微分几何彭家贵课后题答案Word下载.docx
- 文档编号:19743652
- 上传时间:2023-01-09
- 格式:DOCX
- 页数:48
- 大小:49.06KB
微分几何彭家贵课后题答案Word下载.docx
《微分几何彭家贵课后题答案Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《微分几何彭家贵课后题答案Word下载.docx(48页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
n(t)r(t)r(t)r(t)r(t)
r(t)r(t)r(t)(t)r(t)(t)r(t)
(t)r(t)r(t)(t)n(t)
n(t)n(t)0,乂n(t)0
n(t)有固定的方向,乂n(t)r(t)
r(t)平行于固定平面。
3.证明性质与性质。
性质
(1)证明:
设
(Xi,X2,X3),V2
(yi,y2,y3),V3
(Zi,Z2,Z3),V2V3
(Wi,W2,W3),
V2
V3
Wi
yi
y2
y3
y2y3
wi,w2,w3
Zi
Z2
Z3
Z2Z3
y2Z3
y3Z2,w
i
j
k
X2
X3
Xi
W?
W3
W2
w
y3Zi
yiZ3,W3yiZ2y2Zi,
V3)
X2W3XsW2,X3WiXiW3,XiW2X2Wi
X2[yiZ2y2Zi]X3[y3ZiyiZ3],X3[y2Z3y3Z2]
Xi[yiZ2y2Zi],Xi[y3ZiyiZ3]X2[y2Z3
y3Z2]
[X2Z2X3Z3]yi[X2y2X3y3]Zi,[X3Z3XiZi]y2
[X2Z2X3Z3]yi,[X3Z3Xi乙]y2,[Xi乙X2Z2W3
[X3y3Xiyi]Z2,[XiZiX2Z2W3[xyiX2y2】Z3
[X2y2X3y3]乙,[X3y3Xiyi]Z2,[XiyiX2y2】Z3
[X2Z2X3Z3XiZi]yi,[X3Z3Xi石X2Z2]y2,[Xi石X2Z2X3Z3W3
[X2y2X3y3Xiyi]石,[X3y3X〔yiX2y2]Z2,[Xiyix混2X3y3】Z3
[XiZiX2Z2X3Z3]V"
*[X2y2X3y3Xiyi]Zi,Z2,Z3
Vi,V3V2Vi,V2V3右
(2)证明:
设Vi(X!
X2,X3),V2(Vi,V2,V3),V3(Zi,Z2,Za'
Vq(吗,可2,可3),则
ij
XiX2
ViV2
X2X3
y2V3
X3Xi
y3yi
yiV2
Xi,X2,X3
XiX2y3X3y2,X2X3yi泌*X〔y2^v、
ijk
V3V4ZiZ2Z3
WiW2W3
Z3Z3
Zi
W,W3
丫,窟丫3
YZ2W3Z3W2,Y2Z3wiZiW3,YjZ|W222叫.
左=viV2,v3v4
XiYX2Y2X3Y3
(X2y3X3y2)(Z2W3Z3W2)(X3ViX〔y3)(Z3邪z^3)(gy?
X2Vi)(4W2Z2Wi)
[X2Z2y3W3y2W2X3Z3YiWiXaZaX^yaWs*。
尸2可2ViWiXzZz]
[X2W2y3Z3y2Z2X3W3yiZiX3W3XiZiV3W3XiWiV3Z3*明尸222Vi石X2W2]
ViWiX2Z2]
Vi石X2W2]
[(XiyiZiWiX2V2Z2W2X3V3Z3W3)X2Z2V3W3V2W2X3Z3ViWiX3Z3*乙尸3可3gV灿
[(XiVi^WiX2V2Z2W2X3V3Z3W3)X2W2V3Z3住壮池ViZiX3W3*"
)323XiWiVzZz
(XEX2Z2X3Z3)(yiWiV渺2y3W3)(XWiX2W2X3W3)(ViZiV2Z2V3Z3)
=Vi,V3V2V4M,V4V2V3右
(3)证明:
设Vi(Xi,X2,X3),V2(Vi,V2,V3),V3(Zi,Z2,Z3),,则
XiX2V3X3V2,X2
X3X3
V3V3
yiyi
X3ViXiV3,X3XiV2X2Vi
Xi,X2,X
V3,Vi,V2V3,ViV2ZiXiZ2X2Z3X3
石(X2V3X3V2)Z2(X3ViXiV3)Z3(Xiy2X2乂)
(ZiX2V3ViZ2X3XiV2Z3)(石)2X3XQgViX2Z3)
V3Vi
ZiZ2
同理,
YZ2X3Z3X2,丫2
Z3Z3ZiZi
X3'
X3Xi'
Xi
Y,%,Y3
V2,V3,ViV2,V3M
4X3
ZiX2
yiYV2Y2V3Y3
Vi(Z2X3Z3X2)V2(Z3Xi4X3)V3(ZiX2Z2X)
(ZiX2V3ViZ2X3XiV2Z3)3gXiZ2V3ViX2Z3)V3,Vi,V2
V2V3
V2V3V3
Z2Z3,Z3
ZiV泓*3Z2,Z2
Vi,V2,V3
ZiZZ
*3ZiViZ3,Z3ViZ2*2Zi
Vi,V2V3
XiZi
X2Z2
X3Z3
Xi(y2Z3vdX2(y3Ziy〔Z3)X3(y〔Z2*2乙)
(ZiX2*3yiZ2X3XiV2Z3)3gXiZ2*3ViXzZs)Vs,%,/
所以,Vi,V2,V3V3,Vi,V2V2,V3,M。
(i)(f)(f,f,1)一一一
xy
Z
X
y
f
_f
fff
ff
yzzyzxxz
xyyx
2ff2f2f
2f2f
,
(0,0,0)0.
