焦半径公式如何推导?
●点击双基
1.(2004年春季北京)双曲线-=1的渐近线方程是
A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x
解析:
由双曲线方程可得焦点在x轴上,a=2,b=3.
∴渐近线方程为y=±x=±x.
答案:
A
2.过点(2,-2)且与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程是
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
解析:
可设所求双曲线方程为-y2=λ,把(2,-2)点坐标代入方程得λ=-2.
答案:
A
3.如果双曲线-=1上一点P到它的右焦点的距离是8,那么P到它的右准线距离是
A.10B.C.2D.
解析:
利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为=8×=.
答案:
D
4.已知圆C过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是____________.
解析:
由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点,所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为(4,±).易求它到中心的距离为.
答案:
5.求与圆A:
(x+5)2+y2=49和圆B:
(x-5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________________.
解析:
利用双曲线的定义.
答案:
-=1(x>0)
●典例剖析
【例1】根据下列条件,求双曲线方程:
(1)与双曲线-=1有共同的渐近线,且过点(-3,2);
(2)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).
剖析:
设双曲线方程为-=1,求双曲线方程,即求a、b,为此需要关于a、b的两个方程,由题意易得关于a、b的两个方程.
解法一:
(1)设双曲线的方程为-=1,
由题意,得
=,
-=1,
解得a2=,b2=4.
所以双曲线的方程为-=1.
(2)设双曲线方程为-=1.
由题意易求c=2.
又双曲线过点(3,2),
∴-=1.
又∵a2+b2=
(2)2,
∴a2=12,b2=8.
故所求双曲线的方程为-=1.
解法二:
(1)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),
将点(-3,2)代入得λ=,
所以双曲线方程为-=.
(2)设双曲线方程为-=1,
将点(3,2)代入得k=4,所以双曲线方程为-=1.
评述:
求双曲线的方程,关键是求a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e及准线)之间的关系,并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0,可设双曲线方程为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
【例2】(2002年全国,19)设点P到点M(-1,0)、N(1,0)距离之差为2m,到x轴、y轴距离之比为2,求m的取值范围.
剖析:
由|PM|-|PN|=2m,得||PM|-|PN||=2|m|.知点P的轨迹是双曲线,由点P到x轴、y轴距离之比为2,知点P的轨迹是直线,由交轨法求得点P的坐标,进而可求得m的取值范围.
解:
设点P的坐标为(x,y),依题意得=2,即y=±2x(x≠0).①
因此,点P(x,y)、M(-1,0)、N(1,0)三点不共线,得||PM|-|PN||<|MN|=2.
∵||PM|-|PN||=2|m|>0,
∴0<|m|<1.因此,点P在以M、N为焦点,实轴长为2|m|的双曲线上.
故-=1.②
将①代入②,并解得x2=,
∵1-m2>0,∴1-5m2>0.
解得0<|m|<,
即m的取值范围为(-,0)∪(0,).
评述:
本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识,考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.
【例3】如下图,在双曲线-=1的上支上有三点A(x1,y1),B(x2,6),C(x3,y3),它们与点F(0,5)的距离成等差数列.
(1)求y1+y3的值;
(2)证明:
线段AC的垂直平分线经过某一定点,并求此点坐标.
剖析:
可以验证F为焦点,利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列,进而有三点纵坐标成等差数列,由此易得y1+y3的值.为求出AC的中垂线所过定点,不妨设想作出A与C关于y轴的对称点A′与C′.由双曲线的对称性,易知A′与C′也在双曲线上,且A′、B、C′满足题设条件,所以A′C′的中垂线也应过此定点.由两条中垂线关于y轴对称.所以定点应在y轴上.
(1)解:
c==5,故F为双曲线的焦点,设准线为l,离心率为e,由题设有2|FB|=|FA|+|FC|.①
分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2,交l于A1、B1、C1,则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|,|FA|=e|AA1|,|FC|=e|CC1|,代入①式,得2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|,
即2|BB1|=|AA1|+|CC1|.
于是两边均加上准线与x轴距离的2倍,有
2|BB2|=|AA2|+|CC2|,
此即2×6=y1+y3,可见y1+y3=12.
(2)证明:
AC的中垂线方程为
y-=-(x-),
即y-6=-x+.②
由于A、C均在双曲线上,
所以有-=1,-=1.
相减得=.于是有
=(y1+y3)=·12=13,
故②变为y=-x+,易知此直线过定点D(0,).
