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A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④
解析 分别与两条异面直线都相交的两条直线可以是相交直线也可以是异面直线,即命题①不正确;
若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直,即命题②正确;
垂直于同一直线的两条直线相互平行或异面或相交,即命题③不正确;
命题④正确,综上可得真命题的序号为②和④,故应选D.
7.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个命题:
①若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥α;
②若a∥α,a⊥β,则α⊥β;
③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a⊂α;
④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.
其中正确命题的个数为( ).
A.1B.2C.3D.4
解析 逐一判断.①②③④均正确,故正确命题是4个.
8.(2013·
金丽衢模拟)已知α,β是不同的两个平面,m,n是不同的两条直线,则下列命题中不正确的是( ).
A.若m∥n,m⊥α,则n⊥α
B.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
C.若m⊥α,m⊂β,则α⊥β
D.若m∥α,α∩β=n,则m∥n
解析 对于A,如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于该平面,故选项A正确;
对于B,如果一条直线同时垂直于两个平面,那么这两个平面相互平行,故选项B正确;
对于C,如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直,故选项C正确;
对于D,注意到直线m与直线n可能异面,因此选项D不正确.综上所述,选D.
9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.32B.33C.34D.35
解析 由三视图画出几何体,再求体积.由三视图可知,几何体是如图所示的组合体,正方体的棱长为3,正四棱锥高为2,所以组合体的体积为V=33+×
32×
2=33.
10.已知球的直径SC=4,A、B是该球球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=30°
,则棱锥S-ABC的体积为( ).
A.3B.2C.D.1
解析
由题意知,如图所示,在棱锥S-ABC中,△SAC,△SBC都是有一个角为30°
的直角三角形,其中AB=,SC=4,所以SA=SB=2,AC=BC=2,作BD⊥SC于D点,连接AD,易证SC⊥平面ABD,因此V=×
()2×
4=.
二、填空题(每小题5分,共25分)
11.已知一个空间几何体的三视图如右图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸,计算这个几何体的表面积是________.
解析 由三视图可得,该几何体是由一个圆柱和一个半球组合而成的,其半球的半径为1,圆柱的底面半径为1,高为4,则其表面积为S=2π×
12+2π×
1×
4+π×
12=11π.
答案 11π
12.球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1各面都相切,则球O的体积为________.
解析 由题意可知,球的半径为1,故球的体积为.
答案
13.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;
②α⊥β;
③n⊥β;
④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:
________(用代号表示).
解析 逐一判断.若①②③成立,则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误;
同理①②④⇒③也错误;
①③④⇒②与②③④⇒①均正确.
答案 ①③④⇒②(或②③④⇒①)
14.
如图,在四面体A-BCD中,截面PQMN是正方形,PQ∥AC,QM∥BD,则下列命题中,正确的有________________________________________________________________________.
①AC⊥BD;
②AC∥截面PQMN;
③AC=BD;
④异面直线PM与BD所成的角为45°
.
解析 由PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM可得AC⊥BD,故①正确;
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN,故②正确;
异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角,故④正确;
③是错误的,故填①②④.
答案 ①②④
15.
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=________时,CF⊥平面B1DF.
解析 由题意易知,B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可.令CF⊥DF,设AF=x,则A1F=3a-x.易知Rt△CAF∽Rt△FA1D,得=,即=,整理得x2-3ax+2a2=0,解得x=a或x=2a.
答案 a或2a
易失分点清零(九) 立体几何
(一)
易失分点1 由三视图还原空间几何体不准确致误
【示例1】►(2012·
全国新课标)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( ).
A.6B.9C.12D.18
由三视图可得,该几何体为三棱锥S-ABC,其中底面△ABC为等腰三角形,底边AC=6,AC边上的高为3,SB⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=×
6×
3×
3=9.故选B.
易失分点2 空间点、线、面位置关系不清致误
【示例2】►设a,b为两条直线,α,β为两个平面,且a⊄α,a⊄β,则下列结论中不成立的是( ).
