高考复习圆锥曲线与方程复习讲义.docx
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高考复习圆锥曲线与方程复习讲义
圆锥曲线与方程复习讲义
第一讲 椭圆
[知识盘点]
一.椭圆的定义:
我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数( )的点的轨迹叫做椭圆,用符号表示为 。
这两个定点叫椭圆的 ,两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。
注:
当2a=时,点的轨迹是线段;当2a<时,点无轨迹.
二.椭圆的简单几何性质
椭圆
定义
到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
图
形
焦点在x轴上
焦点在y轴上
方
程
标准
方
程
参数
方
程
范围
─axa,─byb
─axa,─byb
中心
原点O(0,0)
原点O(0,0)
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,─b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(─b,0),B2(b,0)
对称轴
关于x,y轴成轴对称
关于原点成中心对称
关于x,y轴成轴对称
关于原点成中心对称
焦点
F1(c,0),F2(─c,0)
F1(0,c),F2(0,─c)
焦距
2c(其中c=)
2c(其中c=)
长轴短轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
离心率
通径
三.椭圆的性质:
椭圆参数的几何意义,如下图所示:
(1)|PF1|+|PF2|=2a(第一定义),
(2)椭圆上的点到左焦点的距离最小值:
,
椭圆上的点到左焦点的距离最大值:
;
(3)椭圆上过焦点的弦长中长轴最长,通经最短;
(4)斜率为定值的动直线与椭圆所截的弦中过椭圆中心的弦长最长;(对称性)
(5)在焦点三角形PF1F2中,
①顶角∠PF1F2的大小当点P与短轴顶点重合时最大;
②,当越大S越大,所以当点P与短轴顶点重合时焦点三角形PF1F2的面积最大;
③设顶角∠PF1F2=θ,则(椭圆的定义及余弦定理推导)
④椭圆的离心率与焦点三角形PF1F2的内角的关系:
(正弦定理推导)
(6)离心率e==(0<e<1),确定椭圆的形状:
越大椭圆越扁,越小椭圆越圆.θ
(7)点在椭圆内,则,点在椭圆外,则;
[特别提醒]
1.涉及到直线与椭圆的位置关系问题时,要注意判别式及韦达定理的运用。
2.直线与椭圆相交时的弦的中点与斜率的问题时可利用点差法,设点而不求。
3.弦长公式。
[基础闯关]
一、判断椭圆的焦点位置:
1.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()
(A)(0,+∞)(B)(0,2)(C)(1,+∞)(D)(0,1)
2.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k等于()
(A)-1(B)1(C)(D)-
注:
椭圆Ax2+By2=1(A、B为实数)表示椭圆的充要条件为A>0,且B>0且A≠B;
当A>B时椭圆的焦点在y轴上;当A
3.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在坐标轴上,且经过两点、;
(2)经过点(2,-3)且与椭圆具有共同的焦点.
[警示]
(1)当椭圆的焦点位置不确定而椭圆的方程又是标准方程时,可设其方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且),而不必考虑焦点的位置,求得椭圆的方程;
(2)已知椭圆的焦点坐标时,可用定义法求解椭圆的方程。
二、椭圆的定义的应用
1.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F2的直线交椭圆于A、B,若|AB|=5,则
|AF1|+|BF1|=()(A)11(B)10(C)9(D)16
2.椭圆上一点M到左焦点的距离为2,N是的中点,则=( )
(A)2(B)4(C)8(D)
注意:
以焦点半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆内切.
3.如图,把椭圆的长轴分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点,是椭圆的一个焦点,则__________
4.F1、F2分别为椭圆=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是_____.
5.一动圆与已知圆外切,与圆内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程。
三、焦点三角形的面积及角的最大值问题
1.F1、F2是椭圆C:
的两个焦点,在C上满足PF1⊥PF2的点的个数是_________.
2.已知是椭圆的两个焦点,点P是椭圆上一点.
(1)若,求的面积;
(2)若为钝角,求点P横坐标的取值范围.
3.已知椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点,且,求椭圆的离心率的取值范围。
四、椭圆中的离心率问题
1.若一个椭圆的长轴、短轴、焦距成等差数列,求该椭圆的离心率。
2.已知椭圆的两个焦点,满足的点M总在椭圆内部,求椭圆的离心率的取值范围。
3.已知椭圆的左、右焦点分别为、。
若椭圆上存在点P使,求椭圆的离心率的取值范围。
4.已知椭圆的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且轴,直线AB交y轴于点P,若,求该椭圆的离心率。
五、椭圆中的最值问题
1.已知椭圆内一点P(1,-1),F是椭圆的右焦点,点M在椭圆上,求点M坐标,使最大或最小.
2.已知点P()在椭圆8x2+3y2=24上,求的取值范围.
3.已知直线:
y=x+3与双曲线,如果以双曲线的焦点为焦点作椭圆,使椭圆与n有公共点,求这些椭圆中长轴最短的椭圆方程。
五、直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆总有公共点,则m的取值范围为_________.
