7.(2017·天津理,7)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )
A.ω=,φ=B.ω=,φ=-
C.ω=,φ=-D.ω=,φ=
8.(2017·天津理,8)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
二、填空题
9.(2017·天津理,9)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为________.
10.(2017·天津理,10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为________.
11.(2017·天津理,11)在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为________.
12.(2017·天津理,12)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为________.
13.(2017·天津理,13)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为________.
14.(2017·天津理,14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有________个.(用数字作答)
三、解答题
15.(2017·天津理,15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.
(1)求b和sinA的值;
(2)求sin的值.
16.(2017·天津理,16)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.
(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
17.(2017·天津理,17)如图,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(1)求证:
MN∥平面BDE;
(2)求二面角CEMN的正弦值;
(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.
18.(2017·天津理,18)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N*).
19.(2017·天津理,19)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.
20.(2017·天津理,20)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.
(1)求g(x)的单调区间;
(2)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求证:
h(m)h(x0)<0;
(3)求证:
存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足≥.
参考答案
一、选择题
1.【答案】B
【解析】A∪B={1,2,4,6}.
又C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C={1,2,4},
故选B.
2.【答案】D
【解析】画出可行域,如图中阴影所示.
又目标函数z=x+y,结合图象易知y=-x+z过(0,3)点时z取得最大值,
即zmax=0+3=3.故选D.
3.【答案】C
【解析】第一次循环执行条件语句,此时N=24,24能被3整除,则N=24÷3=8.
∵8≤3不成立,
∴进入第二次循环执行条件语句,此时N=8,8不能被3整除,则N=8-1=7.
∵7≤3不成立,
∴进入第三次循环执行条件语句,此时N=7,7不能被3整除,则N=7-1=6.
∵6≤3不成立,
∴进入第四次循环执行条件语句,此时N=6,6能被3整除,则N=6÷3=2.
∵2≤3成立,∴此时输出N=2.
故选C.
4.【答案】A
【解析】∵<.
∴-<θ-<,即0<θ<.
显然0<θ<时,sinθ<成立.
但sinθ<时,由周期函数的性质知0<θ<不一定成立.
故0<θ<是sinθ<的充分而不必要条件.
故选A.
5.【答案】B
【解析】由题意可得=,即c=a.
又左焦点F(-c,0),P(0,4),
则直线PF的方程为=,化简即得y=x+4.
结合已知条件和图象易知直线PF与y=x平行,则=,即4a=bc.
由解得
故双曲线方程为-=1.
故选B.
6.【答案】C
【解析】依题意a=g(-log25.1)=(-log25.1)·f(-log25.1)=log25.1f(log25.1)=g(log25.1).
因为f(x)在R上是增函数,可设0<x1<x2,
则f(x1)<f(x2).
从而x1f(x1)<x2f(x2),即g(x1)<g(x2).
所以g(x)在(0,+∞)上亦为增函数.
又log25.1>0,20.8>0,3>0,
且log25.1<log28=3,20.8<21<3,
而20.8<21=log24<log25.1,
所以3>log25.1>20.8>0,所以c>a>b.
故选C.
7.【答案】A
【解析】∵f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,
∴f(x)的最小正周期为4=3π,
∴ω==,
∴f(x)=2sin.
∴2sin=2.得φ=2kπ+,k∈Z.
又|φ|<π,∴取k=0,得φ=.
故选A.
8.【答案】A
【解析】关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立等价于-f(x)≤a+≤f(x),
即-f(x)-≤a≤f(x)-在R上恒成立,
令g(x)=-f(x)-.
当x≤1时,g(x)=-(x2-x+3)-=-x2+-3=-2-,
当x=时,g(x)max=-;
当x>1时,g(x)=--=-≤-2,
当且仅当=,且x>1,即x=时,“=”成立,
故g(x)max=-2.
综上,g(x)max=-.
令h(x)=f(x)-,
当x≤1时,h(x)=x2-x+3-=x2-+3=2+,
当x=时,h(x)min=;
当x>1时,h(x)=x+-=+≥2,
当且仅当=,且x>1,即x=2时,“=”成立,
故h(x)min=2.
综上,h(x)min=2.
故a的取值范围为.故选A.
二、填空题
9.【答案】-2
【解析】∵a∈R,
===-i为实数,
∴-=0,∴a=-2.
10.【答案】π
【解析】设正方体棱长为a,则6a2=18,∴a=.
设球的半径为R,则由题意知2R==3,∴R=.
故球的体积V=πR3=π×3=π.
11.【答案】2
【解析】由4ρcos+1=0,得2ρcosθ+2ρsinθ+1=0,
故直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0,
由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,
故圆的直角坐标方程为x2+y2=2y,
即x2+(y-1)2=1,圆心为(0,1),半径为1,
∵圆心到直线2x+2y+1=0的距离d==<1,
∴直线与圆相交,有两个公共点.
12.【答案】4
【解析】∵a,b∈R,ab>0,
∴≥=4ab+≥2=4,
当且仅当即时取得等号.
故的最小值为4.
13.【答案】
【解析】由题意知||=3,||=2,
·=3×2×cos60°=3,
=+=+=+(-)=+,
∴·=·(λ-)
=·-2+2
=×3-×32+×22
=λ-5=-4,解得λ=.
14.【答案】1080
【解析】①当组成四位数的数字中有一个偶数时,四位数的个数为C·C·A=960.
②当组成四位数的数字中不含偶数时,四位数的个数为A=120.
故符合题意的四位数一共有960+120=1080(个).
三、解答题
15.解
(1)在△ABC中,因为a>b,
所以由sinB=,得cosB=.
由已知及余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=13,
所以b=.
由正弦定理=,
得sinA==.
所以b的值为,sinA的值为.
(2)由
(1)及a所以sin2A=2sinAcosA=,
cos2A=1-2sin2A=-.
所以sin=sin2Acos+cos2Asin=.
16.解
(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=××=,
P(X=1)=××+××+××=,
P(X=2)=××+××+××=,
P(X=3)=××=.
所以,随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)
=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)
=×+×=.
所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
17.解 如图,以A为原点,分别以,,方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.
依题意,可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).
(1)证明 =(0,2,0),=(2,0,-2).
设n=(x,y,z)为平面BDE的一个法向量,
则即不妨设z=1,
可得n=(1,0,1).
又=(1,2,-1),可得·n=0.
因为MN