最大公约与最小公倍Word文档下载推荐.docx
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2.短除法:
先找所有共有的约数,然后相乘。
(12,18)=2×
3=6;
3.辗转相除法:
每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。
用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下:
先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数;
再
用第一个余数除小的一个数,得第二个余数;
又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数;
这样逐
次用后一个数去除前一个余数,直到余数是0为止。
那么,最后一个除数就是所求的最大公约数。
(如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质数)。
求600和1515的最大公约数。
1515÷
600=2…315;
600÷
315=1…285;
315÷
285=1…30;
285÷
30=9…15;
30÷
15=2…0;
所以1515和600的最大公约数是15。
最大公约与最小公倍的性质:
两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
5、两个合数的积是5766,它们的最大公约数是31。
那么,这两个数是多少?
【例4】甲数是36,甲、乙两数最大公约数是4,最小公倍数是288,那么乙数是多少?
(北大资源杯试题)
答案:
32.
解析:
甲数×
乙数=4×
288,所以,乙数=288×
4÷
36=32。
例4:
两个数的最大公约数是15,最小公倍数是360,且这两个数相差75,求这两个数。
分析:
根据最大公约数、最小公倍数的定义,360÷
15=24,24是所求的两个数它们各自独有的不同的约数的乘积,并且它们的这两个约数必然互质,即用所求的两个数的最大公约数分别除这两个数所得的商的积等于24。
且24必是两个互质数的乘积。
很容易得到24=1×
24=3×
8,1与24,3与8分别互质,这样得到两组解:
15×
1=15,15×
24=360;
3=45,15×
8=120;
且
120-45=75,得到了问题的解。
解:
因为360÷
15=24,24=1×
8
且120-45=75
所以这两个数分别为45,120。
两个自然数的和是54,它们的最小公倍数与最大公约数的差为114,求这两个自然数分别是多少?
24,30
□×
(A+B)=54=2×
3×
3
A×
B-□=114→□×
(A×
B-1)=114=2×
19
□=2×
3或3或2
【例7】已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数。
4和60或12和20.
两个自然数的积=两数的最大公约数×
两数的最小公倍数,可以得到,最大公约数是4,那么还是利用短除法:
那么a×
b=60÷
4=15,所以a和b可以取1和15或3和5,所以这两个数是4和60或15和25
注:
此类问题解决容易漏解,一定让学生学会画短除式,然后再来求解。
【例5】有336个苹果,252个桔子,210个梨,用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物?
在每份礼物中,三样水果各多少?
42份,每份中有苹果8个,桔子6个,梨5个。
此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数,有(336,252,210)=42即可以分42份,每份中有苹果8个,桔子6个,梨5个。
【练习】幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个,平均分给大班小朋友,结果糖多出7颗,饼干多出4块,桔子多出2个.这个大班的小朋友最多有几个人?
36人。
根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公约数.所以,这个大班的小朋友最多有36人.
【例6】一个学校参加兴趣活动的学生不到100人,其中男同学人数超过总数的4/7,女同学的人数超过总数的2/5。
问男女生各多少人?
(理工附入学测试题)
男生41人,女生29人。
男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7,这样女生的范围在2/5~3/7之间,同理可得男生在4/7~3/5之间,这样把分数扩大,我们可得女生人数在28/70~30/70之间,所以只能是29人,这样男生为41人。
【练习】已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少?
147或105
分析此题利用短除法会比较直观简单,假设这两个数是A和B,如右图:
易得21×
a×
b=126,所以a×
b=6,由a和b互质,那么就有6=1×
6=2×
3两种情况。
所以甲、乙是:
21×
1=21,21×
6=126或21×
2=42,21×
3=63两种情况。
它们的和是147或105。
【例8】一个数乘2是4的倍数,乘3是9的倍数,乘4是16的倍数,乘5是25的倍数,乘6是36的倍数,乘7是49的倍数,乘8是64的倍数,乘9是81的倍数.这个数最小是?
2520
依题意,这个数同时是2、3、4、5、6、7、8、9的倍数.因此,这个数最小是2,3,4,5,6,7,8,9的最小公倍数,即[2,3,4,5,6,7,8,9]=5×
8×
9=2520.
【练习】爷爷对小明说:
“我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。
”你知道爷爷和小明现在的年龄吗?
