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00
二、填空题
x9
⒈函数f(x)ln(1x)的定义域是.{xx3或x3}
x3
22
⒉已知函数f(x1)xx,则f(x).xx
⒊
lim.2
(1)e
x2x
(1x),x0
⒋若函数f(x)
,在x0处连续,则k.e
xk,x0
⒌函数
x1,x0
y的间断点是.x0
sinx,x0
⒍若limf(x)A
,则当
xx时,f(x)A称为.无穷小量
三计算题
⒈设函数
f(x)
e
求:
f
(2),f(0),f
(1).
解:
f
(2)2
f(0)0
f
(1)
求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。
即正确选择某段函数。
⒉求函数
2x1
lglg的定义域.
欲使函数有意义,必使lg0
,
即:
亦即:
2x1x
解得函数的定义域是:
函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。
⒊在半径为R的半圆内内接一梯形,梯形的一个底边与半圆的直径重合,另一底边的两
个端点在半圆上,试将梯形的面积表示成其高的函数.
设梯形的高CM=x,则
DM
2x2
R
梯形的上底
DC2Rx,下底AB2R
则梯形的面积
s
(2
2x2Rx
R2)
(
2x2RxxR
R)(0)
⒋求
sin3x
lim
x0sin2
.
原式=
3x
sin2x
2x
正确利用两个重要极限,将函数作适当变形。
⒌求
xsin(
1x
1)
lim(x1)
x12
原式=lim2
sin(x1)sin(x1)x1
x11
⒍求
tan
sin3x1sin3x11
cos3x
lim3lim3limlim313
xcos3
0xx
xx3xx0
0xcos31
3x0
同上。
⒎求
xsin
0x
(1x1)(1x1)x1
原式=limlimlim010
sinxx02x02x0
(1x1)sinx1x1
⒏求
lim().
xx3
=
x33
x34x34
x3x3
4
lim1
44
lim=
lim=e4
⒐求
x6x
x4x5x
8
(x4)(x2)x
limlim
x4(x4)(x1)x
x4
⒑设函数
(x
2)
f(x)x,1x1
x1,x1
讨论f(x)的连续性,并写出其连续区间.
讨论分段函数在分段点处的连续性,只要研究函数f(x)在该点处的左右极限情况,
然后再由函数连续性的定义判断。
先看函数在分段点x1处的情况,∵lim()lim
(1)110
fxxx1x1
f
(lim
x)x
∴lim()lim()
fxfx
x1x1
,故limf()
不存在。
∴x1为函数f(x)的间断点。
再看函数在分段点x1处的情况,∵lim()lim1
limfxx
1)lim(
xx1
2)1
,故limf(x)1。
又因为f
(1)x1
所以lim()
(1)
fxfx1
故x1是函数f(x)的连续点。
函数f(x)在连续区间是:
(,1)(1,)。
高等数学基础第二次作业
第3章导数与微分
⒈设f(0)0且极限
(x)
存在,则
(B).
A.f(0)B.f(0)
C.f(x)D.0
⒉设f(x)在x0可导,则
f(x2h)
h2h
)
(D).
A.2f(x0)B.f(x0)
C.2f(x0)D.f(x0)
f(x)e,则
⒊设
f(1
x)f
(1)
(A).
A.eB.2e
C.e
D.e
⒋设f(x)x(x1)(x2)(x99),则f(0)(D).
A.99B.99
C.99!
D.99!
⒌下列结论中正确的是(C).
A.若f(x)在点x0有极限,则在点x0可导.
B.若f(x)在点x0连续,则在点x0可导.
C.若f(x)在点x0可导,则在点x0有极限.
D.若f(x)在点x0有极限,则在点x0连续.
(二)填空题
xsin,x0
f(x)x,则f(0)0.
0,x0
⒉设
x2xx
f(e)e5e
d
,则
(lnx)2
dx
ln
x5
⒊曲线f(x)x1在(1,2)处的切线斜率是
π
⒋曲线f(x)sinx在(,1)处的切线方程是y1.