A.若b⊂β,a∥b,则a∥β
B.若a⊥β,α⊥β,则a∥α
C.若a⊥b,b⊥α,则a∥α
D.若α⊥β,a⊥β,b∥a,则b∥α
解析 对于选项A,若有b⊂β,a∥b,且已知a⊄β,所以根据线面平行的判定定理可得a∥β,故选项A正确;
对于选项B,若a⊥β,α⊥β,则根据空间线面位置关系可知a⊂α或a∥α,而由已知可知a⊄α,所以有a∥α,故选项B正确;
对于C项,若a⊥b,b⊥α,所以a⊂α或a∥α,而有已知可得a⊄α,所以a∥α,故选项C正确;
对于D项,由a⊥β,b∥a可得b⊥β,又因为α⊥β,所以b⊂α或b∥α,故不能得到b∥α,所以D项错,故选D.
易失分点3 证明过程不严谨致误
【示例3】►
如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°
,BF=FC,G、H分别为DC、BC的中点.
(1)求证:
平面FGH∥平面BDE;
(2)求证:
平面ACF⊥平面BDE.
证明
(1)
如图,设AC与BD交于点O,连结OE、OH,由EF綉AB,EF=AB,得EF∥AB,
∵OH綉AB,∴EF綉OH,
∴四边形OEFH为平行四边形,∴FH∥EO.
∵FH⊄平面BDE,EO⊂平面BDE,∴FH∥平面BDE.
∵G、H分别为DC、BC的中点,∴GH∥DB.
∵GH⊄平面BDE,DB⊂平面BDE,∴GH∥平面BDE.
又∵FH∩GH=H,
∴平面FGH∥平面BDE.
(2)由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC.
又EF∥AB,∴EF⊥BC,
而EF⊥FB,BC∩FB=B,
∴EF⊥平面BFC,FH⊂平面BFC,∴EF⊥FH.
∴AB⊥FH,又BF=FC,H为BC的中点,
∴FH⊥BC,AB∩BC=B,∴FH⊥平面ABCD.
∴FH⊥AC,又FH∥EO,∴AC⊥EO.
又AC⊥BD,EO∩BD=O,∴AC⊥平面BDE.
又AC⊂平面ACF,∴平面ACF⊥平面BDE.
警示 若不注意选取AC与BD的交点O,难以找到本题的解题入口.对于
(1),易出现表达上的漏洞,如得到FH∥EO与GH∥DB,没有指出“FH∩GH=H”即下结论平面FGH∥平面BDE;
对于
(2),在证明线、面垂直时,没有指出线线相交,即没有指出“EO∩BD=O”就直接写出线面垂直,从而导致证明过程不严谨.
1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图,则相应的侧视图可以为( ).
解析 由几何体的正视图和俯视图可知,该几何体的底面为半圆和等腰三角形,其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形(实际上,此几何体为一个半圆锥和一个三棱锥的组合体),故应选D.
2.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有下列四个命题:
①若m∥n,n⊂α,则m∥α;
②若m⊥n,m⊥α,n⊄α,则n∥α;
③若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n;
④若m,n是异面直线,m⊂α,n⊂β,m∥β,则n∥α.
其中正确的命题有( ).
A.①②B.②③
C.③④D.②④
解析 对于①,m有可能也在α上,因此命题不成立;
对于②,过直线n作垂直于m的平面β,由m⊥α,n⊄α可知β与α平行,于是必有n与α平行,因此命题成立;
对于③,由条件易知m平行于β或在β上,n平行于α或在α上,因此必有m⊥n;
对于④,取正方体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的两个面即可判断命题不成立.综上可知选B.
3.若某几何体的三视图(单位:
cm)如图所示,则此几何体的体积是( ).
A.cm3B.cm3
C.cm3D.cm3
解析 此几何体为正四棱柱与正四棱台的组合体,而V正四棱柱=4×
4×
2=32(cm3),V正四棱台=(82+42+)×
2=(cm2).所以V=32+=(cm3).
4.如图是一几何体的三视图,那么这个几何体的体积为( ).
A.+B.2
C.+D.+
解析 直观图中左侧半圆柱的半径为,长方体的长为2-=,此几何体的高为1,所以这个几何体的体积为×
π×
2×
1+×
1=+.
5.
过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作( ).
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
解析 第一类:
通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1,第二类:
在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等,有3条,合计4条.
6.
(2013·
洛阳统考)如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆),则该几何体的表面积是( ).