评述:
利用第二定义得焦半径,可使问题容易解决.中垂线过弦AC的中点,中点问题往往把A、C的坐标代入方程,两式相减、变形,即可解决问题.
●闯关训练
夯实基础
1.(2004年天津,4)设P是双曲线-=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|等于
A.1或5B.6C.7D.9
解析:
由渐近线方程y=x,且a=2,
∴b=3.据定义有|PF2|-|PF1|=4,
∴|PF2|=7.
答案:
C
2.(2005年春季北京,5)“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
解析:
由ab<0,得a>0,b<0或a<0,b>0.
由此可知a与b符号相反,则方程表示双曲线,反之亦然.
答案:
C
3.(2003年上海)给出问题:
F1、F2是双曲线-=1的焦点,点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下:
双曲线的实轴长为8,由||PF1|-|PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确?
若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将正确结果填在下面横线上.
______________________________________________________.
解析:
易知P与F1在y轴的同侧,|PF2|-|PF1|=2a,∴|PF2|=17.
答案:
|PF2|=17
4.过点A(0,2)可以作____________条直线与双曲线x2-=1有且只有一个公共点.
解析:
数形结合,两切线、两交线.
答案:
4
5.已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.
(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.
解:
(1)由16x2-9y2=144得-=1,
∴a=3,b=4,c=5.焦点坐标F1(-5,0),F2(5,0),离心率e=,渐近线方程为y=±x.
(2)||PF1|-|PF2||=6,cos∠F1PF2=
===0.
∴∠F1PF2=90°.
6.已知双曲线x2-=1与点P(1,2),过P点作直线l与双曲线交于A、B两点,若P为AB中点.
(1)求直线AB的方程;
(2)若Q(1,1),证明不存在以Q为中点的弦.
(1)解:
设过P(1,2)点的直线AB方程为y-2=k(x-1),
代入双曲线方程得
(2-k2)x2+(2k2-4k)x-(k4-4k+6)=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有x1+x2=-,
由已知=xp=1,
∴=2.解得k=1.
又k=1时,Δ=16>0,从而直线AB方程为x-y+1=0.
(2)证明:
按同样方法求得k=2,而当k=2时,Δ<0,所以这样的直线不存在.
培养能力
7.双曲线kx2-y2=1,右焦点为F,斜率大于0的渐近线为l,l与右准线交于A,FA与左准线交于B,与双曲线左支交于C,若B为AC的中点,求双曲线方程.
解:
由题意k>0,c=,
渐近线方程l为y=x,
准线方程为x=±,于是A(,),
直线FA的方程为y=,
于是B(-,).
由B是AC中点,则xC=2xB-xA=-,
yC=2yB-yA=.
将xC、yC代入方程kx2-y2=1,得
k2c4-10kc2+25=0.
解得k(1+)=5,则k=4.
所以双曲线方程为4x2-y2=1.
8.(理)已知l1、l2是过点P(-,0)的两条互相垂直的直线,且l1、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点,分别为A1、B1和A2、B2.
(1)求l1的斜率k1的取值范围;
(2)若|A1B1|=|A2B2|,求l1、l2的方程.
解:
(1)显然l1、l2斜率都存在,否则l1、l2与曲线不相交.设l1的斜率为k1,则l1的方程为y=k1(x+).
联立得
y=k1(x+),
y2-x2=1,消去y得
(k12-1)x2+2k12x+2k12-1=0.①
根据题意得k12-1≠0,②
Δ1>0,即有12k12-4>0.③
完全类似地有-1≠0,④
Δ2>0,即有12·-4>0,⑤
从而k1∈(-,-)∪(,)且k1≠±1.
(2)由弦长公式得
|A1B1|=.⑥
完全类似地有
|A2B2|=.⑦
∵|A1B1|=|A2B2|,
∴k1=±,k2=.从而
l1:
y=(x+),l2:
y=-(x+)或l1:
y=-(x+),l2:
y=(x+).
(文)在双曲线-=1上求一点M,使它到左右两焦点的距离之比为3∶2,并求M点到两准线的距离.
解:
设M(x1,y1),左右两焦点F1、F2,由双曲线第二定义得
|MF1|=ex1+a,|MF2|=ex1-a,
由已知2(ex1+a)=3(ex1-a),
把e=,a=4代入,得x1=16,y1=±3.
∴点M的坐标为(16,±3).
双曲线准线方程为x=±
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