70
爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化,但他们的年龄差是保持不变的。
爷爷的年龄现在是小明的7倍,说明他们的年龄差是6的倍数;
同理,他们的年龄差也是5,4,3,2,1的倍数。
由此推知,他们的年龄差是6,5,4,3,2的公倍数。
[6,5,4,3,2]=60,爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。
考虑到年龄的实际情况,爷爷与小明的年龄差应是60岁。
所以现在小明的年龄=60÷
(7-1)=10(岁),
爷爷的年龄=10×
7=70(岁)。
【例5】用一个数去除30、60、75,都能整除,这个数最大是多少?
分析∵要求的数去除30、60、75都能整除,
∴要求的数是30、60、75的公约数。
又∵要求符合条件的最大的数,
∴就是求30、60、75的最大公约数。
解:
∵
(30,60,75)=5×
3=15
这个数最大是15。
【例6】一个数用3、4、5除都能整除,这个数最小是多少?
分析由题意可知,要求的数是3、4、5的公倍数,且是最小的公倍数。
∵[3,4,5]=3×
4×
5=60,
∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。
【例7】Therearethreebrasswires.Thefirstoneis120centimeterslong.Thesecondoneis180centimeterslong.Thelastoneis300centimeterslong.Nowwewillcutthemintosomesegmentswiththesamelength.Anyleavingsofthewireisnotallowed.Whatisthebiggestlengthofeverysegment?
Witheverysegmentthebiggestlength,howmanysegmentscouldweget?
有三根铁丝,长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩余,每小段最长多少厘米?
一共可以截成多少段?
brasswires:
铜丝
centimeter:
厘米
segment:
段,节
分析∵要截成相等的小段,且无剩余,
∴每段长度必是120、180和300的公约数。
又∵每段要尽可能长,
∴要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数.
(120,180,300)=30×
2=60
∴每小段最长60厘米。
120÷
60+180÷
60+300÷
60
=2+3+5=10(段)
答:
每段最长60厘米,一共可以截成10段。
【例8】一次聚会(party)供有三种饮料(drink).餐后统计,三种饮料共用了65瓶;
平均每2个人饮用一瓶A饮料,每3人饮用一瓶B饮料,每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人?
分析由题意可知,参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。
∵[2,3,4]=12
∴参加会餐人数应是12的倍数。
又∵12÷
2+12÷
3+12÷
4
=6+4+3=13(瓶),
∴可见12个人要用6瓶A饮料,4瓶B饮料,3瓶C饮料,共用13瓶饮料。
又∵65÷
13=5,
∴参加会餐的总人数应是12的5倍,
12×
5=60(人)。
参加会餐的总人数是60人。
在学校,我们已经学过用短除法求两个数的最大公约数,但有时会遇到两个数除了1以外的公约数一下不好找到,但又不能轻易断定它们是互质数,在此,我们介绍另一种求最大公约数的方法-----辗转相除法。
例如,我们想求2703与1113的最大公约数,我们用2703÷
1113,商2余477;
1113÷
477,商2余159;
477÷
159,商3余0。
这时我们可以写成形式2703=2×
1113+477, 1113=2×
477+159,477=3×
159。
当余数为0时,最后一个算式中的除数159就是原来两个数2703和1113的最大公约数。
我们写成这样的形式更容易看出来,477=159×
3,1113=159×
2+159=159×
7,2703=159×
2+477=159×
2+159×
3=159×
17。
又∵7和17是互质数,∴159是2703和1113的最大公约数。
【例9】用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。
∵4811=2×
1981+849,
1981=2×
849+283,
849=3×
283,
∴(4811,1981)=283。
补充说明:
如果要求三个或更多的数的最大公约数,可以先求其中任意两个数的最大公约数,再求这个公约数与另外一个数的最大公约数,这样求下去,直至求得最后结果.也可以直接观察,依次试公有的质因数。
【例10】求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少?
∵(1260,1008)=252,
(882,1134)=126,
又(252,126)=126,
∴(1008,1260,882,1134)=126。
求两个数的最小公倍数,我们在课堂上学习过用短除法,是否也有其他方法呢?
请看例11.
【例11】两个数的最大公约数是4,最小公倍数是252,其中一个数是28,另一个数是多少?