A.20+3π B.24+3π
C.20+4π D.24+4π
解析 根据几何体的三视图可知,该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体,其中正方体的棱长为2,半圆柱的底面半径为1,母线长为2,故该几何体的表面积为4×
5+2×
π+2×
π=20+3π.
7.在空间中,有如下命题:
①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线;
②若平面α内任意一条直线m∥平面β,则平面α∥平面β;
③若平面α与平面β的交线为m,平面β内的直线n⊥直线m,则直线n⊥平面α;
④若点P到三角形三个顶点的距离相等,则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心.
其中正确命题的个数为( ).
A.1B.2C.3D.4
解析 命题①不正确,互相平行的两条直线在同一平面内的射影还可以是一条直线或者是两个点;
命题②正确,在α内取两条相交直线,则为面面平行的判定定理,要注意若把“任意”改为“无数”,则命题不正确,因为这无数条线可以是平行直线;
命题③不正确,这两个平面可以相交但不垂直,若要结论成立,需α⊥β;
命题④正确,设P到三个顶点距离PA=PB=PC,P点射影为O,则OA=OB=OC,故为△ABC的外心.故正确命题为②④,答案为B.
8.
如图,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H.则以下命题中,错误的命题是( ).
A.点H是△A1BD的垂心
B.AH垂直于平面CB1D1
C.AH延长线经过点C1
D.直线AH和BB1所成角为45°
解析 对于A,由于AA1=AB=AD,所以点A在平面A1BD上的射影必到点A1、B、D的距离相等,即点H是△A1BD的外心,而A1B=A1D=BD,故点H是△A1BD的垂心,命题A是真命题;
对于B,由于B1D1∥BD,CD1∥A1B,故平面A1BD∥平面CB1D1,而AH⊥平面A1BD,从而AH⊥平面CB1D1,命题B是真命题;
对于C,由于AH⊥平面CB1D1,因此AH的延长线经过点C1,命题C是真命题;
对于D,由C知直线AH即是直线AC1,又直线AA1∥BB1,因此直线AC1和BB1所成的角就等于直线AA1与AC1所成的角,即∠A1AC1,而tanA1AC1==,因此命题D是假命题.
9.如图是一个几何体的三视图.若它的体积是3,则a=
________.
解析 ×
a×
3=3,解得a=.
10.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号).
①矩形;
②不是矩形的平行四边形;
③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;
④每个面都是等边三角形的四面体;
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
如图四边形BB1D1D为矩形;
四面体A1-AB1D1满足选项③;
四面体B1-ACD满足选项④;
四面体A-BD1D满足选项⑤.
答案 ①③④⑤
11.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为________.
解析 因为(2R)2=12+22+32=14,所以S球=4πR2=14π.
答案 14π
12.
已知一个正三棱锥P-ABC的正视图如图所示,若AC=BC=,PC=,则此正三棱锥的表面积为________.
解析 依题意,知这个正三棱锥的底面边长是3、高是,故底面正三角形的中心到一个顶点的距离是×
3=,故这个正三棱锥的侧棱长是=3,所以这个正三棱锥的侧面也是边长为3的正三角形,故其表面积是4×
32=9.
答案 9
13.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点.
EF∥平面ABC1D1;
EF⊥B1C.
连接BD1,如图所示,在△DD1B中,E,F分别为DD1,DB的中点,则EF∥D1B,
∵D1B⊂平面ABC1D1,EF⊄平面ABC1D1,
∴EF∥平面ABC1D1.
(2)∵B1C⊥AB,B1C⊥BC1,AB∩BC1=B,
∴B1C⊥平面ABC1D1,
又BD1⊂平面ABC1D1,∴B1C⊥BD1,
又EF∥BD1,∴EF⊥B1C.
第6讲 空间向量及其运算
【2014年高考会这样考】
1.考查空间向量的线性运算、数量积和空间向量基本定理及其意义.
2.利用向量的数量积判断两空间向量的平行与垂直关系.
考点梳理
1.空间向量的有关概念
(1)空间向量:
在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量.
(2)相等向量:
方向相同且模相等的向量.
(3)共线向量:
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量.
(4)共面向量:
平行于同一个平面的向量.
