数列分组求和法Word格式.docx
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(1)求数列{an}的通项公式;
⑵若数列{bn}满足:
bn=an+(-1)nlnan,求数列{bn}的前2n项和S2n.
[自主解答]
(1)当a1=3时,不合题意;
当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意;
当a1=10时,不合题意.
因此a1=2,a2=6,a3=18.所以公比q=3,故an=2•-1.
⑵因为bn=an+(-1)nlnan=2•-1+(—1)nIn(2n-3)=2•3+(—1)n(ln2—In3)+(-1)nnln3,
所以S2n=b1+b2+-+b2n=2(1+3+-+32n—1)+[—1+1—1+-+(—1)2n](ln2—In3)
1—32n
+[—1+2—3+-+(—1)2n2n]ln3=2x+nln3=32n+nln3—1.
1—3
丄由题悟法
分组转化法求和的常见类型
(1)若an=bn±
Cn,且{bn},{Cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和.
[bn,n为奇数,
⑵通项公式为an=的数列,其中数列{bn},{Cn}是等比数列或等差
Cn,n为偶数
数列,可采用分组求和法求和•
j以题试法
1•(2013威海模拟)已知数列{Xn}的首项X1=3,通项Xn=2np+nq(n€N*,p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列.求:
(1)p,q的值;
⑵数列{xn}前n项和Sn的公式.
解:
(1)由X1=3,得2p+q=3,又因为X4=24p+4q,
X5=25p+5q,且X1+X5=2X4,得3+25p+5q=25p+8q,
解得p=1,q=1.
(2)由
(1),知Xn=2n+n,所以Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=2n+1—2+nn+1
2.
1111
2.数列1彳,34,58,7^6,…的前n项和Sn为().
1
解析由题意知已知数列的通项为an二2n-1+》,
答案C
3•已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=5,S15=225.
⑵设bn=2an+2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
解析:
(1)设等差数列{an}的首项为ai,公差为d,
ai+2d=5,
由题意,得15X14
严+丁d=225,
-an—2n—1.
|a1=1,
解得
d=2,
(2)°
.bn—2an+2n—2n,
•Tn—b1+b2+…+bn
—-(4+42+…+4n)+2(1+2+-+n)
4n+1-422
—+n2+n——•l4+n2+n—一.
633
4.设{an}是公比为正数的等比数列,a1—2,a3—a2+4.
(1)求{an}的通项公式;
⑵设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}的前n项和Sn.
解析
(1)设q为等比数列{an}的公比,则由a1—2,a3—a2+4得2q2—2q+4,即q2—q—2—0,解得q—2或q—-1(舍去),因此q—2.
所以{an}的通项为an=2n2=2n(n€N*)
—2nnn-1
⑵Sn=^—^+nX1+X2言+1+n2-2.
(p
/
1+一
+
1+
一+一
+…+'
<
2丿
k
4丿
k项为
5.求和Sn=1+
111
+2+4石
=2[(1+1+…+1n个
6.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n(n€N*),贝USwo=
答案2600
解析由an+2—an=1+(—1)n知a2k+2—a2k=2,
a2k+1-a2k-1=0,「£
1=a3=a5=・・・=a2n-1=1,数列{a2k}是等差数列,a2k=2k.「S100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a1oo)
100+2X50
=50+(2+4+6+…+100)=50+-=2600.
7.求和:
=(1+2+3+・・・+n)+
f、
r1\
x+一
■+
X2+
+■
•+
xn+—
X丿
护丿
2n
⑵Sn=
n•2+11
解
(1)由于an=^^=n+巧,
-Sn=
(2)当x=±
l时,Sn=4n.当xm土1时,
Sn=x+一+x2+=F+xn+二x
=(x2+x4+・・・+x2n)+2n+-2+"
7+…+E
x—21—x—2n
+1—x-2+2n
4n
••Sn=x2n—1x2n+2+1
.一x2nx2—1
8•已知数列{an}中,a1=—60,an+1=an+3,则这个数列前30项的绝对值的和是
答案765
解析由题意知{an}是等差数列,an=—60+3(n—1)=3n—63,令an>
0,解得n>
21.
•••&
|+念|+念|+…+|a3o|
=—(a1+a2+・・・+a2o)+(a21+…+a3o)
—60+90—63X30
=S30—2S20=2—(—60+60—63)X20=765.
9.数列{an}的前n项和Sn=n2—4n+2,则內|+|a2|+…+|ae|=.
答案66
解析当n=1时,a1=Si=—1.
当n>
2时,an=Sn—Sn—1=2n—5.
—1n=1
•'
an=.
2n—5n>
5
令2n—5<
0,得n「
••当nw2时,an<
0,当n》3时,an>
0,
•|ai|+|a2|+…+|aio|=—(ai+a2)+(a3+a4+•••+aio)=S10—2S2=66.
10.数列{an}的通项公式为an=(—1)n—1•n—3),则它的前100项之和Soo等于()
A.200B.—200C.400D400
答案B
解析S100=(4Xi—3)—(4X2—3)+(4X3—3)—…一(4X100—3)=4X[(1—2)+(3—4)
+•••+(99—100)]=4X(—50)=—200.
11.(2012课标全国)数列{an}满足an+1+(—1)nan=2n—1,则佃}的前60项和为
答案1830
解析•an+1+(—1)nan=2n—1,
82=1+a1,a3=2—a1,a4=7—a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2—a1,a8=15—a1,a9=a1,a10=17+a1,an=2—a1,a12=23—a1,…,a57=a1,a58=113+a1,a59=2一a1,a60=119一a1,
31+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a57+a58+a59+a60)=10
+26+42+•••+234
15X10+234
==1830.
12.已知数列2008,2009,1,—2008,—2009,…这个数列的特点是从第二项起,每一项
都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2013项之和S2013等于()
A.1B.2010C.4018D.0
解析由已知得an=an—1+an+1(n>
2),「.an+1=an—an—1.
故数列的前8项依次为2008,2009,1,—2008,—2009,—1,2008,2009.由此可知数列为周期数列,周期为6,且S6=0.V2013=6X335+3,二&
013=S3=4018.
13.设f(x)=—x,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求
2匕2
f(-5)f(-4)f(0)…f(5)f(6)的值为
则原式=丄{[f(-5)f(6)][f(-4)f(5)]
[f(6)f(-5)]}J12—=3.2,选A
22
14.数列{an}的前n项和为Sn,满足:
a1=1,3tS^(2t3)Sn4=3t,其中t0,
n•N且n_2(I)求证:
数列{a.}是等比数列;
设数列{an}的公比为f(t),数列{bn}满足b1=1,bn=f()(n_2),求bn的通项bn」
20
(出)
解(I
记Tn二b1b2-硒3b3b4-砧5…b2n」b2nZ"
求证:
T^--
)当n_2时,3tSn-(2t-3)SnA-3t①,3tSn^(2t3)Sn-3t②
2221
g七」肓则L心丁丁3
15.1002-992982-97222-12的值是
原式二(10099)(9897)(21^5050,
16.等差数列{an}的公差不为零,a4=7,a1,a2,a5成等比数列,数列{Tn}满足条件Tn=a2+
a4+a8+-+a2n,则Tn=
设佃}的公差为d丸,由ai,a2,a5成等比数列,得a2=aia5,即(7—2d)2=(7-3d)(7+d).'
d=2或d=0(舍去).
••an=7+(n—4)X2=2n—1.又a2n=2•£
—1=2n+1—1,
••Tn=(22—1)+(23—1)+(24—1)+•••+(2n+1—1)
=(22+23+…+2n+1)—n=2n+2—n—4.
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- 数列 分组 求和