yzzyzxxz
RQPRQ
(2),F,
,,
xyz
yzzxx
PQR
R_QP_
RQ
_P
xyzyz
XZX
2r2q2p2r
2q2p
xyxzyzyx
zxzy
.
4.设O;
e),e2,e3是止交标架,
是i,2,3
的一个置换,证明:
(〔)O;
e(i),e
(2),e⑶是正交标架;
Py
e1,e2,e3
1,det
01
£
3,0,巳
是一个偶置换。
e
(1),e⑵,e⑶
所以,O;
e
(1),e
(2),e(3)是正交标架。
A)当
(12)
(1)2,
(2)
1,(3)
3
010010
e
(1),e
⑵,e⑶
eqq
ei,e2,eb
100,det100
001001
B)当
(13)
(1)3,
(2)
2,(3)
&
e2,&
e,e2q
010,det010
100101
C)当
(23)
(2)3,(3)
2,
(1)
100100
⑵,e(3)
ei,e2,€3
001,det001
D)当
(1)(
:
12)(12),此时,
O;
e
(1),e
(2),e(3)O;
^1,e2,e3;
E)当
(123)
(12)(13)
(1)2,
(2)3,(3)1,
e
(1),e⑵,e⑶
e2,e3,e1
100,det100
F)当
(132)
(13)(12)
(1)3,
⑶2,
(2)1,
(2)证明:
1;
e1,e2,e3与O;
e⑴,e⑵,e⑶定向相同当且仅当
>
'
>
('
)7(匕),(w)
习题二(P28)
1.求下列曲线的弧长与曲率:
(1)yax2
解:
r(x)(x,ax2)r(x)(1,2ax)l(x)
x
r(t)dt
14a2t2dt
令2|a|ttan,.14at
.14a2t2dt=—
2a
3,
secd
I@secd
(sectan2
sec)d
tandsec
tan
sec
dsecd
tansecI
22|a|t.1
所以,
22
4at
In2|a|t
;
【tan
.14a2t2
In|sec
tan|]C
.1
4a2t2dt
3sec
I2|a|
2|a|tj14a2t2In2|a
|t-14a2t2
(%
l(x)
r(t)dt\14a2t2dt
2|a|x14a2x24|a|
In2|a|xJi4a2x2
2.设曲线r(t)(x(t),y(t)),证明它的曲率为
小x(t)y(t)x(t)y(t)
(t)3
(x)2(y)22
(x(t),y(t))
r(t)(x(t),y(t))r(t)(x(t),y(t))r(t)
t(s)
drdtdt
r(t)(x(t),y(t))—
dsdsds
s)
d2rds2
d“、dt
r(t)—dsds
2dtr(t)ds
2tr(t)2
ds
r(t)
(s)n(s)
dt.+.dt
r(t).2
(s)(y(t),x(t))
dt
x(t)
y(t)
dtx(t)2ds
小d2ty2ds
(s)y(t)乎
(s)x(t)半
n(s)
(y(t),x(t))乎
dtdt
x(t)x(t)2
/、dsds
(s):
;
y(t)ds
2
x(t)y(t)乎x(t)y(t)乎
dsds
22dt
(y)(x)
y(t)y(t)2
dtx(t)—
x(t)y(t)x(t)y(t)
22ds
(s)
x(t)y(t)x(t)y(t)即
(y)2(x)22
(t)x(t)y(t)x(t)y(t)
3.设曲线C在极坐标下的表示为r
f(),证明曲线C的曲率表达式为
)H
)d2
f2()半
d
f(
rcos
f()cos,yrsin
f()sin
r()
(f()cos,f()sin)
(f()cosf()sin
f()sin
f()cos
(f(
)cosf()sin
2f()cosf()sin)
所以,x
f()sin;
2f()sin
)cos;
2f()cos
)sin。
(f()cos
f()cos,f
()sin
因此,
(t)|.,(x)2(y)2
xy
f()sin2f()cos
)sin
f()cos2f()sin
)cos
f2()2
f()f(
)f()
(y)2
(x)2
2f()sinf()cos
)y()
x()y(3~(x)2(y)22
f2()
dfd
f()翌d
4,求下列曲线的曲率与挠率:
(4)r(t)(at,V2alnt,;
)(a
0)
r(t)(
2aa
a,_,『),r(t)
(0,
一2a2a
t3),r
(t)
(0卓,
6a、
『);
t
.2a
a
F
t3
2a2丁
2a2
r(t)r
2a44a4
t8t6
2a4
t4
