电磁场与电磁波第二章课后答案文档格式.docx
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2,E(r)
V40
|r
|3
3,EdS
高斯定律
介质中静电场方程:
积分形式:
DdSqEdl0
Sl
DE0
线性均匀各向同性介质中静电场方程:
EdS
EE0
静电场边界条件:
1,E1tE2t。
对于两种各向同性的线性介质,则
D1tD2t
12
2,D2nD1ns。
在两种介质形成的边界上,则
D1nD2n
对于两种各向同性的线性介质,则
1E1n2E2n
3,介质与导体的边界条件:
enE0;
enD
若导体周围是各向同性的线性介质,则
EnS;
S
n
静电场的能量:
2
1Q
孤立带电体的能量:
We
Q
2C2
离散带电体的能量:
iQi
i1
分布电荷的能量:
SdS
V2
ldl
S2
l2
静电场的能量密度:
weDE
对于各向同性的线性介质,则
we
电场力:
库仑定律:
F
2er
4
常电荷系统:
dWe
q常数
dl
dWe
常电位系统:
F常数
题解
2-1若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别为q点电荷q位于q1及q2的连线上时,系统处于平衡状态,试求
及4q,当
q的大小
及位置。
解要使系统处于平衡状态,点电荷q受到点电荷q1及q2的力应该大
小相等,方向相反,即Fq1qFq2q。
那么,由
q1q
q2q
r2
2r1,同时考虑到r1r2
d,求得
40r1
40r2
r1
r2
d,
d
3
可见点电荷q可以任意,但应位于点电荷q1和q2的连线上,且与点电
荷q1
相距
。
2-2已知真空中有三个点电荷,其
z
电量及位置分别为:
q1
q11C,P1(0,0,1)
q2
q3
P
1C,P2(1,0,1)
E3
o
4C,P3(0,1,0)
E1
试求位于P(0,
1,0)点的电场强度。
x
E2
解
令r1,r2,r3分别为三个电电荷
习题图2-2
的位置P1,P2,P3到P点的距离,则r1
2,r2
3,r32。
利用点电荷的场强公式E
er,其中
er为点电荷q指向场
0r2
点P的单位矢量。
那么,
q1在P
点的场强大小为E1
q1
,方向为
8
0r1
er1
ey
ez
q2在P
点的场强大小为E2
12
0r2
er2
ex
q3在P点的场强大小为E3
,方向为er3
0r3
则P点的合成电场强度为
2-3直接利用式(2-2-14)计算电偶极子的电场强度。
解令点电荷q位于坐标原点,r为点电荷q至场点P的距离。
再令
点电荷q位于+z坐标轴上,r1为点电荷q至场点P的距离。
两个点
电荷相距为l,场点P的坐标为(r,
)。
根据叠加原理,电偶极子在场点P产生的电场为
0r
考虑到r>
>
l,er
=er,r1
lcos
,那么上式变为
(r1r)(r1
r)
er
er
式中
l2rlcos
1l
rr
2cos
以l
为变量,并将1
cos
在零点作泰勒展开。
由于
lr,略去高阶项后,得
利用球坐标系中的散度计算公式,求出电场强度为
qlcos
qlsin
2cos
3er
3eθ
20r
40r
2-4已知真空中两个点电荷的电量均为2106C,相距为2cm,如习
题图2-4所示。
试求:
①P点的电位;
②将电量为2
106C的点电荷由
无限远处缓慢地移至P点时,外力必须作的功。
m
c
1cm1cm
解根据叠加
合成电位为
原理,P点的
习题图2-4
6
2.510V
0r
因此,将电量为2106C的点电荷由无限远处缓慢地移到P点,外力
5
必须做的功为Wq5J
2-5通过电位计算有限长线电荷的电场强度。
解建立圆柱坐标系。
令先电
荷沿z轴放置,由于结构以z轴对称,
场强与无关。
为了简单起见,令场点
位于yz平面。
设线电荷的长度为L,密度为
l,线电荷的中点位于坐标原
点,场点P的坐标为r,,z。
dl
r0
y
利用电位叠加原理,求得场点
P的电位为
L
dl习题图2-5
式中r0
zlr
故
zl
ln
因E
,可知电场强度的z分量为
Ez
zL2
sin2sin1
电场强度的r分量为
Er
L2
7
1tan1
tan
tan2
1cos2
1cos1
cos1
式中1
arctan
,那么,合成电强为
sin
1ez
cos2cos1er
当L
时,
0,
,则合成电场强度为
可见,这些结果与教材2-2节例4完全相同。
2-6
已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度
0sin,0
,试求圆心处的电场强度。
解建立直角坐标,xy平面,且以y轴为
图2-6所示。
a
x令线电荷位于
对称,如习题
习题图2-6
点电荷ldl
在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和Ey。
由于电荷分布以y轴
为对称,因此,仅需考虑电场强度的Ey分量,即
dE
2sin
dEy
0a
考虑到dlad,l0
sin,代入上式求得合成电场强度为
Eey
0ey
04
sind
80a
2-7已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为
l,试求
通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。
oy
解建立直角坐
xy
位于坐标原点,
习题图2-7
2-7所示。
标,令圆环
如习题图
在z轴上P点产生的电位为
根据叠加原理,圆环线电荷在P点产生的合成电位为
la
40r0
20a2
z2
9
因电场强度E
,则圆环线电荷在P点产生的电场强度为
az
ez
32
20a
2-8设宽度为W,面密度为
S的带状电荷位于真空中,
试求空间任一点的电场强度。
dx
w
yy
dxr
2P(x,y)
建
立直角
(a)
(b)
坐标,
且令带
习题图2-8
状电荷
位于xz平面内,如习题图2-8所示。
带状电荷可划分为很多条宽度为dx
的无限长线电荷,其线密度为
sdx。
那么,该无限长线电荷产生的电
场强度与坐标变量z无关,即
sdx
y2
exxx
eyy
得
那么
s
2exx
xeyy
10
ex
arctan
2-9已知均匀分布的带电圆盘半径为a,面电荷密度
为S,位于z=0平面,且盘心与原点重合,试求圆盘轴线上任一点电场强度E。
P(0,0,z)
dr
解如图2-9所
上取一半径为x
dr的圆环,该圆
习题图2-9
示,在圆盘
r,宽度为环具有的电
荷量为dq2rdrs。
由于对称性,该圆环电荷在z轴上任一点P产
生的电场强度仅的rP产生的电场强度的
有z分量。
根据习题2-7结果,获知该圆环电荷在z分量为
zr
sdr
dEz
那么,整个圆盘电荷在P产生的电场强度为
zrdr
0z2
20
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