2.求椭圆上的点P,使其到直线的距离最大或最小,并求此最大值或最小值。
3.已知椭圆及直线,
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。
4.已知椭圆上有两个不同点关于直线对称,求m的取值范围.
点差法
1.求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦中点横坐标为的椭圆方程。
2.已知直线l与椭圆相交于A、B两点,弦AB中点坐标(1,1),求及直线l的方程。
3.已知椭圆,
(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(2)过引椭圆的割线,求截得得弦的中点轨迹方程;
(3)求过点,且被平分的弦所在的直线方程.
韦达定理
已知椭圆的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆相交于A、B两点,若,求k的值。
第二讲 双曲线
[知识盘点]
一.双曲线的定义:
我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线,用符号表示为 。
这两个定点叫双曲线的 ,两个焦点之间的距离叫做双曲线的 。
注意:
当2﹤2时,轨迹是双曲线;
当2=2时,轨迹是两条射线;当2﹥2时,轨迹不存在。
二.双曲线的几何性质
椭圆
定义
到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹
图
形
焦点在x轴上
焦点在y轴上
方
程
范围
或
或
中心
原点O(0,0)
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,─b),B2(0,b)
对称轴
关于x,y轴成轴对称
关于原点成中心对称
焦点
F1(─c,0),F2(c,0)
F1(0,c),F2(0,─c)
焦距
2c(其中c=)
实轴虚轴
实轴A1A2的长为2a
虚轴B1B2的长为2b
离心率
通径
渐近线
三.双曲线的性质:
(1)双曲线参数的几何意义:
在Rt△OAB(如图),它的三边长分别是a、b、c.易见c2=a2+b2,若记∠AOB=θ,则e==.
(2)定义:
||MF1|-|MF2||=2a,其中2a<|F1F2|,
注意:
当|MF1|-|MF2|=2a时,曲线仅表示焦点F2所对应的一支;
当|MF1|-|MF2|=-2a时,曲线仅表示焦点F1所对应的一支;
当2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线;
当2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在.
(3)双曲线上到左(右)焦点的距离最小值的点是左(右)顶点:
,
(4)双曲线上过焦点的弦中,端点在同一支上时通经最短,端点在两支上时实轴最短。
(5)双曲线的焦点到准线的距离为b;
(6)在焦点三角形PF1F2中,
①设顶角∠PF1F2=θ,则(双曲线的定义及余弦定理推导)
②双曲线的离心率与焦点三角形PF1F2的内角的关系:
(正弦定理推导)
(7)双曲线的e>1,e越大,渐近线的斜率的绝对值就越大,它的开口就越阔.
(8)点在双曲线内,则,点在双曲线外,则;
(9)等轴双曲线:
1)定义:
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.(a=b)
2)性质:
①渐近线方程为:
;②渐近线互相垂直;③离心率.
④等轴双曲线可以设为:
当时交点在x轴,当时焦点在y轴上。
(10)共轭双曲线:
1)定义:
以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线.
2)区别:
三量a,b,c中a,b互换,c相同.共用一对渐近线.确定双曲线的共轭双曲线的方法:
将1变为-1.
(11)渐近线:
给定了双曲线方程-=1,令-=0就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程,只是限制了双曲线张口的大小,不能直接写出双曲线方程.
共渐近线的双曲线系:
若已知渐近线方程是±=0,则可把双曲线方程表示为-=(≠0),再根据已知条件确定的值,求出双曲线的方程.
[基础闯关]
一、双曲线的方程及定义:
1.已知方程的图象是双曲线,那么k的取值范围是( )
A.k<1 B.k>2 C.k<1或k>2 D.1<k<2
2.“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的()
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要条件
注:
方程Ax2+By2=1(A、B为实数)表示双曲线的充要条件为A*B<0;
当A>0、B<0时双曲线的焦点在x轴上;当A<0、B>0时双曲线的焦点在y轴上.
3.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则()
(A)(B)(C)(D)
4.过双曲线左焦点F的直线交双曲线的左支于M、N两点,F2是其右焦点,则的值为________.
5.已知双曲线与椭圆有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点的纵坐标为4,求双曲线的方程。
6.给出问题:
F1、F2是双曲线-=1的焦点,点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下:
双曲线的实轴长为8,由||PF1|-|PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确?
若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将正确结果填在题中的横线上.______________________________________________________.
注:
双曲线上与左(右)焦点距离最近的点是左(右)顶点.
7.P为双曲线上一点,若F是一个焦点,以PF为直径的圆与圆的位置关系是_______.
注意:
以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:
P在右支;外切:
P在左支)
二、共渐近线的双曲线系:
1.过点(2,-2)且与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程是()
(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1
[警示]渐近线是双曲线特有的,如果说双曲线的方程为,则其渐近线方程可记为.同时,以为渐近线的双曲线,其方程可设为;若已知双曲线的渐近线方程是以ax±by=0的形式给出的,则可设双曲线方程
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- 高考 复习 圆锥曲线 方程 讲义