高中数学常用公式汇总.docx
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高中数学常用公式汇总.docx
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高中数学常用公式汇总
1、元素与集合的关系
2、集合 的子集个数共有 个;真子集有 个;非空子集有个;非空的真子集有 个.
3、二次函数的解析式的三种形式:
(1) 一般式:
(2) 顶点式:
(当已知抛物线的顶点坐标 时,设为此式)
(3) 零点式:
(当已知抛物线与轴的交点坐标为 时,设为此式)
(4)切线式:
。
(当已知抛物线与直线 相切且切点的横坐标为 时,
设为此式)
4、 真值表:
同真且真,同假或假
5、常见结论的否定形式;
6、四种命题的相互关系(下图):
(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.)
充要条件:
(1) 则P是q的充分条件,反之,q是p的必要条件;
(2) 且q≠>p,则P是q的充分不必要条件;
(3)p≠>p,且 ,则P是q的必要不充分条件;
(4)p≠>p,且 则P是q的既不充分又不必要条件。
7、函数单调性:
增函数:
(1)文字描述是:
y随x的增大而增大。
(2)数学符号表述是:
设f(x)在 上有定义,若对任意的 ,都有 成立,
则就叫 在上是增函数。
D则就是f(x)的递增区间。
减函数:
(1)、文字描述是:
y随x的增大而减小。
(2)、数学符号表述是:
设f(x)在xD上有定义,若对任意的 ,都有
成立,则就叫f(x)在上是减函数。
D则就是f(x)的递减区间。
单调性性质:
(1)、增函数+增函数=增函数;
(2)、减函数+减函数=减函数;
(3)、增函数-减函数=增函数;(4)、减函数-增函数=减函数;
注:
上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性:
等价关系:
(1)设 ,那么
上是增函数;
上是减函数.
(2)设函数 在某个区间内可导,如果 ,则 为增函数;如果 ,则为减函数.
8、函数的奇偶性:
(注:
是奇偶函数的前提条件是:
定义域必须关于原点对称)
奇函数定义:
在前提条件下,若有 , 则f(x)就是奇函数。
性质:
(1)、奇函数的图象关于原点对称;
(2)、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间;
(3)、定义在R上的奇函数,有f(0)=0.
偶函数定义:
在前提条件下,若有f(—x)=f(x),则f(x)就是偶函数。
性质:
(1)、偶函数的图象关于y轴对称;
(2)、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间;
奇偶函数间的关系:
(1)、奇函数·偶函数=奇函数;
(2)、奇函数·奇函数=偶函数;
(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数;(4)、奇函数±奇函数=奇函数(也有例外得偶函数的)
(5)、偶函数±偶函数=偶函数;(6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,
那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
9、函数的周期性:
定义:
对函数f(x),若存在 ,使得f(x+T)=f(x),则就叫f(x)是周期函数,
其中,T是f(x)的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式:
(1)、f(x+T)=-f(x),此时周期为2T;
(2)、f(x+m)=f(x+n),此时周期为 ;
(3)、 此时期为2m。
10、常见函数的图像:
11、 对于函数 恒成立,则函数的对称轴是 ;
两个函数f=(x+a)与y=(b-x)的图象关于直线 对称.
12、分数指数幂与根式的性质:
13、指数式与对数式的互化式:
.
指数性质:
指数函数:
(1)、 在定义域内是单调递增函数;
(2)、 在定义域内是单调递减函数。
注:
指数函数图象都恒过点(0,1)
对数性质:
对数函数:
(1)、 在定义域内是单调递增函数;
(2)、 在定义域内是单调递减函数;注:
对数函数图象都恒过点(1,0)
(3)、
(4)、
14、 对数的换底公式:
对数恒等式
推论
15、对数的四则运算法则:
若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
16、平均增长率的问题(负增长时):
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间的总产值,
有 .
17、等差数列:
通项公式:
(1) ,其中 为首项,d为公差,n为项数, 为末项。
(2)推广:
(3) (注:
该公式对任意数列都适用)
前n项和:
(1) ;其中为首项,n为项数,为末项。
(2)
(3) (注:
该公式对任意数列都适用)
(4) (注:
该公式对任意数列都适用)
常用性质:
(1)、若m+n=p+q,则有 ;
注:
若 的等差中项,则有 n、m、p成等差。
(2)、若 、为等差数列,则 为等差数列。
(3)、 为等差数列,为其前n项和,则 也成等差数列。
(4)、
(5)
等比数列:
通项公式:
(1) ,其中为首项,n为项数,q为公比。
(2)推广 :
(3) (注:
该公式对任意数列都适用)
前n项和:
(1) (注:
该公式对任意数列都适用)
(2) (注:
该公式对任意数列都适用)
(3)
常用性质:
(1)、若m+n=p+q,则有 ;
注:
若 的等比中项,则有 成等比。
(2)、若、 为等比数列,则 为等比数列。
18、分期付款(按揭贷款) :
每次还款 元(贷款元,次还清,每期利率为).