2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
(1)共线向量定理
对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb.
推论 如图所示,点P在l上的充要条件是:
=+ta①
其中a叫直线l的方向向量,t∈R,在l上取AB,\s\up6(→))=a,则①可化为=+t或=(1-t)+t.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式:
p=xa+yb,其中x,y∈R,a,b为不共线向量,推论的表达式为=x+y或对空间任意一点O,有=+x+y或=x+y+z,其中x+y+z=1.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc,把{a,b,c}叫做空间向量的一个基底.
3.空间向量的线性运算及运算律
(1)定义:
与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算,如下:
=+=a+b;
=-=a-b;
=λa(λ∈R).
(2)运算律:
①加法交换律:
a+b=b+a;
②加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c);
③数乘分配律:
λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念:
①两向量的夹角:
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作〈a,b〉,其范围是0≤〈a,b〉≤π,若〈a,b〉=,则称a与b互相垂直,记作a⊥b.
②两个向量的数量积:
已知空间两个非零向量a,b,则|a||b|·
cos〈a,b〉叫做向量a,b的数量积,记作a·
b,即a·
b=|a||b|·
cos〈a,b〉.
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律:
(λa)·
b=λ(a·
b);
②交换律:
a·
b=b·
a;
③分配律:
(b+c)=a·
b+a·
c.
【助学·
微博】
一种方法
用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是:
(1)适当的选取基底{a,b,c};
(2)用a,b,c表示相关向量;
(3)通过运算完成证明或计算问题.
两个理解
(1)共线向量定理还可以有以下几种形式:
①a=λb(b≠0)⇒a∥b;
②空间任意两个向量,共线的充要条件是存在λ,μ∈R使λa=μb.
③若,不共线,则P,A,B三点共线的充要条件是=λ+μ且λ+μ=1.
(2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解.空间向量基本定理是适当选取基底的依据,共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具,三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”.
考点自测
1.下列有关空间向量的四个命题中,错误命题为( ).
A.空间中有无数多组不共面的向量可作为向量的基底
B.向量与平面平行,则向量所在的直线与平面平行
C.平面α的法向量垂直于α内的每个向量
D.空间中的任一非零向量都可唯一地表示成空间中不共面向量的线性组合的形式
解析 若向量与平面平行,则向量所在的直线与平面平行或在平面内.
2.(人教A版教材习题改编)下列命题:
①若A、B、C、D是空间任意四点,则有+++=0;
②|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件;
③若a、b共线,则a与b所在直线平行;
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若=x+y+z(其中x、y、z∈R),则P、A、B、C四点共面.
其中不正确命题的个数是( ).
解析 ①中四点恰好围成一封闭图形,正确;
②中当a、b同向时,应有|a|+|b|=|a+b|;
③中a、b所在直线可能重合;
④中需满足x+y+z=1,才有P、A、B、C四点共面.
3.(2013·
威海模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若=+x+y,则x、y的值分别为( ).
A.x=1,y=1B.x=1,y=
C.x=,y=D.x=,y=1
解析 如图,=+=+=+(+).
4.a=λb(λ是实数)是a与b共线的( ).
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 a=λb⇒a∥b,但则a∥b,a≠λb.
5.在四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=________(用a,b,c表示).
解析 如图,=+=++=a+b+c.
答案 a+b+c
考向一 空间向量的线性运算
【例1】►(2013·
舟山月考)如图所示,已知空间四边形OABC,其对角线为OB、AC,M、N分别为OA、BC的中点,点G在线段MN上,且=2,若=x+y+z,则x,y,z的值分别为________________.
[审题视点]根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可求解.
解析 ∵=+=+
=+(-)=+-
=+×
(+)-×
=++,
∴x,y,z的值分别为,,.
答案 ,,
用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
【训练1】
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中G为△A1BD的重心,设=a,=b,=c,试用a,b,c表示,.
解 =++=++=a+b+c.
=+=+(+)=+(-)+(-)=++=a+b+c.
考向二 共线、共面向量定理的应用
【例2】►已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,
E、F、G、H四点共面;
BD∥平面EFGH;
(3)设M是EG和FH的交点,求证:
对空间任一点O,有=(+++).
[审题视
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