拉格朗日插值实验报告文档格式.docx

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0.401

0.5

f（x）

0.39894

0.39695

0.39142

0.38138

0.36812

0.35206

3算法原理与流程图

〔1〕原理

设函数y=在插值区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的插值节点a≤x0,x1,…,xn≤b上分别取值y0,y1,…,yn。

目的是要在一个性质优良、便于计算的插值函数类Φ中，求一简单函数P（x），满足插值条件P（xi）=yi（i=0,1,…,n），而在其他点x≠xi上，作为f（x）近似值。

求插值函数P（x）的方法称为插值法。

在本实验中，采用拉格朗日插值法。

分段低次插值

当给定了n+1个点x0<

x1<

…<

xn上的函数值y0,y1,…,yn后，假设要计算x≠xi处函数值f（x）的近似值，可先选取两个节点xi-1与xi使x∈[xi-1,xi]，然后在小区间[xi-1,xi]上作线性插值，即得

这种分段低次插值叫分段线性插值，又称折线插值。

类似地，我们可以选取距离x最近的三个节点xi-1，xi与xi+1，然后进展二次插值，即得

这种分段低次插值叫分段二次插值，又称分段抛物线插值。

全区间上拉格朗日插值

对节点xi（i=0,1,…,n）中任一点xk（0≤k≤n），作一n次多项式lk（x），使它在该点上的取值为1，在其余点xi（i=0,1,…,k-1,k+1,…,n）上取值为零。

对应于每一节点xk（k=0,1,…,n），都能写出一个满足此条件的多项式，这样写出了n+1个多项式l0（x）,l1（x）,…,ln（x），其中

；

由条件

可得

于是我们可以得出如下的拉格朗日n次插值多项式〔对于全区间上的插值，n取函数表的长度〕

（2）流程图

分段线性插值分段二次插值全区间拉格朗日插值

4程序代码及注释

1、分段线性插值

%分段线性插值

functiony=piece_linear（x0,y0,x）

%x0，y0为点，x为待求点

n=length（x0）;

p=length（y0）;

m=length（x）;

%n，p，m分别为x0，y0，x长度

ifn~=p

fprintf（'

Error!

Pleaseinputagain!

\n'

）;

%x0和y0长度不等时，报错

else

fori=1:

m

z=x（i）;

sum=0.0;

l=0;

%给l赋初值,根据x的值确定l

ifz<

x0

（1）|z>

x0（n）

x（%d）isoutofrange!

i）;

break;

end

%当插值点超出围时，报错

forj=2:

n

x0（j）

l=j;

ifl~=0

%一旦l有非零值，那么终止循环,选出适宜的l

fork=l-1:

l

a=1.0;

fors=l-1:

ifs~=k

a=a*（z-x0（s））/（x0（k）-x0（s））;

sum=sum+y0（k）*a;

y（i）=sum;

y（%d）=%f\nx1=%.3fy1=%.5f,x2=%.3fy2=%.5f\n\n'

i,y（i）,x0（l-1）,y0（l-1）,x0（l）,y0（l））;

%输出插值结果和所需节点

2、分段二次插值

%分段二次插值

functiony=piece_square（x0,y0,x）

forj=1:

n-2

p=0.5*（x0（j）+x0（j+1））;

p

ifl==0

l=n-1;

%输入正确时，假设l还等于零，l=n-1

l+1

fprintf（'

y（%d）=%f\nx1=%.3fy1=%.5f\nx2=%.3fy2=%.5f\nx3=%.3fy3=%.5f\n\n'

i,y（i）,x0（l-1）,y0（l-1）,x0（l）,y0（l）,x0（l+1）,y0（l+1））;

%输出插值结果与所需节点

3、拉格朗日全区间插值

%拉格朗日全区间插值

functiony=lagrange（x0,y0,x）

%x0，y0为点，x为待求点

s=0.0;

fork=1:

p=1.0;

ifj~=k

p=p*（z-x0（j））/（x0（k）-x0（j））;

s=p*y0（k）+s;

y（i）=s;

y（%d）=%.5f\n'

i,y（i））;

%输出插值结果

5算例分析

1、测试例如

>

x=[1234];

y=[234];

y2=lagrange（x,y,x0）

y=[2345];

x0=[0.55.5];

x

（1）isoutofrange!

x0=[1.55.5];

y

（1）=2.50000

x

（2）isoutofrange!

y2=

2.500000000000000

2、首先输入函数变及待求点

x=[0.00.10.1950.30.4010.5];

y=[0.398940.396950.391420.381380.368120.35206];

x0=[0.150.310.47];

注：

保证在matlab工作目录中有三个.m文件

3、分段线性插值

y0=piece_linear（x,y,x0）

y

（1）=0.394039

x1=0.100y1=0.39695,x2=0.195y2=0.39142

y

（2）=0.380067

x1=0.300y1=0.38138,x2=0.401y2=0.36812

y（3）=0.356927

x1=0.401y1=0.36812,x2=0.500y2=0.35206

y0=

0.3940394736842110.3800671287128710.356926666666667

4、分段二次插值

y1=piece_square（x,y,x0）

y

（1）=0.394460

x1=0.100y1=0.39695

x2=0.195y2=0.39142

x3=0.300y3=0.38138

y

（2）=0.380225

x1=0.195y1=0.39142

x2=0.300y2=0.38138

x3=0.401y3=0.36812

y（3）=0.357247

x1=0.300y1=0.38138

x2=0.401y2=0.36812

x3=0.500y3=0.35206

y1=

0.3944603195488720.3802246915953730.357246844884488

5、全区间拉格朗日插值

y

（1）=0.39447

y

（2）=0.38022

y（3）=0.35722

0.3944728038780610.3802190624547320.357222112339485

6讨论与结论

1、使用tic,toc函数计算以下四种方法计算上述问题所运行的时间

Function

lagrange（x0,y0,x）

piece_linear（x0,y0,x）

piece_square（x0,y0,x）

运行时间（s）

0.000272

0.000375

从三次实验结果可知，三个程序的运行时间都很短。

2、程序优化

由分段线性插值和分段二次插值的原理，x取值在函数表围时，插值结果有意义，而当x取值在函数表围以外，利用分段线性插值公式仍可以进展运算并得到一个值，但其结果不准确；

分段二次插值那么无法找到三个适宜的点以求插值，不予以输出结果；

假设输入的函数表x与y的长度不相等，那么无法插值。

所以参加以下判断以提高插值的准确性

3、作图比较

上图为三种方法的插值曲线，其中x取0到0.5，步长为0.001，由图可得，三种曲线非常接近，这说明我们用拉格朗日插值计算所给点函数值的近似值时，引起的误差还是比较小的。

参考文献

[1]易大义，云宝，有法.计算方法（第2版），大学.p.29-53.

[2]琨高思超毕靖编著MATLAB2021从入门到精通电子工业