2x2xx.⒌设yx,则yx2ln2
⒍设yxlnx,则y
(三)计算题
⒈求下列函数的导数y:
⑴
y(xx3)e
313
xxxxx
exexee
222
y(xe3)3
31
=3)
exx
⑵ycotxx2lnx
cosxsinxsinxcosxcosxx
2ln)
y(xlnx)(xx
sinxsinxx
=2xlnxx
sinx2
⑶y
lnx
x(2ln
2ln
cosx2
⑷
(sinx
3(cos2x)3
2)xxx
6
xsinxln2
x3cosx
lnxx
⑸y
(2x)sinxcosx(lnx
y2
(12x)sinxxcos(lnx
xsinx
⑹yxsinxlnx
sinx3
y4x(cosxlnx
⑺
4xcosxlnx
sinxx
(cosx2
x)33ln3(sin
cosx2xln3(sin
=x
⑻yextanxlnx
y(
xe1
etanx)
cosxx
e(sinxcosx1)
cos
⒉求下列函数的导数y:
x⑴ye
1exx
ye
2x2x
⑵ylncosx
ytan
cosx
⑶yxxx
1117
因为8
248
yxxxx
7
所以8
yx
82
⑷yx
因为y2sinxcosxsin2x
12
11
yxx2)(1
所以()
⑸
cosxxxx222cos
222cos
⑹
ycose
exex
xex
xe
esin
ncos⑺yxnx
nn
y(sinx)cosnxsinx(cosnx)
ncoscossin(sin)
1n
=nxxnxxnxn
=sin(coscossinsin)
n
n1xxnxxnx
⑻
5
usin解:
设yux
yyuu=5xx
uln5cosln55sincos
⑼
ucos解:
设yeux
u(sin)cossin
yyuu=exex
⒊在下列方程中,yy(x)是由方程确定的函数,求y:
将方程两边对x求导:
2y
ycosxysinx=2ey
y)sin移项yxeyx
(cos2
ysinx
所以:
cosx2e⑵ycosylnx
y(cosy)lnxcosy(lnx)
ysinyylnx
cosy
移项y
(1sinylnx)
x(1
lnxsin
y)
⑶
2xsiny
2'
'
2xyxy2xx
2simy2xcosyyy
yyy
2simy
2xcosy
2xy
simy
⑷yxlny
因为:
y1
解得y
lnxey
ey
yy
整理得:
x(2
2xsin⑹yy
1e
2yy
xsincos
eye
siny
yx3
eey
yx32
eyey
3y
y52
5xln52yln2
xln52yln2
5ln5
12ln2⒋求下列函数的微分dy:
⑴ycotxcscx
因为
111cos
()
22sin2
sinxsinxsinx
1cosx
所以dx
dy
⑵
cosxln
xcosx
所以dy=
⑶sinx
设yu2,usinx
则yyuux
=2ucosx2sinxcosx
=sin2x
所以dy=sin2xdx
ytane
设:
ytanu,u
则y
yuu
u
所以dy=x
cose
⒌求下列函数的二阶导数:
⑴yx
()x
y3
3ln3
(3
3)
=⑶ylnx
y()
⑷yxsinx
ysinxxcosx
y(sinxxcosx)cosxcosxxsinx
2cosxxsinx
(四)证明题
设f(x)是可导的奇函数,试证f(x)是偶函数.
证明:
因为f(x)是奇函数,所以
又因为f(x)可导,函数f(x)为复合函数。
对f(x)f(x)两端对x求导,得:
f(x)(x)f(x)
即f(x)f(x)
f(x)f(x)
根据偶函数的定义,f(x)是偶函数。
高等数学基础第三次作业
第4章导数的应用
⒈若函数f(x)满足条件(D),则存在(a,b),使得f
f(b)f(a)
().
ba
A.在(a,b)内连续
B.在(a,b)内可导
C.在(a,b)内连续且可导’
D.在[a,b]内连续,在(a,b)内可导
⒉函数f(x)x41的单调增加区间是(D).
A.(,2)B.(1,1)
C.(2,)D.(2,)
⒊函数yx45在区间(6,6)内满足(A).
A.先单调下降再单调上升B.单调下降
C.先单调上升再单调下降D.单调上升
⒋函数f(x)满足f(x)0的点,一定是f(x)的(C).
A.间断点B.极值点
C.驻点D.拐点
⒌设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数,(,)
x0ab,若f(x)满足(C),则f(x)
在
x取到极小值.
A.f(x0)0,f(x0)0B.f(x0)0,f(x0)0
C.f(x0)0,f(x0)0D.f(x0)0,f(x0)0
⒍设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数,且f(x)0,f(x)0,则f(x)在此区间内
是(A).
A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的
C.单调增加且是凸的D.单调增加且是凹的
3()2
⒎设函数f(x)axaxaxa在点x1处取得极大值2,则a
(1).
A.1B.
C.0D.
⒈设f(x)在(a,b)内可导,x0(a,b),且当xx0时f(x)0,当xx0时
f(x)0,则x0是f(x)的极小值点.
⒉若函数f(x)在点x0可导,且x0是f(x)的极值点,则f(x0)0.
⒊函数yln(1x)的单调减少区间是,0.
⒋函数
f(x)e的单调增加区间是0,.
⒌若函数f(x)在[a,b]内恒有f(x)0,则f(x)在[a,b]上的最大值是f(a).
⒍函数
f(x)25x3x的拐点是(0,2).
3bx2
⒎若点(1,0)是函数f(x)ax2的拐点,则a1,b3
⒈求函数
y(x1)(x5)的单调区间和极值.
131
xx2xxxxxx
y15215
1531544
x57x110
得驻点:
x=-1x=5x=
x-1
1,
115,
5
’
Y0+0-0+
y左端点极大
极小
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