∴x=4×
y,28=4×
7
∴28x=4×
y×
又∵4是x和28的最大公约数,(y,7)=1,
∴4×
7是x和28的最小公倍数。
∴x×
28=4×
252
252÷
28=36
∴要求的数是36。
通过例11的解答过程,不难发现:
如果用a和b表示两个自然数,那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是:
(a,b)×
[a,b]=a×
b。
这样,求两个数的最小公倍数的问题,即可转化成先求两个数的最大公约数,再用最大公约数除两个数的积,其结果就是这两个数的最小公倍数。
【例12】求21672和11352的最小公倍数。
∵(21672,11352)=1032
(1032可以用辗转相除法求得)
∴[21672,11352]=21672×
11352÷
1032
=238392。
21672和11352的最小公倍数是238392.
【英文词汇表】
最大公约数与最小公倍数
甲、乙、丙三个学生定期向某老师求教,甲每4天去一次,乙每6天去一次,丙每9天去一次。
如果这一次他们三人是3月23日都在这个老师家见面,那么下一次三人都在这个老师家见面的时间是几月几日?
如果数a能被数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
约数和倍数都表示一个数与另一个数的关系,不能单独存在。
如只能说16是某数的倍数,2是某数的约数,而不能孤立地说16是倍数,2是约数。
"
倍"
与"
倍数"
是不同的两个概念,"
是指两个数相除的商,它可以是整数、小数或者分数。
"
只是在数的整除的范围内,相对于"
约数"
而言的一个数字的概念,表示的是能被某一个自然数整除的数,它必须是一个自然数。
几个自然数,公有的约数,叫做这几个数的公约数;
12、16的公约数有1、2、4,其中最大的一个是4,4是12与16的最大公约数,一般记为(12、16)=4。
12、15、18的最大公约数是3,记为(12、15、18)=3。
几个自然数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
4的倍数有4、8、12、16,……,6的倍数有6、12、18、24,……,4和6的公倍数有12、24,……,其中最小的是12,一般记为[4、6]=12。
12、15、18的最小公倍数是180。
记为[12、15、18]=180。
1、分解质因数法
把每个数分别分解质因数,再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘,所得的积就是
这几个数的最大公约数。
求24和60的最大公约数,先分解质因数,得24=2×
2×
3,60=2×
5,24与60的全部公有的质因数是2、2、3,它们的积是2×
3=12,
所以,(24、60)=12。
把几个数先分别分解质因数,再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘,所得的积就是这几个数的最小公倍数。
求6和15的最小公倍数。
先分解质因数,得6=2×
3,15=3×
5,6和15的全部公有的质因数是3,6独有质因数是2,15独有的质因数是5,2×
5=30,30里面包含6的全部质因数2和3,还包含了15的全部质因数3和5,且30是6和15的公倍数中最小的一个,所以[6,15]=30。
2、短除法
短除法求最大约数,先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所有的商互质为止,然
后把所有的除数连乘起来,所得的积就是这几个数的最大公约数。
例如,求24、48、60的最大公约数。
(24、48、60)=2×
2=12
短除法求最小公倍数,先用这几个数的公约数去除每一个数,再用部分数的公约数去除,并把不能整除的数移下来,一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止,然后把所有的除数和商连乘起来,所得的积就是这几个数的最小公倍数,例如,求12、15、18的最小公倍数。
(12、15、18)=3×
5×
3=180
无论是短除法,还是分解质因数法,在质因数较大时,都会觉得困难。
这时就需要用新的方法。
3、辗转相除法
先看一个例子:
从一张长2002毫米,宽847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能
大的正方形,如果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形,按照上面的过程不断地重复,最后剪得的正方形的边长是___________毫米。
解:
剪的过程如图所示
第一,二次剪下848×
847平方毫米的正方形。
第二,三次剪下边长308毫米的正方形
第五次剪下边长231毫米的正方形。