19、三角不等式:
(1)若 ,则 .
(2)若 ,则 .
(3).
20、同角三角函数的基本关系式:
21、 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
22、和角与差角公式
(辅助角 所在象限由点(a,b)的象限决定 ,).
23、二倍角公式及降幂公式
.
24、三角函数的周期公式
函数 及函数 ),x∈R(A,ω,为常数,且A≠0)的周期 ; 函数,(A,ω,为常数,且A≠0)的周期 .
三角函数的图像:
25、正弦定理:
(R为 外接圆的半径).
26、余弦定理:
27、面积定理:
(1) 分别表示a、b、c边上的高).
28、三角形内角和定理:
在△ABC中,有
.
29、实数与向量的积的运算律:
设λ、μ为实数,那么:
30、与的数量积(或内积):
·
31、平面向量的坐标运算:
32、两向量的夹角公式:
33、平面两点间的距离公式:
34、向量的平行与垂直:
设=,=, ,则:
(交叉相乘差为零)
(对应相乘和为零)
35、线段的定比分公式:
设 ,是线段 的分点,是 实数,
且 ,则
36、三角形的重心坐标公式:
三个顶点的坐标分别为
则的重心的坐标是
.
37、三角形五“心”向量形式的充要条件:
设为所在平面上一点,角所对边长分别为,则
38、常用不等式:
39、极值定理:
已知都是正数,则有
(1)若xy积是定值P,则当x=y时和有最小值 ;
(2)若x+y和是定值S,则当x=y时积有xy最大值 .
(3)已知 ,若 则有
(4)已知 ,若则有
40、一元二次不等式 ,如果a与 同号,则其解集在两根之外;如果a与 异号,则其解集在两根之间.简言之:
同号两根之外,异号两根之间.即:
.
41、含有绝对值的不等式:
当a>0时,有
.
42、斜率公式:
43、直线的五种方程:
(1)点斜式:
(直线 ).
(2)斜截式:
(b为直线在y轴上的截距).
(3)两点式:
两点式的推广:
(无任何限制条件!
)
(4)截距式:
(分别为直线的横、纵截距, )
(5)一般式:
(其中A、B不同时为0).
直线的 法向量:
,方向向量 :
44、夹角公式:
45、到的角公式:
46、点到直线的距离 :
(点,直线:
).
47、圆的四种方程:
(1)圆的标准方程:
(2)圆的一般方程:
(>0).
(3)圆的参数方程:
(4)圆的直径式方程:
(圆的直径的端点是
48、点与圆的位置关系:
点 与圆 的位置关系有三种:
若
49、直线与圆的位置关系:
直线 与 圆的位置关系有三种
50、两圆位置关系的判定方法:
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,, 则:
.
51、椭圆 的参数方程是 . 离心率 ,
准线到中心的距离为 ,焦点到对应准线的距离(焦准距) 。
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为 :
.
52、 椭圆 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:
53、椭圆的的内外部:
54、椭圆的切线方程:
55、双曲线的 离心率 ,准线到中心的距离为 ,焦点到对应准线的距离(焦准距) 。
过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为:
.
焦半径公式 ,
两焦半径与焦距构成三角形的面积 。
56、双曲线的方程与渐近线方程的关系:
(1)若双曲线方程为 渐近线方程:
(2)若渐近线方程为 双曲线可设为.
(3)若双曲线 与有公共渐近线,可设为
( ,焦点在x轴上, ,焦点在y轴上).
(4)焦点到渐近线的距离总是b。
57、双曲线的切线方程:
.
58、抛物线 的焦半径公式:
抛物线 焦半径
过焦点弦长 .
59、二次函数 的图象是抛物线:
(1)顶点坐标为 ;
(2)焦点的坐标为 ;
(3)准线方程是
60、直线与圆锥曲线相交的弦长公式:
或
(弦端点 ,由方程 消去y得到
为直线的倾斜角, 为直线的斜率
61、证明直线与平面的平行的思考途径:
(1)转化为直线与平面
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