.2a2
12t2t4
、、.2a2
V
t21
r(t)■,*
2a2a2
t2t4
r,r,r
、2a2
7
2a2
、•2a2
厂),(0,
2、2a6a
22a3丁。
所以,
r(t)r(t)3
、、2a2
、1
t211
t2
互t21
t4'
1
a323
仲t1
、2t2
at21
5.证明:
r(t)r(t)|
r(t)|3
r,r,r
drdrdt
dsdtds
t(S)&
S)保
株s)r(t)
dt2ds
「呻ds
「⑴S3
3r
/、dtd2t
(t)2
d3t
%
--2
r,r,r2、2a32a2t21
26~T4-t1
r(t)r(t)t..t
_3-…-
E3的正则曲线r(t)的曲率与挠率分别为
根据弗雷内特标架运动方程
t00t
d—n0n,碍:
b00b
n(s)t(s)
(s
1c&
s)(s)n(s)n(s)t&
s)b(s)t(s)
「⑴云
r(t)
3dt
、dt
r(t)r(t)
r(t)r(t)|
r(t)3
t&
s)(s)n(s)&
(s)&
(s)n(s)(s)&
由i((s)=(s)t(s)(s)b(s)
联s)&
(s)n(s)(s)(s)t(s)(s)b(s)
(s)n(s)2(s)t(s)(s)(s)b(s)
s),b(s)(s)(s)
因为嵌s),b(s)
dt3ds
dtd2t...d3t1
3r(t)2r(t)3,
23
dt3
dsr(t)r(t)
6
1dt
(s)ds
r,r
r
所以,(s)(s)=
r,r,r
6.证明:
曲线
r(s)
3s)2
(1s),
(1s1)
以s为弧长参数,并求出它的曲率,挠率与
Frenet标架。
(1s)2
1)r(s)
1s1)
b(s)
(1s)
4
s1)
该曲线以
s为弧长参数。
(1s广
0
1)
(1s)1
16
(1s)1
8(1s2)
s)(s)
2(1s)(1
s)5,2(1
s)(1
s)3
t(s)n(s)
(1
s)2
2(1
.2(1s)(1s)2,.2(1
s»
4(1
2\壬
s)2
…、13s13s八p
由&
s)■—,^^=,o及
111
b(s)^2(1s)(1s)'
J2(1s)(1s)'
4(1sV得
(s)n(s),b(s)
2(1s)(1s)%.,2(1s)(1
s)'
sV
1—3s.2(1s)(1
1s
2(13s)(1s2)2
s)(1sF
2、.2(1s2)'
〜1
2)(s)s2、,(1s1);
(s)
8(1s)
242(1s2"
(1s
1)。
3)所求Frenet标架是r(s);
t(s),n(s),b(s),其中
(1s)2
(1s)21
2'
2
(1s1),
11
2(1s)(1s)2,2(1s)(1s)2,0(1
s1),
.2(1s)(1s)'
、.2(1s)(1s)%4(1s2)2(1
s1)。
10.设T(X)XTP是E3中的一个合同变换,detT
1。
r(t)是E3中的正则曲线。
求
曲线%Tor与曲线r的弧长参数、曲率、
挠率之间的关系。
(1)部t)|%()d
d(Tor)
d(rTP)
r()Td
r()d
S(t)
可见,%Tor与曲线r除相差一个常数外,有相同的弧长参数。
%t)肺)%(t)
%(t)
r(t)Tr(t)T|
_3
r(t)T
sgn(detT)r(t)r(t)T|r(t)r(t)|
3—"
―(t)
r(t)|r⑴
可见,%Tor与曲线r有相同的曲率。
%%,%rT,rT,rTrTrTrT
(3)%t)—」2—,一,—2―,r
|%(t)%(t)||r(t)Tr(t)T|r(t)r(t)
rT,sgn(detT)(r
sgn(detT)
r)T
rT,(rr)T
rT,sgn(detT)(rsgn(detT),
r,r,rsgn(detT)
sgn(detT)r(t)r(t)
r,(rr)
2~
2(t)
可见,%Tor与曲线r的曲率相差一个符号。
13.
(1)求曲率(s)二一a
r(t)r(t)2
—(s是弧长参数)的平面曲线r(s)。
s
设所求平面曲线r(s)
x(s),y(s)因为s是弧长参数,所以
可设x(s)
|r(s)|1
cos,x(s)
x(s)
sin
~~22
as
s、/、
字(s)ds
x(s)cos(arctan-),x(s)
y(s)1
由曲率的定义,知
—dss
sarctan-a
s、sin(arctan-)a
s、,
x(s)co
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 微分 几何 彭家贵 课后 答案