第六、七、八次剪下边长77毫米的正方形。
以上的解题过程,实际上给出了求最大公约数的另一个办法--辗转相除法。
以上过程可用算式表示如下:
2002=847×
2+308
847=308×
2+231
308=231×
2+77
231=77×
由以上算式可以看出,这种方法就是用大数除以小数再用上次运算中的除数除以余数,如此反复除,直到余数为零。
最后一个除数就是两数的最大公约数。
这是因为:
两个数的最大公约数,同时是两个数的约数,也就是余数的约数。
拿此题来讲,2002和847的公约数,也就是847和308的公约数。
由于231是77的倍数,所以它们的最大公约数就是77,即2002与847的最大公约数。
辗转相除法的竖式格式如下:
在解有关最大公约数、最小公倍数的问题时,常用到以下结论:
(1)如果两个数是互质数,那么它们的最大公约数是1,最小公倍数是这两个数的乘积。
例如8和9,它们是互质数,所以(8,9)=1,[8,9]=72。
(2)如果两个数中,较大数是较小数的倍数,那么较小数就是这两个数的最大公约数,较大数就是这两个数的最小公倍数。
例如18与3,18÷
3=6,所以(18,3)=3,[18,3]=18。
(3)两上数分别除以它们的最大公约数,所得的商是互质数。
例如8和14分别除以它们的最大公约数2,所得的商分别为4和7,那么4和7是互质数。
(4)两个数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
例如12和16,(12,16)=4,[12,16]=48,有4×
48=12×
16,即(12,16)×
[12,16]=12×
16。
例1:
引例。
甲第4天,第8天,第12天,……去看望老师。
乙第6天,第12天,第18天,……
去看望老师。
丙第9天,第18天,第27天,……去看望老师。
下一次三人都在老师家见面的时间是第[4,6,9]=36天。
∵[4,6,9]=36
从3月23日起,再过36天应是4月28日
∴下一次三人在老师家见面的时间是4月28日。
例2:
将长200厘米,宽120厘米,厚40厘米的长方体木料锯成同样大小的正方体木块,而没有剩余,共有多少种不同的锯法?
当正方体的边长是多少时,锯成的小木块的体积最大,共有多少块?
由题意知,锯成的小正方体的边长应能整除200,120和40,也就是说,小正方体的边长是这三个数的公约数,得出的不同的公约数的个数就代表有多少种不同的锯法。
另外要求锯成的小木块的体积最大时的正方体的边长,只要使小正方体的边长为最大就行了,即求200、120和40的最大公约数。
最后可求得锯的块数。
(200,120,40)=40,40=2×
5=23×
5
40的约数个数为(3+1)×
(1×
1)=8
锯的块数为(200÷
40)×
(120÷
(40÷
40)
=5×
1=15
答:
共有8种锯法,当正方体的边长是40厘米时,锯成的小木块的体积最大,共有15块。
例3:
求1300到1400玻璃球数,使之分别按三个三个数,四个四个数,五个五个数,六个六个数,最后都差一个,改为七个七个数时,正好数完。
这个数必然是3、4、5、6的公倍数差1,而又是7的倍数。
3,4,5,6的最小公倍数是60,因此这个数可表示为60k-1(K是自然数)。
当K=1时,60×
1-1=59,被7除余3;
当K=2时,60×
2-1=119,被7整除。
符合,三个三个数,四个四个数,五个五个数,六个六个数,最后都差一个,见七个七个数,正好数完。
但所求数要求在1300至1400之间,只要在119基础上,增加3,4,5,6,7的最小公倍数的整数倍就可得到所求的数。
因为(3,4,5,6)=60,因此这个数可表示为60K-1(K是自然数),当K=2时,60×
2-1=119,能被7整除;
又(3,4,5,6,7)=420,所以这个数可表示为119+420m(m是自然数)。
当m=3时,119+420×
3=1359在1300至1400之间。
所以1359即为所求。
例5:
试用2,3,4,5,6,7六个数字自成两个三位数,使这两个三位数与540的最大公约数尽可能大?
因为540=22×
33×
5,而2,3,4,5,6,7中只有一个5,因此这六个数字组成的两个三位数中不会有公约数5,所以这两个三位数与540的最大公约数只可能为22×
33=108,再进行试验,108×
2=216,216中1不是已知数字,108×
3=324,还剩5,6,7三个数字,而108×
7=756,于是问题得到解决。
5,所以2,3,4,5,6,7这六个数组成的两位数与540的最大公约数只可能为22×
33=108,经试验得到108×
3=324,108×
7=756,所以324,756即为所求。
例6:
在800米的环岛上,每隔50米插一面彩旗,后来又
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